Matemática Básica - Apostilas - Matemática Parte1, Notas de estudo de Matemática

Baixe Matemática Básica - Apostilas - Matemática Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Apresentação e Objetivos Prezado(a) aluno(a), gostaŕıamos de dar boas-vindas nesta que pode ser considerada a primeira disciplina do seu Curso de Licenciatura em Ma- temática da UFF/CEDERJ/UAB. Você está iniciando uma jornada que mu- dará a sua vida. Você agora é parte de uma universidade pública, que lhe oferece a oportunidade de obter uma formação de excelente qualidade. Estamos felizes por iniciar esta caminhada juntos em direção a este tão nobre objetivo que é a formação de quadros docentes com qualidade em nosso Estado, para atuação nos Ensinos Fundamental e Médio. Para atingir tão precioso objetivo, planejamos um curso aberto, com a maior flexibilidade posśıvel, e favorecendo o processo individual de construção de sua autonomia. A proposta do curso é a formação de qualidade diversificada, permitindo planejar caminhadas futuras em Pós-graduações, sem limites na escalada do processo de conhecimento, na perspectiva maior da educação autônoma, cujo lema é aprender ao longo da vida. Em todo o curso de Graduação do CEDERJ, apoiado na metodologia da Educação a Distância, a orientação de estudos é uma forte componente. Você, provavelmente, está cursando esta disciplina por orientação da coordenação do curso, que ponderou oportuna uma recuperação de estudos centrada em conteúdos importantes de Matemática, pelos quais você passou no Ensino Médio. Não considere esta tarefa menor. Em nenhuma área do conhecimento os conteúdos estão tão encadeados e dependentes uns dos outros como em Matemática. Se construirmos um bom alicerce, o edif́ıcio será sólido! Como ińıcio de percurso nesta boa jornada, teremos o tempo de cami- nhar e de descansar e também de enfrentar algumas ladeiras. Faz parte do jogo! É imposśıvel chegar a lugares significativos, sem subir uma ladeira! Mas, uma vez no alto do morro, poderemos contemplar o horizonte que des- cortina a bela paisagem panorâmica. Como ter sucesso fazendo uma graduação na modalidade a distância? Você já conhece as enormes vantagens que essa modalidade de ensino oferece e com certeza seu compromisso com o curso é grande. Sua formação inicia nesta disciplina com a construção de uma sólida base de conhecimentos matemáticos e com o desenvolvimento de hábitos necessários para ter sucesso na empreitada. Essa bagagem toda, adquirida nesta disciplina, lhe será ex- 7 CEDERJ tremamente útil, tanto na vida profissional quanto na vida pessoal. Mas é importante salientar algumas daquelas caracteŕısticas tão necessárias para se ter sucesso nessa forma de aprendizagem. Entre outras coisas pode-se mencionar a importância de se ter força de vontade, autodisciplina e dedicação. Organização também é fundamental. Vamos nomear algumas sugestões que serão úteis: • Estude regularmente. É preciso que você faça uma agenda de trabalho que lhe garanta um tempo espećıfico para o estudo. Isso significa que você não pode estudar somente quando “tiver” tempo. Somos nós os responsáveis pelo nosso tempo. • Consulte a tutoria para tirar dúvidas. A sua presença às seções de tutoria e a formação de grupos de estudo são ferramentas poderosas que você dispõe para progredir no curso. • Busque apoio na execução das atividades propostas. A tutoria a distância tem um papel importante a cumprir no seu programa de estudos. Ela lhe dará uma maior agilidade para debelar dúvidas e isso é um privilégio acesśıvel aos alunos do ensino a distância. • Estamos sempre trabalhando para que o material didático disponibili- zado seja de qualidade e lhe dê um caminho seguro para a construção do seu conhecimento. • O trabalho semanal com os EPs, Exerćıcios Programados, que serão disponibilizados todas as semanas, e a posterior análise dos correspon- dentes gabaritos, o ajudarão a estar em dia com os estudos. Esse tra- balho lhe permitirá traçar um mapa do curso, pelo qual você precisa navegar. Ele lhe indicará os temas semanais que você precisa estudar, determinará os exerćıcios t́ıpicos que você não deve deixar de fazer, marcando um ritmo de estudo e progresso que você deve tentar manter. Matemática, uma grande opção! Vamos falar agora um pouco sobre Matemática, que já foi chamada “a rainha das ciências”. A Matemática desempenha um papel fundamental no desenvolvimento cient́ıfico e tecnológico de nossa sociedade. Assim, maior é a nossa respon- sabilidade de contribuir para uma boa formação nessa área. CEDERJ 8 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 Aula 1 – Frações Os números estão no âmago de todas as coisas. Pitágoras Introdução A Matemática, na forma como conhecemos hoje, teve seu ińıcio no Peŕıodo de Ouro da Antiga Grécia. Parte primordial deste desenvolvimento se deve a um grupo de matemáticos que foi liderado por Pitágoras, autor de frases famosas, como a que abre essa aula. Os gregos foram particularmente felizes ao estruturar os conhecimentos matemáticos desenvolvidos pelas civilizações que os precederam, arrumando- os essencialmente nos moldes que praticamos até hoje. Eles tinham uma visão predominantemente geométrica desses conhecimentos, mas deram também os primeiros passos no estudo dos números. A palavra Aritmética, por exemplo, é de origem grega. Ao relermos a frase de Pitágoras mais uma vez, somos levados a conside- rar a seguinte questão: que tipo de números ele tinha em mente ao pronunciar frase tão lapidar? A questão procede, pois o conceito de número, como vemos hoje, de- morou muito tempo para se estabelecer e recebeu contribuições de muitas culturas, por gerações e gerações de matemáticos. Por exemplo, os gregos não tinham uma notação espećıfica para repre- sentar os números, usavam letras, tais como os romanos depois deles. A Matemática, assim como as ciências em geral, não teria se desenvol- vido da maneira como observamos hoje sem a contribuição inestimável das culturas hindu e árabe, que nos legaram os algarismos hindu-arábicos, assim como o sistema numérico posicional. Números Naturais Mas calma, voltemos um pouco, aos números tais como foram inici- almente concebidos. Na forma mais primitiva, quando dizemos números, estamos nos referindo aos números chamados naturais, cujo conjunto repre- sentamos pela letra N: N = { 1, 2, 3, 4, . . . } Os pontinhos indicam que podemos continuar assim, outro número e outro ainda, indefinidamente. Ou seja, o conjunto N é um manancial ines- gotável dessa matéria prima que usamos na confecção da Matemática. 11 CEDERJ Frações Preferimos não incluir o zero nesse conjunto, uma vez que o zero, número tão importante nas nossas vidas e na Matemática, custou bastante para se estabelecer. A propriedade fundamental geradora dos Números Naturais é a que cada um deles tem um sucessor. Essa noção é formalizada nos dois axiomas conhecidos como Axiomas de Peano. O primeiro estabelece a existência do número natural 1 (afinal, é preciso começar de alguma coisa) e o segundo afirma que todo número natural tem um sucessor. Assim, começamos com 1, cujo sucessor é 2, seguido do 3, e assim por diante. O que mais podemos fazer com os naturais? É claro que a seqüência de números naturais serve primordialmente para contar coisas, tais como carneiros, frutas, flechas, dias e tudo o mais. Mas queremos mais do que isso. Veja, não se deixe enganar pela simplicidade desses números. O que torna os números inteiros objetos matemáticos de grande inte- resse é o fato de podermos operar com eles, somando-os e multiplicando-os. Munido dessas duas operações, o conjunto dos números naturais passa a apre- sentar questões várias. Algumas delas continuam a desafiar mentes brilhantes até hoje. Um teorema notável Esse especial interesse matemático pelos números naturais ocorre es- pecialmente devido à multiplicação. Nesse contexto surge um dos primeiros resultados matemáticos profundos com que tomamos contato. Do ponto de vista da multiplicação, os números maiores do que 1 se dividem em duas categorias: primos e compostos, dependendo de seus divisores. O teorema que mencionamos afirma que todo número natural, maior do que dois, se decompõe em fatores primos e, mais ainda, a