Movimento retilíneo uniformemente variado

Movimento retilíneo uniformemente variado

Experiência: Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado

  1. Objetivos:

Estudar o movimento de um corpo em condições que se aproximam de um sistema sem atrito, num “colchão de ar”. Fazer a análise cinemática e dinâmica do problema estudado e relacioná-las.

Utilizar os conceitos de construção, linearização e obtenção de coeficientes de um gráfico.

  1. Introdução teórica.

    1. 2ª Lei de Newton.

Segundo a 2ª Lei de Newton, é possível medir a aceleração de um corpo se deste mesmo for conhecida a massa e a força resultante aplicada seguindo a expressão:

(2-1-1)

Onde m é a massa do corpo e a é a aceleração.

Note que quando a força resultante é nula então não há aceleração e o corpo está em um movimento retilíneo uniforme sem a ação de forças (1º Lei de Newton – Lei da Inércia).

    1. Cinemática do Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado.

A aceleração é uma grandeza vetorial, definida pela cinemática como sendo a taxa de variação da velocidade em função do tempo. Quando um sistema apresenta aceleração constante, o módulo da mesma é dado por:

(2-2-1)

Em geral, a o módulo da aceleração instantânea é dado por:

(2-2-2)

Voltando ao caso do sistema apresentar aceleração constante, podemos obter uma função horária da posição x num movimento retilíneo uniformemente acelerado:

(2-2-3)

Onde é a posição inicial do objeto, é a velocidade inicial do mesmo, t é o tempo e “a”, a aceleração.

  1. Procedimento Experimental.

  1. Dado o aparelho esquematizado na figura 3.1 abaixo, determinar intervalos de espaço em seu trilho, fazendo marcações nos mesmos para as medições dos itens seguintes.

Fig. 3.1 – Esquema aparelho montado para o experimento.

  1. Medir a massa do corpo suspenso na extremidade do fio e do carrinho.

  2. Determinar e marcar no trilho, uma posição inicial para a partida do carrinho de modo que este seja igual para todas as medidas realizadas. Posicionar os sensores ópticos, um no primeiro ponto e o outro em cada um dos demais pontos de modo a se medir o tempo necessário para que o corpo percorra os intervalos de espaço determinados no item “a”.

  3. Ligar o compressor, posicionar o carrinho no ponto inicial determinado no item “c” e com os sensores ópticos nas posições necessárias para cada medição, soltar o carrinho. Anotar o tempo cronometrado em cada medição e organizar os dados obtidos numa tabela.

  4. Determinar teoricamente a aceleração do carrinho desprezando-se eventuais atritos através da 2ª Lei de Newton.

  5. Utilizando os dados da tabela construída a partir do item “d”, construir em papel milimetrado o gráfico do espaço percorrido em função do tempo (Sxt).

  6. Identificar a curva obtida, linearizá-la e obter a expressão cinemática do movimento.

  7. Comparar a análise dinâmica (2ª Lei de Newton) do item “e” com a análise cinemática do item “g”.

  1. Resultados.

  1. Para realizar as medições, fizemos no trilho, doze intervalos de espaço iguais, de medida , totalizando um percurso de .

  2. A massa do suporte aos pesos na extremidade do fio, tal como a dos pesos adicionados ao mesmo, do carrinho e dos pesos adicionados ao carrinho foram medidas e somadas de modo a se obter massa do corpo total na extremidade do fio e do carrinho com os pesos. Os resultados foram organizados na tabela abaixo:

Tabela 4.1 – Massas Medidas

Carrinho (c)

Corpo Suspenso (s)

Massas Medidas

(± 0,01) g

92,72

14,70

Massas Adicionadas

(± 0,01) g

198,50

131,78

Total (m)

(± 0,02) g

291,22

146,48

  1. Para iniciar as medições de tempo, determinamos uma posição no trilho de onde o carrinho partiu em todas as medições. Medimos a distância desse ponto até o primeiro ponto que seria medido e obtemos como resultado . Para cada medição, os sensores foram posicionados corretamente nas marcações do trilho.

  2. A partir do ponto inicial e com os sensores nas posições necessárias para cada medição, o carrinho foi solto e os sensores cronometraram os tempos necessários para o carrinho percorrer os determinados intervalos de espaço. Os resultados obtidos foram organizados na tabela abaixo:

Tabela 4.2 – Tempos cronometrados para determinados intervalos de tempo

Espaço (S)

(± 0,5) mm

80,0

130,0

180,0

230,0

280,0

330,0

Tempo (t)

(± 0,001) s

0,095

0,174

0,221

0,256

0,294

0,332

Espaço (S)

(± 0,5) mm

380,0

430,0

480,0

530,0

580,0

630,0

Tempo (t)

(± 0,001) s

0,360

0,394

0,420

0,455

0,480

0,513

  1. Tomando a equação (2-1-1), podemos calcular teoricamente a aceleração do carrinho. Para tanto, devemos conhecer a força resultante que atua no carrinho e sua massa. Sua massa foi medida e consta na tabela 4.1. A força que atua no carrinho pode ser obtida analisando o diagrama de corpo livre do carrinho (c):

Fig. 4.1 – Análise de forças e diagrama de corpo livre do carrinho (c).

