Sifonação de Líquidos

Sifonação de Líquidos

“Experiência: Tabelas, Gráficos e Funções – Sifonação de Líquidos”

  1. Objetivos:

Através da análise de um processo de transferência de um líquido por sifonação á nível, verificar experimentalmente uma relação entre as variáveis desse fenômeno físico, utilizando para isso, gráficos em papéis monologarítmicos construídos a partir dos dados colhidos em laboratório e fazendo dessa utilização, uma prática para o uso desse tipo de material.

  1. Introdução teórica.

A análise de gráficos cuja curva é linear nos permite com facilidade encontrar a relação entre as variáveis do fenômeno. Porém, há situações em que a curva do gráfico não apresenta essa característica sendo necessário encontrar outros meios de buscar uma relação entre as variáveis do fenômeno. Dentre as inúmeras curvas que se pode obter, está a logarítmica. O estudo desse tipo de curva pode apresentar diversas dificuldades, no entanto, há uma maneira de fazê-lo com maior praticidade. A linearização da curva logarítmica torna fácil tal análise uma vez que nos remete á situação de uma curva linear. Para que se pudesse fazer essa linearização com praticidade, foi desenvolvido um sistema de coordenadas em um papel na qual se pudesse obter uma reta com os dados de uma função logarítmica. Esta ferramenta simples e prática é chamada de papel monologarítmico e possui um sistema de coordenadas do tipo x versus log(y) que é responsável por tal linearização.

Para a prática do uso dessa ferramenta, será feito o estudo da sifonação de um líquido á nível. O processo de sifonação ocorre devido á uma diferença de pressão nas extremidades de um tubo que comunica dois recipientes. Essa diferença de pressão ocorre por causa do diferente nível de água sobre tais extremidades cujo peso será maior em um do que em outro fazendo surgir um fluxo de água entre os recipientes.

  1. Procedimento Experimental.

  1. Com os equipamentos fornecidos, montar em laboratório o aparelho indicado abaixo:

Figura 3.1. Esquema do aparelho usado para o experimento.

  1. Preencher com água apenas uma das provetas, até a marca de 500 ml. Preencher com água também o tubo para transferência do líquido, mantendo fortemente apertado com os dedos, a parte flexível de modo que a água contida dentro dele não vaze.

  2. Colocar cada extremo do tubo para transferência do líquido em cada uma das provetas mantendo a parte flexível apertada para que o mesmo permaneça cheio de água e sempre na mesma posição (tocando o fundo da proveta).

  3. Simultaneamente soltar a parte flexível do tubo deixando a água fluir e ligar o cronômetro. Anotar os tempos necessários para que haja a transferência de água até que o nível da mesma nas duas provetas se iguale (cronometrando em intervalos de 25 ml)

  4. Construir uma tabela para organizar os dados obtidos no procedimento anterior.

  5. Construir um gráfico linear do volume sifonado em função do tempo.

  6. Fazer uma conclusão sobre o tipo de curva obtida e sugerir uma maneira de encontrar a expressão que relacione as grandezas tempo e volume de água transferido.

  7. Construir em papel monologarítmico o gráfico do volume sifonado em função do tempo. Determinar as constantes do sistema e obter a equação que rege o escoamento em função do tempo.

  1. Fazer conclusões sobre as seguintes questões:

  1. Que resultados seriam obtidos caso a seção das provetas não fosse uniforme? E se as provetas possuíssem diâmetros bastante distintos?

  2. Utilizando a equação obtida, calcule o tempo necessário para a transferência de ¼ do volume inicial. Compare o resultado com o valor obtido do gráfico.

  1. Resultados.

  1. Começamos a montagem do aparelho posicionando as provetas lado a lado.

  2. Preenchemos com água o tubo e o posicionamos com cuidado nas provetas sem soltar sua parte flexível de modo a não deixar vazar a água nele contida. Feito isso, utilizando um recipiente, colocamos água em uma das provetas até que fosse atingido o nível de (500 ± 5) ml.

  3. Para que o volume proposto pelo procedimento não fosse excedido quando o tubo fosse posicionado na proveta cheia, este item foi realizado junto ao item b.

  4. Com todo o aparelho montado e pronto para o funcionamento, a parte flexível do tubo foi solta deixando a água fluir para a outra proveta e simultaneamente o cronômetro foi disparado.

  5. O resultado obtido da medição acima foi anotado e organizado na tabela abaixo:

Tabela 4.1. Tempos cronometrados para a transferência de líquido entre as provetas.