decomposição é única, a menos da ordem dos fatores. Em linguagem informal, o teorema afirma que, do ponto de vista da multiplicação, todos os números podem ser montados a partir de peças básicas, os números primos, como um infinito brinquedo lego. Assim, 6 = 2 × 3, 30 = 2 × 3 × 5, 121 = 112, 660 = 22 × 3 × 5 × 11 e 47 = 47, pois 47 é, ele próprio, um número primo. Esse resultado matemático era conhecido pelos antigos gregos (você sabe o que é o crivo de Eratóstenes?) mas só foi rigorosamente demonstrado bem posteriormente, por Gauss, um dos maiores matemáticos de todos os CEDERJ 12 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 tempos. Seu nome cient́ıfico é Teorema Fundamental da Aritmética. Mas, não se preocupe com isso agora, haverá tempo para ele no futuro. Mas, para que você não fique apenas lendo, temos aqui duas atividades. Você encontrará as soluções no fim da aula. Atividade 01 Explique de maneira convincente o porque dos números 1134 e 53172 serem diviśıveis por 9. Atividade 02 Por que é dif́ıcil decompor o número 97343 em fatores primos? Dois velhos conhecidos . . . Através da decomposição em fatores primos podemos chegar a dois importantes conceitos associados a dois números dados, digamos a e b: o mı́nimo múltiplo comum, mmc(a, b), e o maior divisor comum, mdc(a, b). Para que servem esses números? Deve haver uma boa resposta para essa pergunta, uma vez que nos ensinam a determiná-los desde os primeiros passos na escola... Bem, eles servem para efetuar certas operações de maneira ótima! Como calculá-los? Se sabemos a decomposição em fatores primos dos números a e b, é muito fácil: para o mmc basta tomar os fatores primos que comparecem em pelo menos um dos dois números (levando em conta a maior potência, caso ele compareça tanto em a como em b); para o mdc basta tomar os primos que aparecem simultaneamente nos dois números (levando em conta a menor potência, caso ele compareça tanto em a como em b). Veja dois exemplos na tabela a seguir. a b mdc(a, b) mmc(a, b) 6 = 2 × 3 15 = 3 × 5 3 2 × 3 × 5 = 30 1050 = 2 × 3 × 52 × 7 280 = 23 × 5 × 7 70 = 2 × 5 × 7 4200 = 23 × 3 × 52 × 7 Como os antigos matemáticos faziam? Os antigos gregos já conheciam algoritmos para calcular o mdc e o mmc de pares de números. A idéia do algoritmo se baseia no seguinte fato: Se r é o resto quando a é dividido por b, então mdc(a, b) = mdc(b, r). Assim, usando divisões sucessivas, chegamos ao mdc. Veja, por exem- plo, como calculamos o maior divisor comum de 72 e 30. 13 CEDERJ Frações Exemplo 02 Desde os primórdios os cozinheiros, os construtores e tantos outros pro- fissionais têm usado essa noção de proporção em seus afazeres. Algo como: “cinco medidas de água para duas medidas de arroz” ou “uma medida de cimento para seis de areia”. Seguindo essa receita podemos variar a quanti- dade daquilo que queremos preparar, seja arroz para duas pessoas, seja arroz para uma famı́lia de doze pessoas, contanto que mantenhamos a proporção 5 : 2 (cinco por dois). O que é um número racional? Tornando uma história longa mais curta, queremos nos referir nume- ricamente a proporções tais como as que foram exemplificadas: 1 : 2, 5 : 2 ou 1 : 6 e assim por diante. Isto é, proporções nas quais comparamos dois número inteiros. Para isso, é claro, precisamos de dois números inteiros, a e b, com a propriedade importante de que b 6= 0, e representamos a proporção a : b pela notação a b . Tudo muito bem, com o seguinte cuidado: devemos levar em conta que, por exemplo, 1 : 2 e 2 : 4 representam a mesma proporção. Assim, na versão numérica, 1 2 e 2 4 são iguais. Ufa! Podemos então dizer que um número racional é representado por uma fração do tipo a b , na qual a e b são números inteiros com b 6= 0 e que duas frações representam o mesmo número se, e somente se, satisfazem a seguinte relação de igualdade: a b = c d ⇐⇒ a · d = c · b. Assim, obtemos o conjunto representado por Q, como uma espécie de extensão dos inteiros. Ou seja, se estabelecermos que, se n ∈ Z, então n = n 1 , temos Z ⊂ Q. Atividade 04 Use a definição anterior de igualdade de números racionais para verificar que 3 −5 = −3 5 . Assim, de um modo geral, −a b = a −b , que denotamos por − a b . Atividade 05 Determine o valor de x tal que 2 x − 1 = 1 3 . CEDERJ 16 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 Notação Dado um par de números inteiros a e b, com b 6= 0, obtemos o número racional a b e chamamos a de numerador e b de denominador. A palavra fração também é usada, mas serve para contextos mais gerais, nos quais numeradores e denominadores são outros objetos matemáticos e não apenas números inteiros. Por exemplo, você deve ter ouvido falar da fração π 2 ou da fração √ 2 2 . Mas, por enquanto, tomaremos o termo fração por sinônimo de número racional. Leitura de uma fração Na tabela abaixo indicamos, para cada número de partes iguais em que foi dividida a unidade, o nome de cada parte. Número de Nome de Número de Nome de partes cada parte partes cada parte 2 −→ meio 9 −→ nono 3 −→ terço 10 −→ décimo 4 −→ quarto 11 −→ onze avos 5 −→ quinto 12 −→ doze avos 6 −→ sexto 13 −→ treze avos 7 −→ sétimo 100 −→ centésimo 8 −→ oitavo 1000 −→ milésimo Para efetuar a leitura de uma fração você deve ler o numerador e, em seguida, o nome de cada parte. Este último depende do número de partes em que foi dividida a unidade, isto é, do denominador da fração. Curiosidade Os homens da idade da Pedra não usavam frações. O con- ceito de fração tornou-se ne- cessário com a evolução dos conhecimentos. Os antigos eǵıpcios tinham uma notação especial de fração com numerador 1. A fração 1 3 , por exemplo, era in- dicada colocando-se sobre o inteiro 3 um sinal oval alon- gado: ; os babilônios usa- vam frações com denomina- dores 60, 602, 603, etc; já os romanos usavam frações com denominador 12. A nossa maneira atual de re- presentar fração, por meio de uma barra, surgiu no século XVI. Exemplos: 1 2 lê-se “um meio” 1 15 lê-se “um quinze avos” 3 5 lê-se “três quintos” 7 10 lê-se “sete décimos” 8 11 lê-se “oito onze avos” 49 100 lê-se “quarenta e nove centésimos” Exerćıcios 1. Qual a fração representada pela parte sombreada de cada figura? a) b) c) d) 17 CEDERJ Frações 2. João acertou 7 15 dos 15 problemas de uma prova. Responda: a) quantos problemas ele acertou? b) quantos problemas ele errou? c) que fração representa o número de problemas que ele errou? 3. Uma estante é formada por 9 prateleiras. Se enchermos 3 prateleiras de livros, que fração da estante não foi aproveitada? 4. Escreva como você lê as frações: a) 3 5 b) 2 10 c) 11 50 d) 27 100 e) 51 1000 5. Determine a) 2 5 de 20 b) 1 4 de 40 c) 3 4 de 32 d) 5 7 de 14 6. Se 1 3 de um número é 5, qual é esse número? 7. Se 3 5 de um número é 30, quanto é 1 5 desse número? 8. Uma escola tem 40 professores, dos quais 3 8 são mulheres. Determine o número de professoras dessa escola. Gabarito 1. a) 3 4 b) 3 5 c) 1 2 d) 5 9 2. a) 7 b) 8 c) 8 15 3. 6 9 4. a) três quintos b) dois décimos c) onze cinqüenta avos d) vinte e sete centésimos e) cinqüenta e um milésimos 5. a) 8 b) 10 c) 24 d) 10 6. 15 7. 10 8. 15 CEDERJ 18 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 As frações podem ser classificadas em três categorias. * Frações Próprias → são aquelas em que o numerador é menor que o denominador * Frações Impróprias → são aquelas em que o numerador é maior ou igual ao denominador. * Frações Aparentes → são as frações impróprias em que o numerador é múltiplo do denominador. As frações aparentes podem ser escritas na forma de número natural. As frações impróprias e não aparentes podem ser escritas na forma mista. Exerćıcios 1. Classifique cada uma das frações em próprias (P), impróprias (I) ou aparentes (A). a) 8 4 b) 18 1 c) 2 13 d) 32 5 e) 57 2 2. Escreva na forma mista as seguintes frações impróprias: a) 3 2 b) 8 3 c) 13 4 d) 31 6 e) 57 11 3. Transforme cada número misto em fração imprópria: a) 3 1 4 b) 4 1 3 c) 1 3 5 d) 5 1 2 e) 6 3 8 4. Em uma cidade, 4 5 dos 280 véıculos existentes são automóveis e os demais são caminhões. Quantos caminhões há nessa cidade? 