Calculo Vetorial

Calculo Vetorial

(Parte 1 de 5)

EscolaPolitécnicade Pernambuco-Notasde aula de Eletromagnetismo1 –Prof. Helder A. Pereira

-TÓPICOS DAS AULAS - 1. Introdução.

2.Comprimento, área e volume diferenciais.

3.Integrais de linha, de superfície e de volume.

4.Gradiente de um escalar.

5.Divergência de um vetor e o teorema da divergência.

6.Rotacional de um vetor e o teorema de Stokes.

7.Laplaciano de um escalar e de um vetor. 8.Classificação dos campos vetoriais.

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Introdução

•Este capítulo trata do cálculo vetorial, ou seja, a integração e a diferenciação de vetores.

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Comprimento, área e volume diferenciais

• Coordenadas cartesianas:

―O deslocamento diferencial é dado por

―A área diferencial normal é dada por zyx dzâdyâdxâld ++= y x dx dy â dx dz â dy dzâSd

Figura 1

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• Coordenadas cartesianas:

―O volume diferencial édado por dydzdxdv =

Figura 2

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•O elemento de superfície, ou de área, diferencial dSpode, em geral, ser definido como onde dSéa área do elemento de superfície e â n éo vetor unitário normal àsuperfície dS.Sua orientação épara fora do volume, caso dSseja parte de uma superfície que limita esse volume.

n dSâSd =

Figura 3

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• Coordenadas cilíndricas: ―O deslocamento diferencial é dado por

―A área diferencial normal é dada por

―O volume diferencial édado por zφρ dzââdâdld ++=→ φρρ âdd dzâ d dzâdSd dzdddV φρρ= Figura 4

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• Coordenadas esféricas: ―O deslocamento diferencial é dado por

―A área diferencial normal é dada por

―O volume diferencial édado por φθr sen âdrârdârdld φθθ ++= sen sen ârdrd âdrdr âddrSd φθθ ddrdrdV sen2

= Figura 5

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Exercício

1.Referente àfigura 6, desconsidere os comprimentos diferenciais e imagine que o objeto éparte de uma casca esférica.

Figura 6

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Continuação Isto pode ser descrito como onde a superfície r=3 édelimitada por AEHD, superfície θ=60º é

AEFB e a superfície φ=45º é ABC D.

o o θ r

Figura 7

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Continuação Deter mine:

a)A distância DH. b)A distância FG. c)A área da superfície AEHD. d)A área da superfície ABCD. e)O volume do objeto.

Figura 8

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Integrais de linha, de superfície e de volume

•Por linhaentendemos um caminho ao longo de uma superfície no espaço.

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