Sistemas e transformação de coordenadas

Sistemas e transformação de coordenadas

(Parte 1 de 4)

EscolaPolitécnicade Pernambuco-Notasde aula de Eletromagnetismo1 –Prof. Helder A. Pereira

-TÓPICOS DAS AULAS - 1. Introdução.

2.Sistema de coordenadas cartesianas.

3.Sistema de coordenadas cilíndricas circulares.

4.Sistema de coordenadas esféricas.

5.Sistema de coordenadas ortogonais generalizado. 6.Superfícies de coordenada constante.

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Introd ução

•Em geral, as quantidades físicas com que trabalhamos no Eletromagnetismo são funções do espaço e do tempo.

•A fim de descrever as variações espaciais dessas quantidades, devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira unívoca no espaço de forma adequada.

•Isto requer o uso de um sistema de coordenadas apropriado.

•Um ponto, ou um vetor, pode ser representado em qualquer sistema de coordenadas curvilíneo ortogonalou não-ortogonal.

•Um sistema ortogonal éaquele em que as coordenadas são m ut ua me nte perpe ndic ulares.

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•Pode-se economizar uma parcela considerável de tempo, e de trabalho, ao escolher um sistema de coordenadas que mais se adapta a um determinado problema.

•Um problema difícil em um sistema de coordenadas pode ser de fácil solução em outro sistema.

•Neste curso nos restringiremos aos três mais conhecidos sistemas de coordenadas ortogonais:

– Cartesiano.

– Cilíndrico.

– Esférico.

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Sistema de coordenadas cartesianas •Um ponto Ppode ser representado por (x, y, z).

•Os intervalos de variação das variáveis coordenadas x, ye zsão

•Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser escrito como onde âx , ây e âz são vetores unitários ao longo de x, ye z.

y x zzyyxxzyx ou,, âAâAâAAAA ++

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Sistema de coordenadas cilíndricas circulares

•Um sistema de coordenadas cilíndricas circulares éconveniente quando tratamos problemas com simetria cilíndrica.

•Um ponto Ppode ser representado por (ρ, φ, z).

―ρrepresenta o raio do cilindro que passa pelo ponto P.

―φédenominado de ângulo azimutal, sendo medido a partir do eixo x, no plano xy.

―zéa mesma coordenada utilizada no sistema de coordenadas cartesianas. Figura 1

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•Os intervalos de variação das variáveis coordenadas ρ, φe zsão

•Um vetor A, em coordenadas cilíndricas circulares, pode ser escrito como onde â ρ

, âφ e âz são vetores unitários ao longo de ρ, φe z.

aponta no sentido de crescimento de ρ, âφ aponta no sentido de crescimento de φe âz aponta no sentido de crescimento de z.

piφρ zφφρρzφρ ou,, âAâAâAAAA ++

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•Dessa forma, zρzφφρ φρz ρzφ zφρ

Figura 2

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•As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas cartesianas com as do sistema de coordenadas cilíndricas circulares (ρ, φ, z) são dadas por sen cos==y x x y arctg

Figura 3

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•As relações entre âx , ây

, âz e âρ , âφ

, âz são dadas por cossen sencos φyφx

Figura 4

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