5. José possui R$ 480,00 e isto equivale a 3 4 de sua d́ıvida na lanchonete de Manoel. Quanto José deve a lanchonete? Gabarito 1. a) A b) A c) P d) I e) I 2. a) 1 1 2 b) 2 2 3 c) 3 1 4 d) 5 1 6 e) 5 2 11 3. a) 13 4 b) 13 3 c) 8 5 d) 11 2 e) 51 8 21 CEDERJ Frações 4. Observe que se 4 5 são automóveis e o restante são caminhões então representamos todos os véıculos por 5 5 A fração que representa o número de caminhões é 5 5 − 4 5 = 1 5 Número total de véıculos: 280 1 5 de 280 – número total de caminhões → 1 5 280 = 56 5. Vamos representar a d́ıvida de José por x. Logo, temos que 3 4 x = 480 Então 3x = 4 · 480 = 1920 x = 1920 : 3 = 640 Portanto, José deve R$ 640,00 a lanchonete. Frações Equivalentes Note estas ações: Ação 1 Ação 2 Ação 3 Dividir uma pizza em duas partes iguais e comer uma parte Dividir uma pizza em quatro partes iguais e comer duas partes Dividir uma pizza em oito partes iguais e comer quatro partes iguais As ações acima são diferentes, entretanto, as frações obtidas represen- tam a mesma parte do todo. Por esse motivo, dizemos que essas frações se equivalem, isto é, as frações 1 2 , 2 4 e 4 8 são equivalentes. Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. Obtenção de frações equivalentes Vamos obter frações equivalentes à fração 1 3 ? 1 · 1 3 · 1 = 1 3 1 · 2 3 · 2 = 2 6 1 · 3 3 · 3 = 3 9 1 · 4 3 · 4 = 4 12 Assim, 1 3 , 2 6 , 3 9 , 4 12 são algumas das frações equivalentes a 1 3 . CEDERJ 22 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 Para encontrar essas frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 1 3 por uma mesmo número natural diferente de zero. Note que para obter uma fração equivalente à fração a b (b 6= 0) basta dividir (se posśıvel) ou multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, desde que ele seja diferente de zero. Simplificação de frações Uma fração equivalente a 6 12 é 1 2 . A fração 1 2 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 6 12 por 6. Dizemos que a fração 1 2 é uma fração simplificada de 6 12 Uma fração que não pode ser simplificada é chamada de irredut́ıvel. Por exemplo, a fração 1 2 não pode ser simplificada, porque 1 e 2 não pos- suem fator comum (mdc(1,2)=1). Podemos dizer, então, que 1 2 é a fração irredut́ıvel de 6 12 . Exerćıcios 1. Quais das frações são equivalentes a 1 5 ? a) 2 10 b) 3 12 c) 4 18 d) 5 25 e) 7 30 f) 12 60 2. Quais das frações abaixo são irredut́ıveis? a) 1 3 b) 7 8 c) 15 45 d) 24 36 e) 12 60 3. Encontre a fração de denominador 20 equivalente a cada uma das se- guintes frações: a) 1 5 c) 3 2 b) 1 4 d) 400 2000 4. As letras abaixo representam números. Quais são esses números? a) 4 6 = a 18 b) b 5 = 32 20 c) 2 5 = c 50 23 CEDERJ Frações Exerćıcios 1. Compare entre si as frações: a) 7 5 e 1 5 b) 1 6 e 1 13 c) 2 5 e 3 7 d) 2 3 6 e 2 5 7 e) 41 13 e 43 15 2. Qual o maior elemento do conjunto A = { 9 5 , 3 4 , 7 3 , 2 } 3. Coloque em ordem crescente as frações: 3 5 , 4 7 , 5 8 , 1 2 e 1 4 4. Em certa classe, 2 5 dos alunos foram reprovados em Matemática e 7 9 em Português. Que matéria reprovou mais? 5. Num campeonato nacional o Fluminense ganhou 5 7 dos pontos que disputou, enquanto o Vasco ganhou 11 16 . Qual dos dois obteve melhores resultados? Gabarito 1. a) 7 5 > 1 5 b) 1 6 > 1 13 c) 3 7 > 2 5 d) 2 3 6 < 2 5 7 e) 41 13 > 43 15 2. 7 3 3. 1 4 , 1 2 , 4 7 , 3 5 , 5 8 4. Português, pois mmc(5, 9) = 45, 2 5 = 18 45 e 7 9 = 35 45 e 35 45 > 18 45 5. Fluminense, pois mmc(7, 16) = 112, 5 7 = 80 112 e 11 16 = 77 112 e 80 112 > 77 112 Adição e subtração de números fracionários 1o Caso: Denominadores iguais No mercado gastei 3 5 do que possuia em alimentos e 1 5 em material de limpeza. Quanto gastei da importância que possuia? Vamos representar graficamente. gasto em alimentos gasto com material de limpeza 3 5 1 5 Dáı 3 5 + 1 5 = 4 5 (só observar o gráfico) CEDERJ 26 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 A soma de frações com denominadores iguais é uma fração cujo denomi- nador é igual ao das parcelas e cujo numerador é a soma dos numeradores das parcelas. No mercado gastei 4 6 do que possuia em alimentos e 1 6 em material de limpeza. Quanto gastei a mais em alimentos? Vamos representar graficamente. gasto com gasto com material alimentos: 4 6 de limpeza: 1 6 Observando o gráfico vem: 4 6 − 1 6 = 3 6 A diferença entre duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença dos numeradores. 2o Caso: Denominadores diferentes Quando as frações tem denominadores diferentes temos que, em pri- meiro lugar, obter frações equivalentes que tenham denominadores iguais. Exemplo: 4 10 + 5 6 4 10 , 8 20 , 12 30 , 16 40 , 20 50 , 24 60 . . . são frações equivalentes a 4 10 . 5 6 , 10 12 , 15 18 , 20 24 , 25 30 , 30 36 , 35 42 , 40 48 , 45 54 , 50 60 . . . são frações equivalentes a 5 6 . Procurando as frações equivalentes que tem o mesmo denominador e usando a regra anterior vem: 12 30 + 25 30 = 37 30 ou 24 60 + 50 60 = 74 60 = 37 30 Note que mmc(10,6)=30. Devemos, usando o mmc, determinar a fração equivalente com denominador 30. Quando vamos somar ou subtrair frações que tem denominadores di- ferentes, devemos primeiro reduźı-las ao mesmo denominador e, depois, aplicar a regra anterior. 27 CEDERJ Frações Exerćıcios 1. Calcule: a) 3 4 + 1 4 c) 3 − 5 6 e) 4 2 7 + 6 3 7 b) 13 4 − 5 4 d) 2 + 1 4 + 2 4 f) 5 − 4 1 9 2. Calcule: a) 1 3 + 1 4 c) 1 5 + 4 3 + 2 9 e) 6 5 + 3 4 b) 4 3 − 3 4 d) 11 60 + 13 72 f) 3 7 − 1 3 3. Calcule o valor de cada expressão abaixo: a) ( 4 3 − 1 5 ) + ( 5 4 − 1 3 ) b) 1 + ( 1 3 − 1 5 ) − ( 4 3 − 1 2 ) c) 3 1 4 + 2 1 2 − 4 1 6 d) ( 3 1 11 − 1 ) + ( 2 1 4 − 7 4 ) − ( 2 1 2 − 2 1 3 ) 4. No śıtio de Daniel, 1 3 da plantação é de milho, 1 5 é de feijão e o restante é de arroz. Qual é a fração correspondente à plantação de arroz? 5. O censo revelou que, do total da população brasileira, 11 20 são brancos, 10 25 são morenos e negros e a fração restante é de raça amarela. Qual a fração da população brasileira corresponde à raça amarela? Gabarito 1. a) 1 b) 2 c) 13 6 d) 11 4 e) 75 7 f) 8 9 2. a) 7 12 b) 7 12 c) 79 45 d) 131 360 e) 39 20 f) 2 21 3. a) 123 60 b) 9 30 c) 19 12 d) 80 33 CEDERJ 28 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 Divisão Inverso ou rećıproco Chama-se inverso ou rećıproco da fração 3 4 a fração 4 3 , isto é, a fração que se obtém trocando entre si o numerador e o denominador de 3 4 . Note que 3 4 · 4 3 = 12 12 = 1 Inverso ou rećıproco de uma fração diferente de zero é a fração que se obtém trocando entre si o numerador e o denominador da fração dada. O produto de uma fração pelo seu inverso é 1. Quociente de frações Vamos calcular o quociente 3 4 : 5 6 . Denominemos o quociente procurado pela fração x y . Temos: x y = 3 4 : 5 6 Multiplicando o quociente pelo divisor, obtemos o dividendo: x y · 5 6 = 3 4 Vamos multiplicar os dois membros dessa igualdade pelo inverso de 5 6 , isto é, 6 5 . x y · 5 6 · 6 5 = 3 4 · 6 5 Como 5 6 · 6 5 = 1, vem: x y · 1 = 3 4 · 6 5 . Sendo x y = 3 4 : 5 6 e x y = 3 4 · 6 5 . Conclúımos 3 4 : 5 6 = 3 4 · 6 5 . O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da 1a fração pelo inverso da 2a. 31 CEDERJ Frações Exerćıcios 1. Calcule: a) 5 3 : 10 3 c) 3 5 : 9 7 e) 2 1 7 : 3 4 14 b) 6 : 1 3 d) 19 80 : 38 40 f) 3 5 5 4 2. Calcule o valor das seguintes expressões: a) ( 3 5 + 1 5 ) : ( 1 3 − 1 4 ) b) ( 1 − 1 2 ) · ( 1 − 1 3 )( 1 − 1 4 ) : ( 1 − 1 6 ) c) 11 5 : ( 1 4 + 1 3 : 3 4 ) d) [( 1 2 − 1 4 ) : 7 6 + 1 7 · ( 3 1 4 − 5 3 )] · 1 3 : 1 7 3. João tem o salário incluindo as horas extras de R$ 3.840,00. João gasta metade do salário para alimentar sua famı́lia, gasta 1 4 do salário no aluguel da casa e 3 16 do restante em condução. a) Quanto custa o aluguel da casa do João? b) Quanto a famı́lia de João gasta em condução? c) Que fração do salário sobra para outras despesas? Gabarito 1. a) 1 2 b) 18 c) 7 15 d) 1 4 e) 15 23 f) 12 25 2. a) 48 5 b) 3 10 c) 396 125 d) 37 36 3. a) R$ 960,00 b) R$ 180,00 c) 13 64 CEDERJ 32 Frações MÓDULO 1 - AULA 1 Sugestões e Soluções das Atividades Propostas Atividade 01 Explique de maneira convincente o porque dos números 1134 e 53172 são diviśıveis por 9. Solução: Você deve ter se lembrado do critério de divisibilidade por 9, que é sim- ples: um número é diviśıvel por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos for diviśıvel por 9. Assim, como 1 + 1 + 3 + 4 = 9, 1134 é diviśıvel por 