Intervalos de Volume (v)

(± 5 ml)

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

475

450

425

400

375

350

325

300

275

250

Tempo cronometrado (t) (± 0,05 s)

3,56

6,75

10,06

13,37

17,58

21,39

27,70

34,20

44,26

113,84

  1. A partir dos dados da tabela 4.2 foi construído o gráfico linear do volume em função do tempo que segue em anexo.

  2. A curva obtida sugere um gráfico logarítmico apesar de apresentar algumas irregularidades como trechos praticamente lineares e um aumento irregular de tempo no intervalo final. Essas irregularidades possivelmente foram originadas por fatores externos ao experimento como um possível desnível da mesa ou ainda pelo fato de que nos primeiros intervalos, o volume da água sobe muito rapidamente e nos intervalos finais, muito lentamente, dificultando o operador do cronômetro a medir corretamente o tempo.

Mas mesmo aproximando e considerando esta uma curva logarítmica para encontrarmos a expressão que relaciona o volume e o tempo, nos deparamos com uma grande dificuldade. Para resolver esse problema, devemos transpor os dados do gráfico construído em papel milimetrado para um gráfico monologarítmico, pois assim obteremos uma reta. Com uma curva linear, fica mais prático se obter a expressão procurada, devemos apenas nos atentar ao fato de que estamos trabalhando com um eixo logarítmico e outro linear e assim calcular corretamente os parâmetros dessa reta. Devido às irregularidades ocasionadas por erros de medições a reta obtida em papel monologarítmico também tem trechos irregulares, porém, fazemos uma aproximação e obtemos uma reta média de onde é possível obter a expressão do sistema.

  1. Faremos o gráfico em papel monologarítmico do volume sifonado em função do tempo utilizando a tabela 4.1 para encontrarmos a expressão que rege o sistema. Para analisar se o escoamento é decrescente, faremos outra tabela constando valores do escoamento, ou seja, a diferença entre o volume inicial na proveta cheia e o volume mínimo e a partir desta, construiremos outro gráfico em papel monologarítmico.

Tabela 4.2. Escoamento: Vc - Vmin.

Intervalos de Volume (v)

(± 5 ml)

Vc

475

450

425

400

375

350

325

300

275

250

Vmin

250

Vc -Vmin

225

200

175

150

125

100

75

50

25

0

Tempo cronometrado (t) (± 0,05 s)

3,56

6,75

10,06

13,37

17,58

21,39

27,70

34,20

44,26

113,84

Os gráficos construídos neste item, 4.2 e 4.3 seguem em anexo.

Devemos agora encontrar as constantes do sistema e para isso, utilizaremos das facilidades oferecidas pelo gráfico linearizado. Como a curva deste gráfico foi uma reta, podemos aplicar os conceitos de equação de reta, porém devemos estar atentos ao fato de que não estamos lidando com um eixo y e sim um eixo log(y). Dada a equação reduzida da reta:

(4-1)

Onde A é o coeficiente angular da reta, dado por:

(4-2)

E B é o coeficiente linear da reta, que indica o ponto em y em que x é igual a zero. Substituindo os valores y por log(y) nas equações (4-1) e (4-2) temos:

(4-3)

(4-4)

Substituindo (4-4) em (4-3) temos:

(4-5)

Transformando os logaritmos da base 10 para a base e temos:

(4-6)

A análise das equações (4-5) e (4-6) nos faz concluir que num gráfico em papel monologarítmico, a base do logaritmo no eixo y não importa.

Analiticamente podemos obter ln(B), sabendo que esta constante indica o ponto onde a curva intersecta o eixo ln(y). Olhando para o gráfico 4.2 temos que:

(4-7)

Agora, tomemos dois pontos do gráfico 4.2: P1=(6,75;450) e P2=(10,06;425). Utilizaremos a equação (4-4) para obtermos o coeficiente A:

(4-8)

Com os valores obtidos em (4-7) e (4-8) e utilizando a equação (4-3) podemos determinar a expressão para o sistema:

(4-9)

Devemos agora, simplificar nossa expressão obtida. Para isso, colocamos cada lado da equação como expoente de e, obtendo:

(4-10)

Obtemos então uma possível expressão que relaciona o volume sifonado e o tempo. Observe que o valor 498 é aproximadamente igual ao volume inicial de água na proveta cheia e y indica o volume de água na proveta que inicialmente estava cheia então podemos supor uma expressão geral para o volume na proveta cheia em função do tempo:

(4-11)

Onde é o volume da proveta inicialmente cheia, é o volume inicial nesta mesma proveta e t é o tempo.

