Colisões unidimensionais

Colisões unidimensionais

Experiência: Colisões Unidimensionais

  1. Objetivos:

Utilizar da medida experimental de grandezas físicas envolvidas no estudo das colisões para descrever este fenômeno entre dois corpos em movimento unidimensional.

  1. Introdução teórica.

Pela 3ª Lei de Newton, sabemos que quando ocorre a interação entre dois corpos de massa m1 e m2, as forças que neles atuam, uma devida a outra, são, em cada instante, iguais e opostas.

Define-se o momento linear, ou quantidade de movimento linear (P) de um corpo, como sendo o produto da massa do mesmo pela sua velocidade. Na situação descrita no início da introdução teórica, temos que P não deve variar, pois a resultante das forças externas é nula e, portanto:

(2-1)

Temos então que, se u1 e u2 são as velocidades dos corpos antes da interação e v1 e v2 são as velocidades dos corpos após a interação então:

(2-2)

No caso de uma colisão perfeitamente elástica, ou seja, quando toda a energia cinética de um corpo se transfere ao outro, a soma das energias cinéticas dos corpos antes da interação é igual a soma das energias cinéticas após a interação e portanto:

(2-3)

Já no caso onde ao final da colisão os dois corpos se movem juntos com velocidade V temos:

(2-4)

Quando ocorre uma colisão perfeitamente inelástica, a quantidade de movimento linear (P) se conserva, porém o mesmo não acontece para as energias cinéticas.

Para analisarmos se uma colisão é elástica, perfeitamente inelástica ou parcialmente elástica, basta analisar o coeficiente de restituição dado por:

(2-5)

Se e=1, a colisão é perfeitamente elástica, se e=0, não há velocidade relativa de afastamento, portanto caímos num caso de colisão perfeitamente inelástica, e finalmente, se e estiver compreendido entre 0 e 1, temos um caso duma colisão parcialmente elástica.

Observa-se pela equação (2-2) que quando ocorrer o caso de que as massas do projétil e do corpo alvo forem iguais teremos que o somatório das velocidades iniciais e das velocidades finais serão iguais e ainda, que toda a velocidade será transferida de uma esfera á outra, o que caracteriza uma colisão perfeitamente elástica.

  1. Procedimento Experimental.

O equipamento a ser utilizado consta de canhão colocado a uma altura H acima do nível da bancada, por onde um corpo de massa m1 é lançado com determinada energia cinética e colide com outro corpo de massa m2. Após a colisão os corpos eventualmente terão velocidades diferentes (diferentes módulos, sentido e direção). Ajustando as massas m1 e m2 para sofrerem uma colisão frontal, verifique se o choque pode ser considerado elástico. Para tanto, é necessário obter as velocidades das massas. Determine as grandezas físicas envolvidas e utilize os conceitos teóricos que comprovam se a colisão é elástica ou não.

Fig.3.1 – Esquema do experimento para o estudo de uma colisão unidimensional.

  1. Medir a massa do projétil e da esfera alvo.

  2. Cole as folhas de papel na mesa.

  3. Execute uma série de lançamentos para determinar a velocidade inicial do projétil e para traçar uma linha de referência.

  4. Executar alguns lançamentos para verificar o ponto de queda das esferas. Fixar o papel carbono no ponto de queda.

  5. Medir a altura das esferas em relação á superfície da mesa.

  6. Executar as colisões e medir a ponto de queda da esfera alvo.

  7. Determinar as velocidades das partículas antes e depois da colisão.

  8. Utilizar os conceitos teóricos para determinar o tipo de colisão.

  1. Resultados.

  1. Utilizando uma balança, foram medidas as massas da esfera alvo e do projétil obtemos os seguintes resultados:

Massa do projétil: .

Massa da esfera alvo: .

  1. Com as folhas já fixadas na mesa, prosseguimos com a experiência.

  2. Executamos uma série de lançamentos e posteriormente medimos a distância x esquematizada na figura 3.1. Utilizamos também os pontos onde o projétil tocou a mesa para traçar uma linha de referência. As distâncias x medidas no lançamento livre do projétil foram organizadas na tabela abaixo:

Tabela 3.1 – Distâncias x medidas no lançamento livre do projétil.

Medidas

1

2

3

4

5

Valor médio

Distância (d)

(±0,5) mm

765,0

765,0

775,0

780,0

782,0

(773,4 ± 3,6)

  1. Executadas algumas colisões pudemos verificar o ponto de queda das esferas e então fixar o papel carbono nesses pontos.