9. Mas, isso é convincente? Bem, se você simplesmente acredita nas regras, não há mais nada a discutir. No entanto, essa não é uma atitude matemática muito positiva. Regras são importantes pois são muito úteis em situações práticas, fazem parte da cultura matemática. Mas, é fundamental entender o porque da regra funcionar. Neste caso, a explicação é simples. Devido ao nosso sistema numérico decimal, 1134 = 1 × 1000 + 1 × 100 + 3 × 10 + 4. Agora, como 1000 = 999 + 1, 100 = 99 + 1 e 10 = 9 + 1, podemos escrever 1134 = 1 × (999 + 1) + 1 × (99 + 1) + 3 × (9 + 1) + 4 = = [1 × 999 + 1 × 99 + 3 × 9] + [1 + 1 + 3 + 4]. Como o número [1× 999 + 1× 99 + 3× 9] é diviśıvel por 9, claramente 1134 é diviśıvel por 9 se, e somente se, 1+1+3+4 é diviśıvel por 9. Repita o racioćınio com o outro número. Observe que essa explicação é ilustrativa mas não é uma demonstração do critério de divisibilidade por 9, uma vez que usamos apenas um exemplo. Atividade 02 Por que é dif́ıcil decompor o número 97343 em fatores primos? Solução: Quanto tempo você gastou com esse exerćıcio? Bem, a idéia aqui é colocar a teoria e a prática em contato. A teoria é o maravilhoso Teorema Fundamental da Aritmética que afirma que todo natural admite uma única decomposição em fatores primos. A prática é o ganha-pão de muitos ma- temáticos: pode ser muito, muito dif́ıcil decompor um número em fatores primos. Determinar se um dado número é primo ou não já é uma tarefa titânica. Procure saber sobre os chamados primos de Mersenne e você terá uma idéia melhor do que isso quer dizer. Mas, voltemos à nossa vaca fria: por que é dif́ıcil decompor o número 97343 em fatores primos? 33 CEDERJ Números Decimais MÓDULO 1 - AULA 2 Aula 2 – Números Decimais Introdução Há um livro maravilhoso, escrito por Tobias Dantzig, cujo t́ıtulo é “Número, a Linguagem da Ciência”. Não há afirmação mais verdadeira. Seria imposśıvel atingir o desenvolvimento cient́ıfico-tecnológico a que chega- mos sem dispor de ferramenta tão eficaz quanto os sistema numérico decimal representado por algarismos hindu-arábicos. Esse sistema, que o mundo todo usa, tem suas origens na Índia, por volta de 200 aC, foi adotado pelos árabes no século 8. Em 711 os árabes cruzaram o Estreito de Gibraltar e invadiram a Peńınsula Ibérica, levando na bagagem os algarismos e tantos outros conhecimentos, de astronomia, medicina, e hoje enriquecem a cultura ocidental. O resto da Europa eventu- almente se rendeu ao novo sistema, mas não o fez sem muita resistência. A grande qualidade do sistema numérico decimal, representado pelos algarismos hindu-arábicos, os nossos números de cada dia, é sua simplicidade, aliada a uma notação extremamente feliz – posicional. Ao escrevermos 11 031, onze mil e trinta e um, usamos o algarismo 1 em três situações, com diferentes significados, diferenciados apenas por suas posições em relação aos demais algarismos, o 3 e o 0. Essa conquista estupenda, tanto para a Matemática quanto para as demais ciências, se fez sem alarde nem nomes – de maneira anônima – bem ao estilo da cultura hindu. Isso só foi posśıvel devido à introdução de um śımbolo representando o nada – a coluna vazia. Isso não fora considerado pelas outras culturas, representar o vazio era inconceb́ıvel. Veja que a etimologia da palavra zero é do latim zephyrum, o nome do vento oeste, que provem de sifr, árabe para vazio, pronunciado vulgarmente séfer. Sem o zero não podeŕıamos diferenciar 11 031 de 1 131. Atividade 01 Você sabe escrever 11 031 usando números romanos? Experimente mul- tiplicar, por exemplo, MMMCDXXIII por CLVII . . . 37 CEDERJ Números Decimais Números Decimais – os números nossos de cada dia Quando falamos em números, com as pessoas comuns, os números com os quais lidamos na nossa vida diária, na padaria, no ônibus, no posto de gasolina, estamos nos referindo a uma classe bem especial de números racionais – os chamados números decimais. Veja alguns exemplos: 1205 −11, 7547 9, 82 10 000, 00 0, 000349 171 Esses números podem representar medidas de comprimento, preços de objetos, notas de provas, ı́ndices dos mais diversos e muito mais. Apesar de serem uma parcela realmente pequena de números, mesmo se considerarmos apenas o conjunto dos números racionais, eles bastam para a maioria das nossas necessidades diárias. Veja a definição de números decimais: Os números decimais são todos aqueles que podem ser escritos na forma ± p 10n , com p e n inteiros tais que p, n ≥ 0. Assim, a lista anterior pode ser reconhecida como 1205 = 1205 1 −11, 7547 = − 117547 10 000 9, 82 = 982 100 10 000, 00 = 10000 1 0, 000349 = 349 1000000 171 = 171 1 Fração decimal Observe as frações escritas abaixo: 5 10 , 2 100 , 3 1000 , 25 10000 ↑ ↑ ↑ ↑ 101 102 103 104 Os denominadores são potências de 10. Definição: Denomina-se fração decimal toda fração em que o denomina- dor é uma potência de 10 com o expoente natural. CEDERJ 38 Números Decimais MÓDULO 1 - AULA 2 Se transformarmos cada fração em numeral decimal, obtemos: 4, 31 = 4, 310 = 4, 3100 = 4, 31000 Conclúımos então 1a Propriedade: Um numeral decimal não se altera quando retiramos ou acrescentamos um ou mais zeros à direita da sua parte decimal. Exemplos: 1) 34, 1 = 34, 10 = 34, 100 = 34, 1000 2) 4, 181 = 4, 1810 = 4, 18100 = 4, 181000 Conseqüência A principal conseqüência da 1a propriedade é que dois números decimais quaisquer podem sempre ser representados com o mesmo número de ordens decimais. Exemplo: 4,156 e 2,14 podem ser escritos: 4,156 e 2,140 (ambos com 3 casas) Consideremos 4,518. Multipliquemos esse numeral por 10, por 100 e por 1000: 4, 518 × 10 = 4518 1000 × 10 1 = 4518 100 = 45, 18 4, 518 × 100 = 4518 1000 × 100 = 4518 10 = 451, 8 4, 518 × 1000 = 4518 1000 × 1000 = 4518 / / // // /// /// Dáı temos: 2a Propriedade: Para multiplicar um numeral decimal por 10, por 100, por 1000, etc, basta deslocar a v́ırgula uma, duas, três, etc, casas decimais para a direita. 41 CEDERJ Números Decimais Exemplos: 1) 13, 4 × 10 = 134 2) 431, 45 × 100 = 43145 3) 0, 00412 × 1000 = 4, 12 Aplicação - Comparação de decimais A 2a propriedade é aplicada na comparação de numerais decimais. Exemplo: Comparar os numerais 0, 345 e 0, 2431 1◦) Reescrevemos os dois decimais com igual número de casas (1a proprie- dade) 0, 3450 e 0, 2431 2◦) Eliminamos a v́ırgula (multiplicar por 10000) e comparamos os números restantes. 3450 > 2431 então 0, 345 > 0, 2431. Vamos dividir 314,21 por 10, por 100 e por 1000. 314, 21 : 10 = 31421 100 : 10 = 31421 100 · 1 10 = 31421 1000 = 31, 421 314, 21 : 100 = 31421 100 : 100 = 31421 100 · 1 100 = 31421 10000 = 3, 1421 314, 21 : 1000 = 31421 100 : 1000 = 31421 100 · 1 1000 = 31421 100000 = 0, 31421 Dáı temos: 3a Propriedade: Para dividir um número decimal por 10, por 100, por 1000, etc, basta deslocar a v́ırgula uma, duas, três, etc, casas decimais para a esquerda. Exemplos: 1) 5,21 : 10 = 0,521 2) 434,25 : 100 = 4,3425 3) 3,421 : 1000 = 0,003421 CEDERJ 42 Números Decimais MÓDULO 1 - AULA 2 Notação Cient́ıfica É comum precisarmos comparar números decimais. Esse processo pode ser facilitado se usarmos uma convenção a que chamamos notação cient́ıfica. A notação cient́ıfica de um número decimal é escrevê-lo na forma ± a × 10n onde a é um decimal tal que 1 ≤ a < 10, com n um inteiro. O fator 10n é a ordem de grandeza do número. Veja, no quadro a seguir exemplos de números com suas respectivas notações cient́ıficas e ordens de grandeza. 147, 357 1, 47357× 102 2 0, 0000567 5, 67 × 10−5 −5 −22052 −2, 2052 × 104 4 0, 005 × 10−4 5, 0 × 10−7 −7 Exerćıcios 1. Transforme em frações decimais. a) 0,3 c) 11,43 e) 9,2324 b) 1,34 d) 0,222 f) 0,0014 2. Transforme um numeral decimal. a) 8 1000 c) 138 100 e) 1723 100 b) 54 10 d) 41 1000 f) 324 105 3. Transforme as porcentagens abaixo em número decimal e em fração decimal. a) 18% c) 50% b) 34% d) 70% 4. Um professor recebia R$ 200,00 por aula e teve um aumento de 35%. Quanto passou a ganhar por aula? 5. Efetue a) 0, 34×10 c) 0, 004×1000 e) 0, 74 : 100 g) 0, 1 : 1000 b) 0, 0453× 100 d) 42, 1 × 105 f) 4, 3 : 10 43 CEDERJ Números Decimais Exemplo 2: Vamos dividir 30 por 8. De modo similar ao exemplo 1, vem: 30 | 8 6 3 −→ 30 | 8 60 3, −→ 30 | 8 60 3, 7 4 −→ 30 | 8 60 3, 75 40 0 ⌣ Em resumo, há divisões entre naturais em que após alguns passos conse- guimos, obter um quociente decimal e resto 0. Nesses casos, o quociente é chamado de decimal exato. Divisões não exatas Nem sempre a divisão acaba por apresentar resto 0. Exemplo: Vamos calcular 211 : 90 1◦ passo 211 | 90 31 2 Como há um resto, o quociente será da forma 2, . . . Notamos que o quociente é maior que 2 e menor que 3. 