Baixe Conjuntos enumeraveis e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Medida e Integração. Departamento de F́ısica e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 22 de maio de 2007. 1 Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os numeros racionais, logo [0, 1] ∩ Q, são os números racionais em [0, 1]. Se agrupamos estes números de acordo aos denominadores comuns, estes podem ser ordenados da seguinte maneira 0, 1, 1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 4 , 2 4 , 3 4 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 1 6 , . . . O fato de que 1/2 esteja repetido como 2/4, 3/6, 4/8, . . . não tem importância (podemos omitir qualquer número que ja esteja na seqüência de tal forma que cada racional em [0, 1] seja obtido de uma única forma). Definição 1. Um conjunto é enumerável se os seus elementos podem ser dispostos em uma seqüência (permitindo repetições). Teorema 1. Q é enumerável. A demosntração deste Teorema utilizara o seguinte resultado. Proposição 1. A união de uma seqüência de conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração. 1 Se os conjuntos são denotados por Si = {sij}, i, j > 1, então os términos da seqüência s11, s12, s21, s31, s22, s13, s14, . . . formada ao seguir as frechas no desenho S1 s11, "" s12, s13,@@ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ "" s14, ¡¡¢¢ ¢ ¢ ¢ . . . S2 s21, ¡¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ÃÃ s22,@@ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ s23, ¡¡¢¢ ¢ ¢ ¢ s24, . . . S3 s31, s32, ¡¡¢¢ ¢ ¢ ¢ s33, s34, . . . S4 s41, s42, s43, s44, . . . contam (posśıvelmente com repetições) todos os elementos de todos os conjuntos Si. Portanto a união ∪iSi é enumerável. Para provar o Teorema 1, é suficiente tomar S1, S2, S3, S4, . . ., como os conjun- tos formados pelos números racionais nos intervalos [0, 1], [−1, 0], [1, 2], [−2,−1], . . . respectivamente. 1O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento ‘diagonal’, é devido a Georg Cantor. 1 Teorema 2. R não é enumerável. Demonstração. 2 Mostraremos apenas que os números reais em (0, 1) não são enu- meráveis. Seja {sn} uma seqüência arbitraria dos números reais no intervalo aberto (0, 1). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um número real que não corresponde a nenhum dos números sn. Observamos que os números sn podem ser ex- pressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansão decimal, por exemplo, o número 4,291. . . pode ser escrito como 4+2/10+9/102 +1/103 + . . .. Em geral qualquer número s ∈ R pode ser expressado pela série s = a + ∞ ∑ k=1 ak 10k = a, a0a1a2 onde ak ∈ {0, 1, . . . , 9}, e a é a parte inteira de s. Esta representação é consistente se, por exemplo, sempre é utilizado o número 0, 1999 . . . em lugar de 0, 2000 . . . para 1/5. Seja s1 = 0, a11a12a13 . . . s2 = 0, a21a22a23 . . . s3 = 0, a31a32a33 . . . ... Se ann 6= 1 seja bn = 1 e se ann = 1 seja bn = 2. Isto define bn para qualquer n > 1. Devido a construção realizada, a expansão decimal sem fim 0, b1b2b3 . . . converge a um número real b em (0, 1) o qual é diferente de qualquer sn, sendo que a sua expansão difere da expansão de sn na n-ésima posição. Suponhamos, por exemplo, que a nossa listagem {sn} é dada pelos números s1 = 0.23115 . . . s2 = 0.13789 . . . s3 = 0.83161 . . . s4 = 0.91152 . . . logo a11 = 2 6= 1 ⇒ b1 = 1 a22 = 3 6= 1 ⇒ b2 = 1 a33 = 1 ⇒ b3 = 2 a44 = 5 6= 1 ⇒ b4 = 1 Assim b = 0, 1121 . . . ∈ (0, 1), o qual poderia levar a pensar que b = sN , para algun N ∈ N, mas a expansão decimal de b difere da expansão de sN no N -ésimo decimal. Conclúımos que não é posśıvel dispor numa seqüência todos os números em (0,1), isto é, R não é enumerável. 2 Conjuntos nulos A noção de integral esta intimamente ligada ao conceito de área. Alguns dos problemas da integral de Riemann dependem deste fato. Por exemplo, seja f = 1Q (1) 2Esta prova também é devida a G. Cantor. 