Mas, podemos observar uma irregularidade na equação (4-11). Vemos que quando o tempo tende à zero, então é igual à e isto está correto. Porém, quando o tempo tende ao infinito, tende a zero e isto não ocorre, pois o que se observou no experimento é que quando o tempo tende ao infinito, o volume não só na proveta inicialmente cheia, mas nas duas provetas tendem a um mesmo valor que é a metade de . Isto nos obriga a buscar outra expressão que corrija esta irregularidade. Partindo do gráfico 4.3, observamos que neste há uma diferença apenas no ponto em que a curva corta o eixo log(y). Onde no gráfico 4.2 seria aproximadamente , no gráfico 4.3 este ponto é . A partir dessa análise podemos construir uma nova expressão para o sistema:

(4-12)

Na equação (4-12), quando o tempo tende á zero, é igual à o que novamente está correto. E quando o tempo tende ao infinito tende á o que comprova que esta expressão é verdadeira para o experimento realizado no laboratório e que, portanto rege o escoamento em função do tempo. Observa-se ainda que esta função não satisfaz o gráfico 4.2 e sim o gráfico 4.3, o que se conclui é que buscando os mesmos coeficientes pelo gráfico 4.3, já teríamos obtido o resultado verdadeiro encontrado em (4-12) e que reflete corretamente a curva Vc do gráfico 4.1.

  1. A resposta para a questão 1 é que não importa o quão fosse diferente o diâmetro das provetas e irregulares fossem suas seções, os níveis finais do líquido nas duas provetas seriam iguais pois como a pressão atmosférica é igual para as duas provetas, o líquido escoaria até que o peso da coluna d’água sobre as extremidades do tubo se igualassem. Como esse peso é dado por:

(4-13)

Onde ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h é a altura da coluna de líquido, e dado que a densidade dos líquidos estudados foram constantes, assim como a aceleração da gravidade, então tal peso depende apenas da altura da coluna de líquido e não do diâmetro da mesma. Portanto, por mais que o valor do diâmetro fosse diferente para as duas provetas e que suas seções fossem irregulares, os níveis finais do líquido nas duas provetas teriam a mesma altura.

Figura 4.1. Exemplos de sifonação em recipientes diferentes.

Para responder a questão 2, utilizaremos a equação (4-12) que nos fornece o volume sifonado em função do tempo. Temos que quando houve a sifonação de ¼ do volume inicial, a proveta inicialmente cheia tinha um volume de (375±5) ml então:

Nota-se que o erro propagado foi exageradamente grande devido a uma propagação logarítmica de tal erro. Embora esse resultado tenha sido diferente do gráfico, seu erro inclui o valor correto o que demonstra que a experiência realizada em laboratório gerou um gráfico com um grande erro, mas que através da reta média é possível obter valores mais aproximados do real.

  1. Conclusões:

Os resultados de uma medida de laboratório nos possibilitam obter curvas gráficas onde a partir de sua análise podemos encontrar expressões que nos permite analisar de maneira geral o fenômeno estudado. Ao obter uma curva linear, fica fácil a visualização e determinação dos coeficientes que regem tal fenômeno, porém, quando obtemos curvas diversas como a logarítmica, por exemplo, encontramos uma dificuldade grande na obtenção dos mesmos coeficientes através do gráfico em papel milimetrado. Por essa razão, o papel monologarítmico foi desenvolvido para que fosse realizada a aplicação de uma técnica conhecida como linearização de gráficos que nos permite analisar uma curva não linear como uma reta.

O que ficou comprovado neste trabalho é que a colocação de uma curva logarítmica obtida pela análise da sifonação de um líquido em um papel monologarítmico gerou realmente uma curva aproximadamente linear o que nos possibilitou encontrar os coeficientes da função dessa curva aplicando os conceitos básicos dos coeficientes de uma reta e que ao final obtivemos uma função que satisfez o problema da sifonação á nível provando então a eficiência do uso do papel monologarítmico na linearização de uma curva logarítmica.

Em relação ao problema da sifonação á nível, concluímos que a quantidade de líquido transferida em intervalos de tempo iguais não é constante.

Devido ao fato das diferentes extremidades do tubo estarem submetidas á diferentes pressões, exercidas pelo peso da coluna de água localizada sobre cada extremidade do tubo mais a pressão atmosférica, surge um fluxo de líquido entre as duas provetas e que conforme o líquido é transferido, uma coluna de água aumenta e a outra diminui até que estas se igualem. Esta variação simultânea dos níveis de água entre as duas provetas fazem com que o fluxo que passa pelo tubo vá diminuindo até cessar, obedecendo a uma função logarítmica que foi observada no gráfico e na expressão obtida do problema.

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