2◦ passo 3◦ passo 4◦ passo 211 | 90 310 2, 3 40 −→ 211 | 90 310 2, 34 400 40 −→ 211 | 90 310 2, 344 400 400 Observamos que, mesmo prosseguindo na divisão, jamais obteremos resto zero. O algarismo 4 irá repetir-se como resto e obteremos aproxima- dos, por falta, do quociente, assim 2,344; 2,3444; 2,34444; etc. Note que o algarismo 4 se repete. Logo temos: Há divisões não exatas em que conseguimos obter apenas valores apro- ximados para o quociente, porque nunca se obtém resto zero. Pelo fato de haver algarismos que se repetem periodicamente no quociente, o quociente é chamado de d́ızima periódica. CEDERJ 46 Números Decimais MÓDULO 1 - AULA 2 Transformar uma d́ızima periódica em fração Exemplo 1: 0, 333 . . . Esta d́ızima é chamada d́ızima periódica simples, pois depois da v́ırgula só tem a parte que repete. Solução 0, 333 . . . =  (×10) 3, 333 . . . = 10 − 0, 333 . . . = 1 3 = 9 =⇒  = 3 9 = 1 3 Logo, temos que 0, 333 . . . = 1 3 . Exemplo 2: 1, 424242 . . . É uma d́ızima periódica simples. 1, 424242 . . . =  142, 4242 . . . = 100 − 1, 4242 . . . = 1 141 = 99 =⇒  = 141 99 = 1 42 99 Obs.: 1) Se a parte que repete é 1 algarismo, devemos multiplicar por 10, se a parte que se repete são 2 algarismos devemos multiplicar por 100, etc . . . na d́ızima periódica simples. 2) A fração obtida é chamada geratriz da d́ızima. Exemplo 3: 2, 3444 . . . Esta d́ızima é chamada d́ızima periódica composta, pois depois da v́ırgula tem parte que repete (4) e parte que não repete (3). Solução 2, 3444 . . . =  234, 44 . . . = 100 (multiplicar até a parte que repete)− 23, 44 . . . = 10 (multiplicar até a parte que não repete) 211 = 90 =⇒  = 211 90 = 2 31 90 47 CEDERJ Números Decimais Divisão de decimais Calcular o quociente 3, 24 : 1, 8 3, 24 : 1, 8 = 324 100 : 18 10 = 324 100 · 10 18 = 324 180 / / Logo, dividir 3, 24 por 1, 8 é o mesmo que dividir 324 por 180. 324 | 180 1440 1, 8 0 ⌣ Dáı para dividir dois decimais: 1◦) Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acres- centando zeros. 2◦) Eliminamos as v́ırgulas. 3◦) Dividimos os números naturais que resultam das etapas anteriores. Conjuntos numéricos Vimos a representação dos conjuntos numéricos: N é o conjunto dos números naturais. N = {1, 2, 3, . . .}. Z é o conjunto dos números inteiros. Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} Q é o conjunto dos números racionais, que são aqueles que podem ser escritos em forma de fração. Q = { x | x = a b , a, b ∈ Z, b 6= 0 } . Portanto, os números inteiros, os números decimais exatos e as d́ızimas periódicas são números racionais. O conjunto dos números que não podem ser representados por frações são denominados números irracionais e representamos por I. Pode-se de- monstrar, em estudos mais avançados, que os números irracionais são exata- mente as d́ızimas não periódicas. CEDERJ 48 Números Decimais MÓDULO 1 - AULA 2 Sugestão e Solução da Atividade Proposta Atividade 01 Escreva os números a seguir usando a notação cient́ıfica. 22000000 0, 012 −0, 037 15 × 10−3 151 × 10−3 Solução: 22000000 = 2, 2 × 107; 0, 012 = 0, 0001 = 1, 0 × 10−4; −0, 037 = −3, 7 × 10−2; 15 × 10−3 = 1, 5 × 10−4; 151 × 10−3 = 1, 51 × 10−1. 51 CEDERJ Potenciação MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 – Potenciação Vamos começar esta aula com a definição de potências de números reais. O objetivo mais imediato da definição é simplificar a notação e fornecer um método para trabalhar com grandes números. No entanto, com o aprofun- damento do estudo, mais adiante no curso, você perceberá que potenciação está na base das definições das funções logaritmo e exponencial. Esta última uma das mais importantes funções da Matemática. Definição 1 Seja a um número real e n um número natural, com n ≥ 2. A potência de expoente n de a, denotada por an, é o número an = a · a · a · ... · a︸ ︷︷ ︸ n fatores Definição 2 Seja a um número real não nulo e n um número natural, com n ≥ 2. A potência de expoente −n de a, denotada por a−n, é o número a−n = 1 a · 1 a · 1 a · ... · 1 a︸ ︷︷ ︸ n fatores Notas: 1. Se a é um número real qualquer escrevemos a1 = a . Também, no caso em que a 6= 0, assumimos por convenção que a0 = 1 . 2. A expressão 00 não tem sentido matemático. É o que chamamos de uma indeterminação. Para entender um pouco mais o porque da im- possibilidade de dar sentido numérico a 00 você deve aguardar o estudo das disciplinas de Cálculo. 53 CEDERJ Potenciação Exemplo 2 a) 32 × 33 = 32+3 = 35 = 243. b) 45 42 = 45−2 = 43 = 64. c) 32 × 52 = (3 × 5)2 = 152 = 225. d) 64 34 = ( 6 3 )4 = 24 = 16. e) ( 33 )2 = 33×2 = 36 = 729. f) ( a2b2 )2 = ( a2 )2( b2 )2 = 44b4. Aplicação Todo número real positivo b pode ser expresso na forma b = a × 10p, onde p é um número inteiro e a um número real, com 1 < a < 10. Esta maneira especial de escrever o número b é denominado notação cient́ıfica. Exemplo 3 A notação cient́ıfica de 450 é 4, 5 × 102 e, a notação cient́ıfica de 0, 042 é 4, 2 × 10−2. Exemplo 4 Qual é a notação cient́ıfica do número 414 × 521? Solução: 414×521 = ( 22 )14×521 = 228×521 = 27×221×521 = 128×1021 = 1, 28×1023 . Exerćıcios Propostos 1. Efetue as operações indicadas : a) 23 × 26 f) (0, 3)2 × (0, 5)2 b) 32 × 36 × 3−4 g) (−0, 04)2 × (50)2 c) 54 ÷ 52 h) (−0, 6) 2 (0, 2)2 d) 398 395 i) ( 24)3 e) 3−4 3−3 j) 24 3 CEDERJ 56 Potenciação MÓDULO 1 - AULA 3 2. Determine o valor da expressão ( 22 × 2−3 × 3−1 × 33 )2 . 3. Sendo a e b números reais diferentes de zero, determine o valor de( a3b2 )3 ( a2b3 )2 . 4. Determine o valor de 5−1 + 7−1 3−1 . 5. Determine o valor da expressão [( − 1 2 )4 ÷ ( − 1 2 )3] × ( − 1 2 )6 + 2−6 . 6. Determine o valor de (0, 2)3 + (0, 32)2. 7. Se a = 24, b = a3, c = 2a, determine o valor de 2abc2. 8. Determine o valor de 102 × 10−4 × 10−3 10−2 × 10−6 . 9. Encontrar o valor aproximado de 1.000.000 × (1, 09)160 adotando (1, 09)8 ∼= 2 e 210 ∼= 1000. 10. Determine a quantidade de algarismos do número 168 × 1259. 11. Qual é a metade de 222? 12. Simplifique a fração 2n + 2n+1 + 2n+2 2n+1 , onde n ∈ N. 13. Determine a relação entre a e b onde a e b são números naturais que expressam os números de algarismos de x = 412 × 520 e y = 414 × 518, respectivamente. Gabarito 1. a) 29 b) 34 c) 52 d) 33 e) 3−1 f) 0, 0225 g) 4 h) 9 i) 212 j) 264 2. 81/4 8. 1000 3. a5 9. um trilhão 4. 36/35 10. 29 5. 1/128 11. 221 6. 0, 1104 12. 7/2 7. 249 13. a = b 57 CEDERJ Radiciação MÓDULO 1 - AULA 4 Obs.: 1) No śımbolo n √ a dizemos que: √ é o radical a é o radicando n é o ı́ndice da raiz. 2) Conforme já observado, por convenção, na raiz quadrada, omite-se o ı́ndice. Escreve-se, por exemplo, √ 6 e − √ 6 para representar 2 √ 6 . Exemplo 4 a) O número 8 é uma raiz quadrada de 64, pois 82 = 64. b) O número -8 é uma raiz quadrada de 64, pois (−8)2 = 64. c) 3 √ 0 = 0. d) √ 16 = 4. e) − √ 16 = −4. f) ± √ 16 = ±4. g) √ −4 não tem sentido em R. h) 3 √ 27 = 3. i) 3 √ −27 = −3. j) 3 √ −1 = −1. k) 4 √ 2401 = 7. Propriedades das Ráızes Sejam a e b números reais e m, n números inteiros. Suponha que as ráızes enésimas que escreveremos nas propriedades de 1 até 4, a seguir, são bem definidas. Então valem as seguintes propriedades: Propriedade 1 (Radicais de mesmo Índice) Para multiplicar, mantém-se o ı́ndice e multiplicam-se os radicandos, isto é, n √ a × n √ b = n √ ab . Para dividir, mantém-se o ı́ndice e dividem-se os radicandos, isto é, n √ a n √ b = n √ a b , b 6= 0 . 