Capacitor - Transitório em CC, Constante de Tempo e Função de Queda Exponencial

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Capacitor, Transitório em C, Constante de Tempo, Temporizador

1. A relação entre a d.d.p. presente nos terminais de um capacitor e a sua quantidade de carga elétrica acumulada:

Ao carregarmos um capacitor estamos fazendo com que o material que compõem cada uma de suas placas fique com excesso de elétrons de elétrons do lado do terminal negativo e com falta de elétrons do lado do terminal positivo.

Teoricamente, a quantidade de elétrons que sobram do lado negativo é exatamente igual a quantidade de elétrons que faltam do lado positivo.

Nos casos práticos estaremos lidando com enormes quantidades de elétrons, daí a necessidade de se medir a grandeza quantidade de carga elétrica (Q), não em número de elétrons (e), mas sim em número de Coulombs (C), que na verdade nada mais é do que um montão de elétrons, mais exatamente:

1 Coulomb = 6,25 x 1019 elétrons

Quando um capacitor acumula cargas elétricas, um campo elétrico é desenvolvido entre suas placas. Tal campo elétrico corresponde a uma d.d.p. podendo ser medida em volts (V).

O valor da d.d.p. presente entre os terminais de um certo capacitor é sempre proporcional à quantidade de cargas elétricas que o mesmo acumula, assim, se um capacitor com capacitância de valor igual a 1 Farad contiver o acumulo de 1 Coulomb de quantidade de carga, entre seus terminais será desenvolvida uma d.d.p. de 1 volt:

1 Coulomb= 1 volt

1 Farad

Obviamente que, para esse mesmo capacitor, se a quantidade de carga elétrica acumulada for dobrada, ou seja, que o capacitor possua a quantidade de carga de 2 Coulombs acumulado, a d.d.p. também dobrará:

2 Coulombs= 2 volts

1 Farad

Por sua vez para um capacitor de 1/2 Farad, bastaria uma carga de 1 Coulomb para atingir a d.d.p. de 2 volts:

1 Coulomb= 2 volt

0,5 Farad

Fazendo a substituição pelos literais que representam cada uma dessas três grandezas envolvidas temos a expressão:

Ou:C = Q <= Fórmula fundamental

V Capacitância

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2. A energia armazenada em um capacitor carregado:

Estamos bastante acostumados a ver a grandeza energia elétrica (ωωωω) medida na unidade Quilowatts x hora, por ser essa a unidade utilizada por nossas concessionárias de fornecimento de energia elétrica na hora da cobrança das famigeradas “contas de luz”.

Watt é unidade de medida de potência elétrica (P) e hora, unidade de medida de tempo (t), daí podemos concluir que energia é igual à potência vezes tempo:

ωωωω = P . t

A potência pode ser determina pela multiplicação da tensão (V) pela corrente (i). Sendo assim temos:

ωωωω = V . i . t

Haja visto podermos considerar a corrente como sendo quantidade de cargas elétricas (Q) que flui pela seção transversal de um condutor na unidade de tempo, daí:

ωωωω = V. Q . t t simplificando: ωωωω = V . Q

Devemos tomar o cuidado de lembrar que um capacitor que tenha 1000 elétrons em excesso acumulados em sua placa do lado do terminal negativo terá também falta de 1000 elétrons em sua placa do lado do terminal positivo, daí a quantidade total de cargas é uma diferença de 2000 elétrons. No entanto, com capacidade de realizar trabalho teremos apenas a metade, pois para cada elétron que sair da placa negativa, um elétron entrará na placa positiva, ou seja, somente 1000 elétrons circularão de polo a polo esgotando totalmente a energia armazenada no capacitor. Sendo assim:

ωωωω = ½ . Q. V Por substituições podemos obter ainda:

ωωωω = ½ . C . V2 ωωωω = Q 2

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3. A constante de tempo R.C :

Este tópico é tratado na apostila Eletricista de manutenção I - Eletricidade básica – Teoria

– Unidade IV – Circuitos capacitivos e indutivos – Capítulo 19 – pag. 176, com um nível adequado de profundidade adequado para o curso C.A.I., porém com uma superficialidade tal que não apoia explicações de fórmulas que surgirão posteriormente nos estudos de circuitos de tempo e multivibradores astável e monoestável com transistores e C.I.s.