No carrinho, a normal anula a força peso e a única força que atua no mesmo é a tração que em módulo tem a mesma intensidade do peso do corpo suspenso “s”. Como a massa de “s” foi medida e consta na tabela 4.1, tomando o módulo da aceleração da gravidade como sendo , sabendo que o módulo da força peso é:

(4-1)

Podemos então calcular a força resultante no carrinho:

(4-2)

Utilizando agora a 2ª Lei de Newton (2-1-1) e desprezando eventuais forças de atrito e resistência do ar, podemos calcular teoricamente a aceleração do carrinho:

(4-3)

  1. Utilizando os dados da tabela 4.2, construímos em papel milimetrado a curva do espaço percorrido em função do tempo (S x t) que segue em anexo.

  2. Observando o gráfico obtido no item “f”, podemos notar que se trata aproximadamente de uma parábola. Utilizaremos, portanto, para linearizar esta curva, o papel di-log. O gráfico linearizado em papel di-log segue em anexo.

Tomemos agora dois pontos não experimentais, P1=(log0,058 ; log20) e P2=(log0,01 ; log50) indicados no gráfico. A partir da equação reduzida da reta:

(4-4)

Onde S é o espaço, o coeficiente angular da reta, t o tempo e log(b) o coeficiente linear da reta.

Podemos encontrar a equação que rege o sistema estudado. Para isso, devemos calcular os parâmetros da equação (4-4). Sabemos que:

(4-5)

Usando os valores dos pontos P1 e P2 e a equação (4-5) temos:

(4-6)

O coeficiente linear é o ponto em que a reta intersecta o eixo log(S) que passa pela origem. Observando diretamente do gráfico podemos obtê-lo. O ponto em que o gráfico intersecta o eixo log(S) que passa pela origem é em (2000,0±500,0)

Tomando a equação (4-4) podemos agora obter a equação geral do sistema estudado:

(4-9)

Façamos agora uma comparação com a expressão obtida em (4-9) e a função horária do espaço num movimento retilíneo uniformemente variado apresentado em (2-2-3). Se notarmos que para o experimento, tomamos a velocidade inicial nula e o espaço inicial também nulo vemos que teríamos a equação (2-2-3) da seguinte maneira:

(4-10)

Agora podemos notar a semelhança entre (4-10) e (4-9). Fazendo uma aproximação comparativa de 1,73 para 2 notamos então que o coeficiente linear da função nada mais é do que a metade do valor do módulo da aceleração:

(4-11)

Desta forma podemos então obter o módulo da aceleração do carrinho no sistema:

(4-12)

  1. Fazendo o estudo do movimento pela 2ª Lei de Newton, obtemos um resultado (4-3) que se aproxima do valor obtido pelo mesmo estudo realizado pela análise cinemática do problema (4-12). Note que a aceleração obtida em (4-3) tem módulo maior, pois para o cálculo da mesma, desconsideramos todas as ações de forças resistentes ao movimento como o atrito, resistência do ar, etc. Já na análise cinemática obtida através de dados experimentais, sabemos que embora o “colchão de ar” tenha minimizado os efeitos do atrito, ainda havia forças atuando contra o movimento, o que resultou num módulo de aceleração menor.

  1. Conclusões:

Utilizando o “colchão de ar” como um “instrumento” para minimizarmos as forças de atrito do trilho, conseguimos um resultado experimental para a aceleração do sistema, que se aproxima do valor calculado a partir de uma análise ideal do aparelho usado (4-3), desprezando todas as forças resistentes ao movimento. Quando fizemos a análise do fenômeno através da 2ª Lei de Newton (4-3), desconsideramos a ação do atrito, da resistência do ar e de outras eventuais forças resistentes ao movimento e isto resultou como o esperado que o módulo dessa aceleração fosse maior do que o módulo da aceleração obtida através do estudo dos dados experimentais que refletem a situação real (4-12), uma vez que as forças resistentes estiveram presentes nos dados analisados. Isto comprova a 2ª Lei de Newton (2-1-1) em relação á equação horária do espaço num movimento retilíneo uniformemente variado (2-2-3).

O que se pode analisar do sistema é que o carrinho foi acelerado devido a ação da tração no fio ocasionada pelo peso do corpo suspenso na extremidade do fio. Sabendo que só há aceleração quando uma força atua no sistema, se o corpo suspenso tocasse o chão, a força normal anularia seu peso que anularia a tração no fio e a resultante do sistema se tornaria nula, o que deixaria o carrinho numa situação de movimento retilíneo uniforme, ou seja, com velocidade constante, já que não haveria aceleração.

Na obtenção dos resultados experimentais através do gráfico linearizado do espaço em função do tempo (log(S)xlog(t)), já podíamos fazer conclusões sobre os significados físicos dos coeficientes da reta onde o coeficiente angular indica o expoente do tempo e o coeficiente linear, a metade da aceleração, uma vez que na equação horária (2-2-3), considerando o espaço inicial e a velocidade inicial do carrinho, o termo que multiplica o tempo elevado ao coeficiente angular é . O uso dessa técnica de linearização teve mais uma vez sua eficiência comprovada devido ao fato de que seu estudo nos direcionou a um resultado esperado.

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