61 CEDERJ Radiciação Exemplo 5 a) 3 √ 3 × 3 √ 9 = 3 √ 27 = 3 b) √ 2 × √ 5 = √ 10 c) 3 √ 32 = 3 √ 8 × 3 √ 4 d) √ 8 = √ 2 × √ 4 = √ 2 × 2 = 2 √ 2 Propriedade 2 (Raiz de Raiz) Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se o radicando e multiplicam- se os ı́ndices, isto é, n √ m √ a = mn √ a . Exemplo 6 a) √ 3 √ 729 = 6 √ 729 = 3 b) 3 √ 4 √√ 5 = 24 √ 5 Propriedade 3 (Raiz de Potência) Calcular a raiz e em seguida a potência é o mesmo que calcular a potência e em seguida a raiz, isto é, ( n √ a )m = n √ am , m ∈ Z . Exemplo 7 a) √ 45 = (√ 4 )5 = 25 = 32 b) 4 √ 162 = ( 4 √ 16 )2 = 22 = 4 Propriedade 4 (Alteração do Índice) Multiplicar ou dividir ı́ndice e expoente por um mesmo número não altera o resultado, isto é, n √ am = np √ amp . Exemplo 8 a) 6 √ 23 = 6:3 √ 23:3 = √ 2 b) 16 √ 28 = 16:8 √ 28:8 = √ 2 c) √ 5 × 3 √ 2 = 2×3 √ 53 × 3×2 √ 22 = 6 √ 500 CEDERJ 62 Radiciação MÓDULO 1 - AULA 4 Notas: 1. Voltamos a enfatizar que as propriedades enunciadas são válidas sob a condição que as potências e radicais estejam bem definidas. Por exem- plo, não tem sentido usar a Propriedade 3 para escrever 4 √ (−2)3 = = ( 4 √ −2 )3 , uma vez que não tem sentido 4 √ −2 , no conjunto dos números reais. 2. As demonstrações das propriedades enunciadas não são dif́ıceis de serem realizadas. Basta um uso cuidadoso das definições. Se você tiver tempo tente provar algumas delas. Se tiver dificuldade procure seu tutor, ou discuta com seus colegas de grupo de estudo. Nosso próximo assunto tem como objetivo ampliar a utilização de potên- cias e radicais com o objetivo de facilitar operações com números reais. Ou de um outro ponto de vista, veja a Definição 2 a seguir, trataremos a radiciação como um caso especial de potências de expoentes fracionários. Potência de Expoente Racional Definição 2 a) Seja a un número real positivo, n um número natural não-nulo e m n um número racional na forma irredut́ıvel. A potência de base a e expoente racional m n é definido por am/n = n √ am . b) Seja a um número real, n um número natural ı́mpar e m n um número racional na forma irredut́ıvel. A potência de base a e expoente racional m n é definida por a m n = n √ am . Nota: Valem para as potências de expoente racional, as mesmas propriedades válidas para as potências de expoente inteiro. 63 CEDERJ Radiciação 3. (FGV-SP) Assinale a alternativa incorreta: a) Todo número inteiro é racional. b) O quadrado de um irracional é real. c) A soma de dois números irracionais pode ser racional. d) O produto de dois números irraiconais é sempre irracional. 4. Escrever na forma decimal os números: a = 1 2 b = 9 5 c = 2 45 5. Escreva na forma fracionária os números a = 0, 075 b = 2, 4141 . . . c = 1, 325151 . . . 6. (UF-AL-80) A expressão √ 10 + √ 10 · √ 10 − √ 10 é igual a: a) 0 b) √ 10 c) 10 − √ 10 d) 3 √ 10 e) 90 7. (CESGRANRIO-84) Dentre os números x indicados nas opções abaixo, aquele que satisfaz 14 11 < x < 9 7 é: a) 1,24 b) 1,28 c) 1,30 d) 1,32 e) 1,35 8. (UFF-1a¯ fase) Se X e Y são racionais onde X = 0, 1010101010 . . . e Y = 0, 0101010101 . . . assinale a alternativa que representa o quociente de X por Y a) 0, 0101010101 . . . b) 0,11 c) 10, 10101010 . . . d) 10 9. (UFF 95 - 1a¯ fase) Assinale qual das expressões abaixo não é um número real: a) ( −1 2 )− 1 2 b) 3 √ π c) ( 1 2 )− 1 2 d) 3 √−π e) ( −1 3 )− 1 3 10. (FUVEST) Usando (1, 41)2 < 2 < (1, 42)2, prove que 6, 1 < 50 1 + √ 50 < 6, 3. 11. (FUVEST) Seja r = √ 2 + √ 3. a) Escreva √ 6 em função de r. b) Admitindo que √ 6 seja irracional, prove que r também é irracio- nal. CEDERJ 66 Radiciação MÓDULO 1 - AULA 4 12. (FUVEST) Sejam a, b e p números reais, a > 0, b > 0 e p > 1. Demonstre: Se a + bp2 a + b > p, então a b < p. 13. (FATEC-SP) Se a = 0, 666 . . . , b = 1, 333 . . . e c = 0, 1414 . . . , calcule, então, a · b−1 + c. 14. (PUC-RJ-80) Efetuadas as operações indicadas, conclúımos que o número: 1 2 × (3 − 2 7 ) 2/4 − 1/6 + 3 a) é > 5 b) está entre 2 e 3 c) é < 19 14 d) está entre 5 e 6 e) é > 6 15. (FATEC-SP-80) Sejam x ∈ R∗, m = x − 1 4x e y = √ 1 + m2, então: a) y = 1 2x c) y = 4x2 + 1 4x b) y = √ 4x4 + 4x2 + 2 2x d) y = √ x + 1 2x Gabarito - Exerćıcios de reforço 1. b) 2. a) 3. d) 4. a = 0, 5, b = 1, 8, c = 0, 044 . . . 5. a = 3 40 , b = 239 99 , c = 13219 9900 6. d) 7. b) 8. d) 9. a) 10. Demonstração 11. a) √ 6 = r2 − 5 2 b) Demonstração 12. Demonstração 13. 127 198 14. e) 15. d) 67 CEDERJ Fatoração MÓDULO 1 - AULA 5 c) m2 − 6m + 9 = (m − 3)2 ↓ ↓√ m2 √ 9 d) 25x2 + 30xy + 9y2 = (5x + 3y)2 ↓ ↓√ 25x2 √ 9y2 e) x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2 ↓ ↓√ x2 √ 4y2 Veja agora a técnica com um exemplo mais elaborado envolvendo fa- toração. Vamos simplificar as expressões supondo cada denominador dife- rente de zero: f) 10x2 − 10 x2 − 2x + 1 = 10(x2 − 1) (x − 1)2 = 10(x + 1)(x − 1) (x − 1)(x − 1) = 10(x + 1) x − 1 g) a2 − 4 a2 + 4a + 4 = (a + 2)(a − 2) (a + 2)2 = (a + 2)(a − 2) (a + 2)(a + 2) = a − 2 a + 2 Soma e Diferença de Cubos A soma de dois cubos é igual ao produto do fator a + b pelo fator a2 − ab + b2, isto é, a3 + b3 = (a + b) ( a2 − ab + b2 ) . Diferença de Cubos A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator a−b pelo fator a2 + ab + b2, isto é, a3 − b3 = (a − b) ( a2 + ab + b2 ) . 71 CEDERJ Fatoração Justificativa (a + b) ( a2 − ab + b2 ) = = a ( a2 − ab + b2 ) + b ( a2 − ab + b2 ) = = a3 − a2b + ab2 + ba2 − ab2 + b3 = = a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3 = = a3 + b3 . (a − b) ( a2 + ab + b2 ) = = a ( a2 + ab + b2 ) − b ( a2 + ab + b2 ) = = a3 + a2b + ab2 − ba2 − ab2 − b3 = = a3 + a2b + ab2 − a2b − ab2 − b3 = = a3 − b3 . Examine esses exemplos envolvendo fatoração: Exemplo 3 a) x3 + 8 = (x + 2) ( x2 − 2x + 4 ) b) 125 − 64m3 = (5 − 4m) ( 25 + 20m + 16m2 ) Veja novos exemplos envolvendo simplificação de frações com denomi- nador diferente de zero: c) x3 − 8 x2 − 4 = (x − 2) ( x2 + 2x + 4 ) (x − 2)(x + 2) = x2 + 2x + 4 x + 2 d) x3 + 64 x2 + 8x + 16 = (x + 4) ( x2 − 4x + 16 ) (x + 4)2 = x2 − 4x + 16 x + 4 Cubo Perfeito O cubo da soma de duas parcelas é igual ao cubo da primeira parcela, a3, mais três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3a2b, mais três vezes a primeira pelo quadrado do segundo, 3ab2, mais o cubo da segunda parcela, b3, portanto, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 . O cubo da diferença entre duas parcelas, (a − b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, menos três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3a2b, mais três vezes a primeira pelo quadrado do segundo, 3ab2, menos o cubo da seginda parcela, b3, portanto, (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 . CEDERJ 72 Fatoração MÓDULO 1 - AULA 5 Justificativa (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = = (a + b) ( a2 + 2ab + b2 ) = = a ( a2 + 2ab + b2 ) + b ( a2 + 2ab + b2 ) = = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 . (a − b)3 = (a − b)(a − b)2 = = (a − b) ( a2 − 2ab + b2 ) = = a ( a2 − 2ab + b2 ) − b ( a2 − 2ab + b2 ) = = a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 . Os exemplos a seguir utilizam as igualdades envolvendo cubos perfeitos e fatoração. Siga atentamente os cálculos. Exemplo 4 a) (3x+4y)3 = (3x)3+3(3x)2(4y)+3(3x)(4y)2+(4y)3 = 27x3+108x2y+144xy2+64y3 b) (x − 2y)3 = x3 − 3x2(2y) + 3x(2y)2 − (2y)3 = x3 − 6x2y + 12xy2 − 8y3 c) a) 27 + 135x + 225x2 + 125x3 = (3 + 5x)3 ↓ ↓ 3 √ 27 = 3 3 √ 125x3 = 5x d) b) 64 − 48x + 12x2 − x3 = (4 − x)3 ↓ ↓ 3 √ 64 = 4 3 √ x3 = x Exerćıcios Propostos 1. Fatore: a) xy + 3y + x + 3 f) (2x + y)2 − (x − 2y)2 b) x2 − y2 g) x8 − 1 c) 25x2 − 4y2 h) 10a2b3c4 − 15a3b2c4 − 34a4b3c2 d) 36m2 − 100n2 i) mn − m − n + 1 e) 121 − 169a2b2 j) y4 − 16 73 CEDERJ Equação do 1o Grau MÓDULO 1 - AULA 6 Aula 6 – Equação do 1o Grau Sentença Aberta e Equação Vamos analisar as seguintes sentenças: 3 · 5 − 1 = 17 (6.1) 3 · 6 − 1 = 17 (6.2) 3 · x − 1 = 17 (6.3) Observe que: A sentença (6.1) é falsa pois 3 · 5 − 1 = 14 6= 17 A sentença (6.2) é verdadeira pois 3 · 6 − 1 = 18 − 1 = 17 A sentença (6.3) não é verdadeira nem falsa, pois x, chamado variável, pode assumir qualquer valor. Esse último tipo é um exemplo de sentença aberta. Toda sentença aberta, onde aparece uma variável real, na forma de igualdade é chamada de equação. Substituindo x por 6, a sentença aberta 3 · x − 1 = 17 se transforma em 3 · 6 − 1 = 17 que é uma sentença verdadeira. Nesta situação x = 6 é uma raiz (ou uma solução) da equação, uma vez que para este valor de x, 3 · x − 1 = 17. Raiz e Conjunto-Verdade Raiz (ou solução) de uma equação é um número que transforma a sentença aberta em sentença verdadeira. Conjunto-Verdade ou Conjunto- Solução de uma equação é o conjunto de todas as ráızes. Resolver uma equação é determinar o seu Conjunto-Verdade. Equação do 1o Grau Equação do 1o Grau é toda sentença aberta em uma variável real x, que pode ser expressa na forma ax + b = 0, onde a e b são números reais e a 6= 0. Vamos determinar o Conjunto-Solução da equação ax + b = 0: ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = − b a , a 6= 0 . Portanto, o Conjunto-Solução de ax + b = 0, com a 6= 0 é V = {− b a }. 