No estudo destes circuitos surgem fórmulas como por exemplo T = 0,69. R . C ;

T = 1,1 . R . C; T = 0,693 . ( R1 + R2 ) . C2 ; etc.

Os valores das constantes que aparecem nestas fórmulas podem ser explicados a partir do estudo da função de queda exponencial que está associado aos transitórios de carga e de descarga dos capacitores.

Toda vez que um circuito e comutado de um estado para outro, seja por uma mudança na fonte de energia ou por um chaveamento nos elementos do circuito, ocorre um período de transição, durante o qual a corrente e suas derivações ou as tensões nos elementos variam de seus valores primitivos para outros novos valores. Este período é chamado de transitório. Após o transitório ter passado, diz-se que o circuito esta em regime permanente (ou estado estacionário).

No transitório de descarga de um capacitor que esteja com carga inicial, através de uma via condutora, por exemplo ligando-se uma resistência R através dos terminais do capacitor (fig. 01) a função de queda exponencial tanto para a corrente quanto para a tensão do capacitor pode ser escrita na forma:

e – t / ΤΤΤΤ onde:

e => é a base do logaritmo natural (ou nepperiano); Τ => é a constante de tempo ( no caso: Τ = R . C );

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Pela lei das tensões de Kirchhoff (LTK) para a malha fechada temos:

VC + VR = VT A chave é fechada no instante t = 0, devido a isto temos VT = 0. Sendo assim:

No início do transitório de descarga temos o capacitor carregado com uma tensão inicial

(V0). A função de queda exponencial associada a tensão do capacitor faz com que esta decresça a partir de V0 , de forma não linear, ao longo do transitório de descarga, segundo a expressão:

VC = V0 . e

– t / ΤΤΤΤ

Onde: V0 => tensão com a qual o capacitor esta inicialmente carregado.

Esta fórmula nos permite, conhecendo-se os seus parâmetros, determinar a tensão sobre o capacitor em qualquer instante dentro do transitório de descarga.

Calculando-se a constante de tempo ( Τ ) a partir dos valores da resistência (R) do resistor e da capacitância (C) do capacitor ( ΤΤΤΤ = R . C ) e atribuindo-se alguns valores ao instante t ( de preferência multiplos de Τ, pois assim conservamos o expoente de e inteiro) e necessariamente contidos no intervalo 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 5.ΤΤΤΤ , ex.:

podemos determinar pontos que nos permitam criar um gráfico da forma de onda, que nos mostra a queda exponencial da tensão VC, ao longo de todo o transitório. O transitório é considerado encerrado em t = 5T.

Se acrescentarmos no mesmo gráfico a forma de onda da tensão VR temos a figura abaixo:

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Observe que para o instante t = 5.Τ o capacitor já descarregou aproximadamente 9,3% de sua carga (pois, e– 5 = 0.006737946) e é por isso que em termos práticos considera-se que o transitório esteja encerrado neste instante, ou seja, tenha duração de 5.R.C .

Se multiplicarmos o valor da função de queda exponencial ( e – t / T ) obtida para cada um dos pontos escolhidos para construir o gráfico por 100%, obteremos os mesmos valores percentuais que aparecem na tabela apresentada na pag. 189 da apostila Eletricista de manutenção I - Eletricidade básica – Teoria, e, se tomarmos cada um destes valores percentuais obtidos e subtrairmos de 100%, teremos os valores percentuais da tabela da pag. 186 da mesma apostila.

Caso venhamos a estudar o transitório de carga do capacitor ( ao invés do de descarga, que ora foi estudado), deve-se tomar o cuidado de considerar o fato de que a função de queda exponencial seja associada a tensão do resistor VR ( VR = VT . e

– t / ΤΤΤΤ ) e não a tensão do

capacitor VC, haja visto que no transitório de carga a tensão do capacitor, a partir de t = 0

( quando é conectada a fonte de energia ) é crescente ao longo do transitório de carga e a tensão do resistor é que esta em queda a partir do valor VR =VT

(desde de que o capacitor inicie totalmente descarregado).