2 Qualquer conjunto enumerável é portanto nulo. Os conjuntos numeráveis carecem portanto de cumprimento a diferencia dos intervalos comuns de R. Enunciamos agora o seguinte resultado, consequencia dos Teoremas 1 e 3. Teorema 4. Q é nulo. Os conjuntos não enumeráveis também podem ser nulos. Um exemplo deste fato surpreendente é apresentado a continuação. 3 O conjunto (ternário) de Cantor Considere o intervalo fechado [0, 1] e divida este em três partes iguais. Retire o subinter- valo aberto do meio, isto é, retire o intervalo G1 = (1/3, 2/3). O resultado é o intervalo Cn = [0, 1] \ G1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. Divida agora cada um destes intervalos e retire de cada um deles o subintervalo aberto do centro, (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) respectivamente. Seja G2 = (1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9). Neste caso o resultado é o intervalo C2 = [0, 1] \ (G1 ∪ G2) = [0, 1/3 2] ∪ [2/32, 3/32] ∪ [6/32, 7/32] ∪ [8/32, 1]. Se continuarmos este processo indefinidamente obtemos o conjunto C = [0, 1] \ ( ∪n>1 Gn ) o qual é conhecido como o conjunto de Cantor. A figura 1 embaixo apresenta este conjunto. 0 1 1 3 2 3 [0, 1] \ G1 [0, 1] \ (G1 ∪ G2) [0, 1] \ “ S n>1 Gn ” 7 9 2 9 1 9 8 9 Figura 1: construção do conjunto de Cantor. Observamos que na no n-èsimo passo desta construção Cn consiste de 2 n conjuntos fechados disjuntos cada um de cumprimento 3−n. O cumprimento total de Cn é portanto (2/3)n. Para verificarmos que C é nulo, dado ε > 0, escolhemos n o suficentemente grande de tal forma que (2/3)n < ε. Sendo que Cn esta constituido por uma seqüência finita de intervalos cada um de cumprimento menor a ε, da definição de conjunto nulo temos que Cn é nulo. Portanto C ⊆ Cn é nulo. Ainda fica por ser demonstrado que C é um conjunto não enumerável. Proposição 2. C é não enumerável. 5 Demonstração. A prova disto segue de perto a demonstração do Teorema 2, mas agora é considerada a expansão ternária do número x ∈ C, isto é, x = 0 + ∞ ∑ k=1 ak 3k = 0, a1a2 . . . , onde ak = 0, 1 ou 2. Analogamente a demostracao do Teorema 2, por racoes de consisten- cia escolhemos 0, 2000 . . . como a representacao de 2/3, descartando a outra alternativa 0, 1222 . . .. Observamos que os números com expansão ternária com a1 = 1 formam o intervalo aberto (1/3, 2/3), dado que 1/3 = 0.0222 . . . e 2/3 = 0.2000 . . .. Isto é, o con- junto C1 esta formado pelos pontos em [0, 1] que apresentam expansão ternária a1 = 0 ou a1 = 2. O mesmo racioćınio pode ser utlizado sobre os intervalos [0, 1/3], [2/3, 1] mostrando que C2 esta formado pelos pontos de [0, 1] que apresentam expansão ternária com a1 e a2 iguais a 0 ou 2. Conclúımos por indução que o conjunto de Cantor, C, esta formado pelos números de [0, 1] com expansão ternária 0, a1a2a3 . . . sendo an = 0 ou 2 para todo n. Suponha agora que s1, s2, s3, . . . é uma seqüência dos números em C. Então em notacao ternária s1 = 0, a11a12a13 . . . s2 = 0, a21a22a23 . . . s3 = 0, a31a32a33 . . . onde cada aij é 0 ou 2. Se ann = 0 então bn = 2 e se ann = 2 então bn = 0. Desta forma a expansão ternária converge a um elemento b ∈ C 0, b1b2b3 . . . , mas b é diferente de qualquer sn dado que a sua expansão difere da expansão de sn na n-ésima posição. 4 A função de Cantor O conjunto de Cantor pode ser utilizado para definir uma função com propriedades interessantes. Esta função pode ser definida como C(x) =            1/2 se x ∈ [1 3 , 2 3 ] 1/4 se x ∈ [1 9 , 2 9 ] 3/4 se x ∈ [7 9 , 8 9 ] ... ... Em cada intervalo descartado na construção do conjunto C, a função C(x) é constante. Logo C(x) é diferenciável com derivada 0 nos pontos [0, 1] \ C, e dado que C é um conjunto nulo, temos que C ′(x) = 0 em quase todas partes3 A função de Cantor é apresentada na figura 2 para n = 2, 3, 4, e 50. 3formalmente C ′(x) = 0, λ-q.t.p. 6 Figura 2: funções de cantor para n = 2, 3, 4 e 50. 7