77 CEDERJ Equação do 1o Grau Exemplo 1 a) O número 2 é raiz da equação 4x − 1 = 7, pois substituindo x por 2 a sentença aberta 4x − 1 = 7 se transforma em 4 · 2 − 1 = 7 que é uma sentença verdadeira. b) O número 5 não é raiz da equação 4x− 1 = 7, pois substituindo x por 5 a sentença aberta 4x − 1 = 7 se transforma em 4 · 5 − 1 = 7 que é uma sentença falsa. c) O conjunto solução V da equação 3x − 18 = 0 é V = {6}. De fato, 3x − 18 = 0 se, e somente se, x = 6. d) O conjunto solução da equação 3x + 2 = 3x − 1 é ∅, pois 3x + 2 = 3x − 1 ⇔ 0x = −3 ⇔ 0 = −3 que é uma sentença falsa. e) Qual é o conjunto solução V da equação 3x − 6 = 3(x − 2)? Solução: 3x − 6 = 3x − 6 ⇔ 0x = 0 . Note que 0x = 0 é uma sentença verdadeira seja qual for x ∈ R. Portanto, V = R. f) Resolver a equação 3x 4 − x + 1 3 = 1. Solução: 3x 4 −x + 1 3 = 1 ⇔ 9x − 4(x + 1) 12 = 12 12 ⇔ 9x−4x−4 = 12 ⇔ 5x = 12+4 ⇔ x = 16 5 . Dáı, o conjunto solução V , da equação é V = { 16 5 } . Aplicações da Equação do 1o Grau Exemplo 2 A soma de quatro números inteiros e consecutivos é 38. Achar esses números. Solução: Considere os números x, x + 1, x + 2 e x + 3. Então: x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 38 ⇔ 4x = 38 − 6 ⇔ x = 8 . Logo, os números são: 8, 9, 10 e 11. CEDERJ 78 Sistemas de Equações do 1o Grau MÓDULO 1 - AULA 7 Aula 7 – Sistemas de Equações do 1o Grau Considere numa situação um pouco mais geral, as situações abertas x + y = 8 (7.1) x − y = 4 (7.2) onde x e y são números reais. Não é posśıvel decidir se (7.1) ou (7.2) são verdadeiras ou falsas. No entanto, observe que: { x = 1 y = 7 ; { x = 7 y = 1 ; { x = 6 y = 2 ; { x = 2 y = 6 são algumas das soluções da equação x + y = 8. Da mesma forma { x = 7 y = 3 ; { x = 6 y = 2 ; { x = 5 y = 1 ; { x = 8 y = 4 são algumas das soluções da equação x− y = 4. Repare que x = 6 e y = 2 é solução de ambas as equações x + y = 8 e x− y = 4. Dáı, que x = 6 e y = 2 é solução do sistema { x + y = 8 x − y = 4 Uma solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas x e y é qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz as duas equações. Definição 1 Se a, b e c são números reais, com a 6= 0 e b 6= 0, a equação ax + by = c , é dita uma equação do primeiro grau com duas incógnitas. Nota: 1. Conforme visto acima, uma equação do primeiro grau possui muitas soluções. 2. Um conjunto de duas equações do primeiro grau, isto é, um sistema de duas equações do primeiro grau possui uma única solução em x e y ou não possui solução ou possui infinitas soluções. 81 CEDERJ Sistemas de Equações do 1o Grau Vamos agora aprender dois métodos para achar soluções de um sistema de duas equações com duas incógnitas. Método da Substituição Exemplo 1 Determine o conjunto solução do sistema { 2x + 5y = 1 3x + 2y = −4 . Solução: A partir da equação 2x+5y = 1, vamos “isolar”, por exemplo, a variável y, isto é: 2x + 5y = 1 ⇔ y = 1 − 2x 5 . Substituindo o valor de y na equação 3x + 2y = −4 temos que 3x + 2 ( 1 − 2x 5 ) = −4 ⇔ 15x + 2 − 4x = −20 ⇔ 11x = −22 ⇔ x = −2 . Logo, y = 1 − 2(−2) 5 ⇔ y = 1 . Portanto, x = −2 e y = 1 ou V = {(−2, 1)} é o conjunto solução. Método da Adição Determine o conjunto solução do sistema { 2x + 5y = 1 3x + 2y = −4 . Solução: Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda equação por -5, e em seguida adicionando as equações encontramos que, + { 4x + 10y = 2 −15x − 10y = 20 −11x + 0y = 22 . Portanto, −11x = 22 o que implica x = −2. Substituindo x = −2 em qualquer das duas equações iniciais temos que 2(−2) + 5y = 1 ⇔ y = 1 . Dáı, x = −2 e y = 1 ou V = {(−2, 1)} é o conjunto solução. Veja mais um exemplo usando o método da substituição: CEDERJ 82 Sistemas de Equações do 1o Grau MÓDULO 1 - AULA 7 Exemplo 2 Resolver o sistema { x + 3y = 4 2x − y = 1 . Solução: A partir da primeira equação x + 3y = 4 “isolamos”, por exemplo, a variável y, isto é: x + 3y = 4 ⇔ y = 4 − x 3 . Substituindo este resultado na equação em 2x − y = 1 temos que 2x − ( 4 − x 3 ) = 1 ⇔ 6x − 4 + x = 3 ⇔ 7x = 7 ⇔ x = 1 . Logo, y = 4 − 1 3 = 1 . Portanto, x = 1 e y = 1 ou V = {(1, 1)} é a solução do sistema de equações. Exerćıcios Propostos 1. Resolva o sistema { 2x − y = 1 3x + 2y = 5 . 2. Resolva o sistema { x − 4y = 5 3x + y = 2 . 3. Num śıtio existem patos e porcos, num total de 40 cabeças e 128 pés. Determine o número de porcos desse śıtio. 4. Há cinco anos a idade de Pedro era o dobro da idade de Joana. Daqui a cinco anos a soma das duas idades será de 65 anos. Quantos anos Pedro é mais velho que Joana? 5. O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma certa cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade? Gabarito 1. V = {(1, 1)} 2. V = {(1,−1)} 3. 24 4. 15 5. 3060 83 CEDERJ Equação do 2o Grau 3o passo: Neste último passo vamos manipular algebricamente a equação obtida no passo anterior: 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ⇔ 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac ⇔ (2ax + b)2 = b2 − 4ac ⇔ 2ax + b = ± √ b2 − 4ac ⇔ x = −b ± √ b2 − 4ac 2a A expressão que acabamos de determinar para a raiz x da equação é cha- mada de solução geral. O número ∆ = b2 − 4ac recebe a denominação de discriminante da equação. Exemplo 2 a) Vamos achar as ráızes da equação x2 − 7x + 6 = 0. Solução: Temos que a = 1, b = −7 e c = 6. Então: x = −(−7) ± √ (−7)2 − 4 × 1 × 6 2 × 1 = 7 ± √ 25 2 = 7 ± 5 2 ⇒ x = 1 ou x = 6 . Portanto, S = {1, 6} é o conjunto solução da equação. b) Vamos achar as ráızes da equação x2 + 11x + 28 = 0. Solução: Temos que a = 1, b = 11 e c = 28. Então: x = −11 ± √ (11)2 − 4 × 1 × 28 2 × 1 = −11 ± √ 9 2 = −11 ± 3 2 ⇒ x = −7 ou x = −4 . Portanto, S = {−7,−4} é o conjunto solução da equação. Obs.: 1) Se a, b e c são reais não-nulos, então, a equação ax2 + bx+ c = 0, diz-se completa. 2) Se pelo menos um dos números reais b ou c é nulo, então, a equação ax2+bx+c = 0 diz-se incompleta. Uma equação do 2o grau incompleta pode ser resolvida diretamente, sem passar pela fórmula geral. Vamos tratar estes casos. CEDERJ 86 Equação do 2o Grau MÓDULO 1 - AULA 8 Equações Incompletas 1o caso: b = 0. Neste caso, a equação ax2 + bx + c = 0 se torna ax2 + c = 0. Portanto, a solução pode ser obtida: ax2 + c = 0 ⇐⇒ ax2 = −c ⇐⇒ x2 = − c a ⇐⇒ x = ± √ − c a . Repare que na situação que − c a > 0, a equação admite duas ráızes simétricas. No caso em que − c a < 0, a equação não possui solução real. Exemplo 3 a) Resolvendo a equação 4x2 − 16 = 0 temos: 4x2 − 16 = 0 ⇔ 4x2 = 16 ⇔ x2 = 16 4 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2 . Dáı, S = {−2, 2} é o conjunto solução. b) Resolvendo a equação 2x2 − 36 = 0 temos: 2x2 − 36 = 0 ⇔ 2x2 = 36 ⇔ x2 = 36 2 ⇔ x2 = 18 ⇔ x = ±3 √ 2 . Dáı, S = {−3 √ 2, 3 √ 2} é o conjunto solução. c) Resolvendo a equação 3x2 + 12 = 0 temos: 3x2 + 12 = 0 ⇔ 3x2 = −12 ⇔ x2 = −12 3 ⇔ x2 = −4 ⇔ x = ± √ −4 . Dáı, S = ∅, ou seja, a equação não possui solução nos números reais. 2o caso: c = 0. Neste caso, a equação ax2+bx+c = 0 se torna ax2+bx = 0. Resolvendo diretamente encontramos que: ax2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ x = 0 ou ax + b = 0 ⇔ x = 0 ou ax = −b ⇔ ⇔ x = 0 ou x = − b a . Portanto, uma das ráızes é sempre nula e a outra é da forma − b a . Exemplo 4 a) Resolvendo a equação 6x2 − 8x = 0 temos: 6x2 − 8x = 0 ⇔ 2x(3x − 4) = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ou 3x− 4 = 0 ⇔ x = 4 3 . Dáı, S = {0, 4 3 } é o conjunto solução da equação. 