4. Aplicação da função de queda exponencial no estudo dos multivibradores astável e monoestável c/ C.I. 5:

Os gráficos a seguir mostram as formas de onda da tensão sobre o capacitor de temporização nos circuitos multivibradores astável (fig. 3) e monoestável (fig. 4) com C.I. 5:

Fig. 3

Observe que a forma de onda da tensão sobre o capacitor de temporização do astável apresenta alternância de transitórios de carga e de descarga e que tem ponto de máxima em 2/3 de Vcc e de mínima em 1/3 de Vcc (exceção para o primeiro transitório quando o capacitor se encontra inicialmente com carga zero). Esta delimitação da forma de onda se deve ao fato de que tanto o comparador de limiar (que comuta comparando com referência de 2/3 de Vcc) quanto o

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Industrial NAI E-Mail: nai106@sp.senai.br comparador de disparo (que comuta comparando com referência de 1/3 de Vcc) estão ambos recebendo em suas entradas a tensão que esta sobre o capacitor de temporização.

Fig. 4

Já a forma de onda do monoestável tem também como ponto de máxima 2/3 de Vcc, no entanto o ponto de mínima é 0v. Isto ocorre pois somente a entrada do comparador de limiar recebe a tensão do capacitor de temporização, haja visto que a entrada de disparo esta separada para receber pulsos de comando externo.

Observe também que no monoestável o capacitor de temporização é descarregado abruptamente (num tempo extremamente pequeno) , isto é devido ao fato de que o coletor do transistor de descarga esta conectado diretamente sobre o capacitor (no astável isso não acontece pois a descarga é feita via um resistor (RB)).

No monoestável o capacitor se carrega então com 2/3 de Vcc, o que em termos percentuais corresponde a 6,67% (considerando Vcc = 100%), ou ainda a um índice de 0,667. Assim sendo, no instante em que a tensão sobre o capacitor de temporização atinge o pico máximo de 0,6667 . Vcc , teremos a somatória das tensões sobre os resistores atingindo o pico mínimo de (1 – 0,6667) . Vcc , ou seja 0,3 . Vcc.

Com VR = 0,3 . Vcc e como foi visto, tendo associado a tensão VR a função de queda exponencial (por tratar-se de transitório de carga) temos:

VR = Vcc . e –t / ΤΤΤΤ

E podemos concluir que:

ou seja:

ln 0,3 = - t / ΤΤΤΤ resolvendo o cálculo:

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Isto significa que o transitório de carga do capacitor tendo iniciado com o capacitor totalmente descarregado em t = 0, a tensão do capacitor atingirá o exato valor de 2/3 de Vcc no instante t = 1,0987 . Τ , ou seja em:

Tanto no material didático do C.A.I. quanto nos “data books” o valor 1,0987 é arredondado para 1,1 , daí a fórmula para o monoestável com C.I. 5:

Agora, voltando ao caso do multivibrador astável a forma de onda fica limitada em 1/3 de

Vcc e 2/3 de Vcc. Ao partir de 1/3 Vcc iniciando transitório de carga, a tensão sob o capacitor cresce com velocidade tal que atingiria o valor de Vcc após 5.T, portanto, apesar do processo de carga ser abortado , forçosamente, quando a tensão no capacitor atinge 2/3 de Vcc, pela comutação do transistor de descarga (pino 7 do 5), este valor (2/3 Vcc) não é o valor máximo com o qual o capacitor poderia se carregar.

Analise que, caso o pino 7 (descarga) fosse desconectado o capacitor continuaria se carregando acima de 2/3 de Vcc, atingindo finalmente (e após 5.T segundos do início do transitório), o valor de Vcc.

O gráfico abaixo apresenta esta situação:

Fig. 4

Sendo assim, o que precisamos determinar é o intervalo de tempo K que o capacitor levara para carregar com 50% ( ou 0,5) da tensão, assim temos:

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VR = Vcc . e –t / T

Isso significa que o transitório de carga do capacitor tendo iniciado com o capacitor com carga inicial de 1/3 de Vcc em t = 0, a tensão do capacitor atingirá o exato valor de 2/3 de Vcc no instante t = 0,6931 . T. Nos “data books” e materiais didáticos é apresentada a fórmula:

Para determinação do intervalo de tempo com a saída em nível baixo do período do astável com 5. Já para a determinação de T2 (intervalo de tempo com a saída em nível alto), observe que este está condicionado ao tempo de descarga do capacitor variando a tensão entre 2/3 de Vcc e 1/3 de Vcc, e lembrando que a descarga iria até 0v caso o transistor de descarga não deixasse de conduzir no ponto 1/3 de Vcc, o que nos remete igualmente a uma condição de descarga de 50% da carga existente no início deste transitório, assim temos:

O tempo total do astável é de : Ttot = T1 + T2

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