  1. Utilizamos o prumo para determinar o ponto no papel de onde devíamos medir a altura. Medimos então a altura e obtemos como resultado:

Altura:

  1. Realizadas algumas colisões, pudemos verificar o ponto de queda da esfera alvo e medir a distância x, esquematizada na figura 3.1. Os resultados obtidos foram anotados na tabela abaixo:

Tabela 3.2 – Distâncias x percorridas pela esfera alvo até atingir o ponto de queda

Medidas

1

2

3

4

5

Valor médio

Distância (d)

(±0,5) mm

751,0

751,0

755,0

759,0

782,0

759,6 ± 5,8

  1. Devemos inicialmente fazer a medida indireta da velocidade inicial do projétil. Para isto, temos medido a altura na qual o mesmo se encontrava e a distância média que o mesmo percorreu após o lançamento. Pela teoria do lançamento oblíquo de projéteis, temos um movimento bidimensional que pode ser decomposto em dois movimentos unidimensionais. Calculemos o tempo de vôo do projétil a partir do seu movimento vertical. Convertemos a altura de mm para m e considerando a aceleração da gravidade como sendo g=9,8m/s². Temos então:

Agora, temos o tempo de vôo do projétil. Como o movimento horizontal é um movimento retilíneo uniforme e como conhecemos a distância que o projétil percorreu, podemos calcular sua velocidade inicial:

A esfera alvo estava inicialmente em repouso, portanto . Já após a colisão, como a altura em que a esfera alvo se encontrava era igual a altura da projétil, então o tempo de vôo após a colisão pra esfera alvo foi igual. Podemos então calcular a velocidade da esfera alvo após a colisão:

Tendo medido o valor das massas da esfera alvo e do projétil, a velocidade inicial do projétil, a velocidade inicial da esfera alvo e a velocidade final da esfera alvo

podemos agora calcular a velocidade final do projétil pela equação (2-2):

  1. Para concluirmos o tipo de colisão que houve, podemos primeiro analisar as velocidades iniciais e finais. Observe que a velocidade inicial do projétil é aproximadamente igual á velocidade final da esfera alvo o que nos leva a concluir que se trata de uma colisão praticamente elástica, pois praticamente toda a velocidade foi transferida entre as esferas. Podemos concluir isso apenas observando que como as massas são aproximadamente iguais, a transferência de velocidade deveria ser praticamente total. Ocorreu essa pequena diferença entre as velocidades, devido ás pequenas discrepâncias das medidas.

Podemos também utilizar o cálculo do coeficiente de restituição para concluirmos qual o tipo de colisão que ocorreu. Pela introdução teórica, temos a equação (2-5):

Na introdução teórica vimos que se e=1, então ocorreu uma colisão perfeitamente elástica. Como no caso estudado e=0,96, então concluímos que houve praticamente uma colisão perfeitamente elástica e a quase conservação total de energia que só não ocorreu devido á dissipações de inúmeras naturezas.

  1. Conclusões.

Para encontrarmos os parâmetros utilizados no estudo de uma colisão, necessitamos fazer o uso da cinemática no estudo de um movimento bidimensional. Feito isso, tínhamos uma série de dados que então nos permitiu fazer conclusões sobre o tipo de colisão que ocorreu.

Na teoria, tínhamos que como a quantidade de movimento linear se conserva numa colisão então o somatório dos momentos lineares das partículas antes da colisão seria igual ao mesmo somatório após a colisão (2-2). Se ocorresse o caso em que as massas do projétil e da partícula alvo fossem iguais, então ocorreria que toda a velocidade do projétil seria transferida á esfera alvo caracterizando então uma colisão perfeitamente elástica frontal. Também pela teoria, vimos que o calculo do coeficiente de restituição (e) das partículas (2-5) pode nos levar á conclusão do tipo de colisão. Se e=1, a colisão é perfeitamente elástica, se e=0, não há velocidade relativa de afastamento, portanto caímos num caso de colisão perfeitamente inelástica, e finalmente, se e estiver compreendido entre 0 e 1, temos um caso duma colisão parcialmente elástica.

Com os dados coletados, primeiramente calculamos as velocidades antes e depois da colisão das duas partículas e analisando-as, chegamos a conclusão de que praticamente toda a velocidade do projétil foi transferida á esfera alvo com exceção á uma pequena parcela que se manteve devido á uma pequena diferença entre as massas. Disso, já concluímos que a colisão estudada se tratava praticamente de uma colisão perfeitamente elástica, mas para isso, calculamos ainda o coeficiente de restituição da colisão. Como obtemos um resultado próximo a 1, concluímos novamente que houve algo próximo a uma colisão perfeitamente elástica.

Utilizando a teoria e analisando o experimento e seus parâmetros, chegamos á mesma conclusão de maneiras diferentes, analiticamente e algebricamente, o que nos leva a concluir finalmente que o que houve foi realmente algo próximo á uma colisão perfeitamente elástica.

Em relação á conservação de energia mecânica, sabe-se que esta só seria totalmente conservada se o sistema fosse ideal, pois quando isso não ocorre, há inúmeras condições que ocasionam a dissipação de energia. A quantidade de energia que não foi conservada no experimento seguramente foi dissipada de inúmeras maneiras.

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