Algebra Linear - Exercicios Resolvidos

Algebra Linear - Exercicios Resolvidos

Algebra Linear—Exercıcios Resolvidos Agosto de 2001

Sumario

1 Exercıcios Resolvidos — Uma Revisao 5 2 Mais Exercıcios Resolvidos Sobre Transformacoes Lineares 13

4 SUMARIO 4 SUMARIO

Capıtulo 1 Exercıcios Resolvidos — Uma Revisao

2. Se X,Y ∈ W e λ ∈ R, entao, pelas propriedades da soma e da multiplicacao por escalar usuais entre as matrizes e, tambem, pelas propriedades do produto entre matrizes, temos

Ex. Resolvido 4 Encontre o subespaco vetorial de M2(R) gerado por

Resolucao: Temos que A ∈ [S] se e somente se existem α,β ∈ R tais que ou seja, A ∈ [S] se e somente se os elementos da diagonal principal de A sao nulos. ¤

6 CAPITULO 1. EXERCICIOS RESOLVIDOS — UMA REVISAO

Ex. Resolvido 5 Encontre um conjunto finito de geradores para

Resolucao:

portanto,

¤ Ex. Resolvido 6 Encontre um conjunto finito de geradores para

Resolucao:

isto e,

portanto,

sao l.i., segue-se que formam uma base de U. Segundo Modo: Note que os vetores (1,0,1) e (1,2,0) sao l.i. e pertencem a U. Vejamos se estes vetores juntamente com (0,2,−1) sao l.d. ou l.i.:

formam uma base de U. Embora as bases 1.1 e 1.2 nao coincidam, ambas estao corretas. Basta observar que

para U, W, U ∩ W e U + W, no caso em que nao se reduzam a {0}.

Resolucao:

c d portanto, A ∈ U se e somente se existirem α,β,γ ∈ R tais que

A mesma equacao acima tomada com A = 0, mostra que as matrizes( 1 0 sao l.i. e, portanto, como geram U, formam uma base de U. Note que dimU = 3.

gera W e e nao nula, ela serve de base para W. Note que dimW = 1.

isto e, se e somente se existir λ ∈ R tal que( λ λ

subespacos vetoriais de V = P2(R). Encontre uma base para U, W, U ∩ W e U + W, no caso em que nao se reduzam a {0}.

Ex. Resolvido 10 Seja V um espaco vetorial. Sejam B e C bases de V formadas pelos vetores e1,e2,e3 e

1. Determine as matrizes de mudanca da base B para a base C, isto e, MCB, e da base C para a base B, isto e, MBC .

2. Se as coordenadas do vetor v em relacao a base B, isto e, vB, sao dadas por 1 3

coordenadas de v em relacao a base C, isto e, vC.

3. Se as coordenadas do vetor v em relacao a base C, isto e, vC, sao dadas por 2 3

coordenadas de v em relacao a base B, isto e, vB. Resolucao:

10 CAPITULO 1. EXERCICIOS RESOLVIDOS — UMA REVISAO

Como MBC = ( MC B

1 0 31 0 0
1 2 00 1 0
−1 3 10 0 1
1 0 31 0 0
0 2 −3−1 1 0
0 3 41 0 1
1 0 31 0 0
−12 12 0
0 3 41 0 1
1 0 31 0 0
−12 12 0
52 −32 1
1 0 31 0 0
−12 12 0
0 0 1517 − 317 2
1 0 0217 917 − 6
0 1 0− 117 417 3
0 0 1517 − 317 2

Portanto,

2. Como vC = MBCvB,

3. Como vB = MCBvC,

¤ Ex. Resolvido 1 Considere o seguinte subespaco de M2(R):

z t a) Mostre que B dada pelas matrizes e C dada pelas matrizes sao bases de W.

b) Encontre as matrizes de mudanca da base B para a base C e da base C para a base B. c) Encontre uma base D de W, tal que a matriz

seja a matriz de mudanca da base D para a base B, isto e, P = MBD. Resolucao:

z t

Assim, A ∈ W se e somente se existirem x,y,z ∈ R tais que

isto e,

A equacao 1.3 tomada com A = O mostra que as matrizes acima que geram W sao de fato l.i. e, portanto, formam uma base de W. Alem do mais, dimW = 3.

Como C e formado por tres vetores de W e a dimensao de W e tres, basta verificar que tais vetores sao l.i.. De fato, α

b) Basta notar que

e daı,

e assim,

12 CAPITULO 1. EXERCICIOS RESOLVIDOS — UMA REVISAO c) Procuremos D1,D2 e D3 em W de modo que formem uma base W tal que MBD = P. Isto ocorre se e somente se

Capıtulo 2

Mais Exercıcios Resolvidos Sobre Transformacoes Lineares

Ex. Resolvido 13 Encontre uma base para o nucleo e outra para a imagem de T : M2(R) → M2(R) dada por T(X) = AX +X, onde

Resolucao: Observe que se T(X) = (A + I)X, onde I e a matriz identidade de ordem dois. Se c d

c d

Ve-se claramente que

14 CAPITULO 2. MAIS EXERCICIOS RESOLVIDOS SOBRE TRANSFORMAC OES LINEARES seja a trivial. Colocando c d z t

c d que equivale a equacao que apresenta uma unica solucao se e somente se o determinante da matriz de ordem quatro acima for diferente de zero. Como este determinante e

Segue da demonstracao do teorema ?? queT ((1 −2 formam uma base da imagem de T. ¤

assim definida, e linear e satisfaz a propriedade desejada. ¤

Resolucao: Como dimP3 = 4 e o subespaco gerado por 1 + x3 e 1 − x2 tem dimensao dois, vemos que a imagem da transformacao procurada devera ter necessariamente dimensao dois.

O primeiro passo e completar a sequencia de vetores 1 + x3 e 1 − x2 a uma base de P3(R). Para isto, basta acrescentarmos os polinomios 1 e x, como se ve:

se e somente se α = β = γ = δ = 0. Assim, a imagem dos polinomios 1 e x, pela transformacao procurada precisam necessariamente ser

p(x)dx. Encontre a matriz de T com relacao as bases canonicas de P2(R) e R.

Resolucao: Temos

Assim, a matriz de T com relacao as bases canonicas e dada por 1 1

Ex. Resolvido 18 Seja T : R3 → R3 a transformacao linear dada por

16 CAPITULO 2. MAIS EXERCICIOS RESOLVIDOS SOBRE TRANSFORMAC OES LINEARES e, portanto,

Com relacao a base B, temos

e, portanto,

Ex. Resolvido 19 Sejam U um espaco vetorial de dimensao finita e T ∈ L(U) uma transformacao idempotente (Cf. ??). Sabemos, pela proposicao ??, que U = N(T) ⊕ T(U). Seja B uma base de U formada

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