87 CEDERJ Equação do 2o Grau b) Resolvendo a equação x2 − 7x = 0 temos que x2 − 7x = 0 ⇔ x(x − 7) = 0 ⇔ x = 0 ou x − 7 = 0 ⇔ x = 7 . Dáı, S = {0, 7} é o conjunto solução da equação. Discussão Sobre Existência e Número de Ráızes As ráızes da equação do 2o grau são obtidas pela fórmula x = −b ± √ ∆ 2a , onde ∆ = b2 − 4ac . Portanto, Se ∆ < 0 então a equação não tem ráızes reais; Se ∆ = 0 então a equação tem duas ráızes reais e iguais; Se ∆ > 0 então a equação tem duas ráızes reais e distintas. Exemplo 5 a) Na equação 9x2 + 6x + 1 = 0 temos que ∆ = 36 − 36 = 0 . Assim, sem resolver a equação dada, podemos afirmar que ela possui duas ráızes reais e iguais pois ∆ = 0. b) Na equação x2 + x + 4 = 0 temos que ∆ = 1 − 16 = −15 . Assim, sem resolver a equação dada, podemos afirmar que ela não possui ráızes reais pois ∆ < 0. Relação entre os Coeficientes e as Ráızes de uma Equação do 2o Grau Sabemos que as ráızes da equação ax2 + bx + c = 0 são dadas por x1 = −b − √ ∆ 2a ou x2 = −b + √ ∆ 2a , onde ∆ = b2 − 4ac . CEDERJ 88 Equação do 2o Grau MÓDULO 1 - AULA 8 3. Resolva as equações: a) 2x2 − 5x − 3 = 0 b) x2 − 6x + 8 = 0 c) x2 − 4x + 4 = 0 d) x2 + 3 √ 2 x + 4, 5 = 0 4. Determine m para que a equação 3x2 + (5m− 2)x + m− 1 = 0 admita ráızes simétricas. 5. Determine o valor de m para que o produto das ráızes da equação 5x2 − 8x + 2m − 1 = 0 seja igual a 20. 6. Determine a média aritmética das ráızes da equação x2 − (p − m)x + 3p − 4m = 0 . 7. Determine os valores de k para os quais a equação (2k − 3)x2 − (5k + 6)x + k + 4 = 0 . a) Tenha ráızes simétricas b) Tenha uma só raiz nula 8. Determine o valor de m de modo que o número 3 seja uma das ráızes da equação 2x2 − (4m + 1)x − m + 2 = 0. 9. Determine a equação do 2o grau de ráızes a) 6 e -4 b) 4 + √ 3 e 4 − √ 3 c) 3 5 e -2 10. Resolva a equação x2 − 3kx + 2k2 = 0. 91 CEDERJ Equação do 2o Grau Gabarito 1. √ 2 2. a2 < b2 3. a) S = {3,−1 2 } b) S = {2, 4} c) S = {2} d) S = {−3 √ 2 2 } 4. m = 2 5 5. m = 101 2 6. p−m 2 7. a) k = −6 5 b) k = −4 8. m = 17 13 9. a) x2 − 2x − 24 = 0 b) x2 − 8x + 13 = 0 c) 5x2 + 7x − 6 = 0 10. S = {k, 2k} CEDERJ 92 Inequação do 1o Grau MÓDULO 1 - AULA 9 Aula 9 – Inequação do 1o Grau Definição Definição 1 Chama-se inequação do 1o grau na variável x toda inequação que se reduz a uma das formas ax + b ≥ 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0 ou ax + b < 0, onde a e b são números reais quaisquer com a 6= 0. Nota: Definições equivalentes podem ser formuladas para inequações do 2o grau e sistemas de inequações. Por exemplo, { 2x − 3 < 0 5x + 1 ≥ 0 é um sistema de inequações do primeiro grau. Por outro lado, x2 − 5x + 2 ≤ 0 é uma inequação do segundo grau. Resolver uma inequação do primeiro grau é encontrar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade. A solução pode ser obtida com auxilio de propriedades conhecidas de números reais. Veja a seguir algumas dessas propriedades: Se x e y são números reais, então x < y ⇐⇒ x + a < y + a , ∀ a ∈ R; x < y ⇐⇒ xa < ya , ∀ a ∈ R , a > 0; x < y ⇐⇒ xa > ya , ∀ a ∈ R , a < 0. Propriedades equivalentes valem para os sinais ≤ , ≥ e >. Exemplo 1 Resolver a inequação −3x + 9 ≥ 0 em R. Solução: −3x + 9 ≥ 0 ⇔ −3x ≥ −9 ⇔ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 3 . Logo, o conjunto solução é S = {x ∈ R | x ≤ 3}. 93 CEDERJ Inequação do 1o Grau Exemplo 4 Resolver a inequação (x + 3)(−2x + 4) ≥ 0. Solução: Escrevendo f(x) = x + 3 e g(x) = −2x + 4 a inequação se torna f(x) · g(x) ≥ 0. Estudaremos o sinal de f(x) e g(x). Note que qualquer valor maior que -3, f(x) > 0 e qualquer valor menor que -3, f(x) < 0. Note que qualquer valor maior que 2, g(x) < 0 e qualquer valor menor que 2, g(x) > 0. Sinal de f(x) Sinal de g(x) + −3 + 2 Os valores divisórios -3 para f(x) e 2 para g(x) são obtidos resolvendo as equações f(x) = 0 e g(x) = 0. Em seguida, para determinar o sinal (+) ou (−) resolvemos as inequações f(x) > 0, f(x) < 0, g(x) > 0 e g(x) < 0. Vamos agora determinar o sinal do produto f(x)g(x):

















++ _ + _ ++_ _ −3 −3 2 2 f(x) g(x) f(x)g(x) Uma vez que estamos resolvendo a inequação f(x)g(x) ≥ 0 encontramos S = {x ∈ R | −3 ≤ x ≤ 2} , como o conjunto solução. Exemplo 5 Resolver a inequação x(−2x + 6)(x − 2) < 0. Solução: Escrevendo f(x) = x, g(x) = −2x + 6 e h(x) = x − 2, a inequação se torna f(x)g(x)h(x) < 0. Estudando os sinais encontramos: _ + 0 _+ 3 _ + 2 x = 0 −2x + 6 = 0 ⇒ x = 3 x − 2 = 0 ⇒ x = 2 CEDERJ 96 Inequação do 1o Grau MÓDULO 1 - AULA 9 Vamos agora determinar o sinal do produto f(x)g(x)h(x):









_ + + + + __ _ __+ + + + + + 0 0 2 2 3 3 f(x) g(x) h(x) f(x)g(x)h(x) Uma vez que estamos resolvendo a inequação f(x)g(x)h(x) < 0, encontra- mos: S = {x ∈ R | 0 < x < 2 ou x > 3} , como o conjunto solução. Exerćıcios 1. Resolva as inequações do 1o grau em R: a) (x + 1)(x − 5) > 0 b) (−x − 1)(3x − 5) < 0 c) (x − 1)(−x + 3)(x − 2) < 0 d) 2x(3x + 1)(−x + 2) ≤ 0 Gabarito a) {x ∈ R | x < −1 ou x > 5} b) {x ∈ R | x < −1 ou x > 5 3 } c) {x ∈ R | 1 < x < 2 ou x > 3} d) {x ∈ R | −1 3 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2} Inequação Quociente Na mesma linha das inequações produto que acabamos de estudar, va- mos tratar o caso de inequações onde aparecem quociente do tipo f(x) g(x) ≥ 0 , f(x) g(x) > 0 , f(x) g(x) ≤ 0 ou f(x) g(x) < 0 , onde f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a 6= 0 e c 6= 0. Iremos encontrar o conjunto solução S destas inequações no conjunto dos números reais. No entanto, temos um problema! Nas inequações apa- rece como denominador g(x) = cx + d, c 6= 0. Ora, a inequação não tem 97 CEDERJ Inequação do 1o Grau sentido quando g(x) = 0. Isto ocorre quando x = −d c . Para contornar esta dificuldade procuraremos o conjunto solução S da inequação de modo que S ⊂ { x ∈ R | x 6= −d c } . Como a regra de sinais para o quociente é similar à regra de sinais para o produto, para resolvermos uma inequação quociente o procedimento segue a linha daquele usado na resolução da inequação produto.Aqui é necessário observar o cuidado extra que g(x) 6= 0. Exemplo 6 Resolver a inequação 3x − 6 x − 3 > 0. Solução: Temos que: 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3











_ _ + + _ _ + + + 2 2 3 3 Observando as representações dos sinais concluimos que S = {x ∈ R | x < 2 ou x > 3} é o conjunto solução da inequação. Exemplo 7 Resolver a inequação 3x − 6 x − 3 ≥ 0. Solução: A solução é idêntica ao exemplo anterior com a diferença de que o número x = 2 que anula o numerador deve ser acrescentado ao conjunto solução. Logo, S = {x ∈ R | x ≤ 2 ou x > 3}. Exemplo 8 Resolver a inequação 3x − 4 x − 3 ≤ 1. Solução: Temos que: 3x − 4 x − 3 ≤ 1 ⇔ 3x − 4 x − 3 − 1 ≤ 0 ⇔ 3x − 4 − x + 3 x − 3 ≤ 0 ⇔ 2x − 1 x − 3 ≤ 0 . CEDERJ 98 Inequação do 1o Grau MÓDULO 1 - AULA 9 Exerćıcios Propostos 1. Determine o menor inteiro que verifica a inequação 3(4x − 2) − 2(5x − 3) ≤ 5(x + 1) . 2. Resolva a inequação em R: x(x − 3)6(3x − 12)5 < 0. 3. Determine os valores de x ∈ Z que satisfaçam a inequação 56 − 7x 5x − 37 ≥ 0. 4. Ache todos os números reais x que satisfaçam x − 1 3 − x < 2. 5. Ache os valores reais de x para os quais vale a desigualdade −4 x + 3 2 ≥ −1 x . 6. Determine o número de soluções inteiras do sistema 3 ≤ 2x − 7 3 ≤ 5. 7. Ache todos os números reais x que satisfaçam ( x2 − 4 )10 (x − 2)5 > 0. 8. Determine os valores reais x que satisfaçam 4 x − 3 ≤ 0. 9. Determine os valores reais x que satisfaçam 4 − x x + 3 > 0. 10. Determine o número de soluções inteiras da inequação −3 < x+2 ≤ 4. Gabarito 1. − 1 2. {x ∈ R | 0 < x < 3 ou 3 < x < 4} 3. x = 8 4. {x ∈ R | x < 7 3 ou x > 3} 5. {x ∈ R | x < 0 ou x ≥ 2} 6. 4 7. {x ∈ R | x > 2} 8. {x ∈ R | x < 3} 9. {x ∈ R | −3 < x < 4} 10. 7 101 CEDERJ Progressão Aritmética MÓDULO 1 - AULA 10 Aula 10 – Progressão Aritmética Sequências Introdução Uma sequência de números reais, ou uma sequência abreviadamente, é uma coleção enumerável de números reais escrita ordenadamente, (ai) = a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · onde an é um número real qualquer com i ∈ N∗. Na verdade, expressamos a sequência infinita, através da inscrição de três pontinhos · · · à direita da sequência. No entanto, também considera- remos sequências finitas. Por exemplo, 1, 3, 5, 7, 9, · · · e 1,−2, 3, π, 5, √ 2 são respectivamente uma sequência infinita e uma sequência finita. N∗ R





1 2 3 a a a 1 2 3 Nota: É necessário considerar também sequências finitas do tipo a1 , a2 , · · · · · · , ak. Neste caso, basta considerar o conjunto finito Ik = {1, 2, 3, · · · , k} e descrever as sequências de números reais finitas como funções f : Ik → R. Exemplo 1 Escreva explicitamente os termos da sequência an = (−1)n+1 para todo n ∈ N∗. 103 CEDERJ