Mecânica dos Solos - Unidade 07

Mecânica dos Solos - Unidade 07

(Parte 2 de 3)

Ts = tensão superficial da água (0,0764 g/cm) α = ângulo de contato que dependem do fluído e do sólido de contato.

Portanto, para que ocorra o equilíbrio, temos que: 2π r Ts cos α = π r2 γw hc cos2 hc wrTsγα⋅⋅= ou cos4 hc wdTsγα⋅⋅= verifica-se que a altura de ascensão capilar é inversamente proporcional ao diâmetro.

Nos solos como estimativa da ascensão capilar máxima (α = 0°)

Onde “d” é o diâmetro dos poros. Portanto nos solos arenosos e pedregulhosos onde os poros são maiores, a altura de ascensão capilar na prática está entre 30cm e 1m. Já nos solos siltosos e argilosos, onde os poros são menores, a altura de ascensão capilar chega a dezenas de metros.

A água em contato com o solo também tenderá a formar meniscos. Nos pontos de contato dos meniscos com os grãos (Figura 7.1) evidentemente agirão pressões de contato, tendendo a comprimir os grãos. Estas pressões de contato (pressões neutras negativas) somam-se as tensões totais:

σ‘ = σ - (-u) = σ + u

TUBO CAPILAR φ = d MENISCO

Patm h0

Ts. cos α Ts Ts u = γw. hc P0

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 104 fazendo com que a tensão efetiva realmente atuante seja maior que a total. Esse acréscimo de tensão proporciona um acréscimo de resistência conhecido como coesão aparente (ver Unidade 9), responsável, por exemplo, pela estabilidade de taludes em areia úmida. Uma vez eliminada a ação das forças capilares (saturação do solo) desaparece este ganho de resistência (coesão aparente tende a zero).

Figura 7.1 - Pressões de contato em uma amostra de solo.

Exemplo 4: Dado o perfil geotécnico abaixo, admitindo que na zona da franja capilar o solo esteja completamente saturado, qual o valor da pressão neutra e efetiva nos pontos A e B.

- ( m )

Pressão neutra Tensão efetiva

Tensão total (kN/m2) Pressão neutra (kN/m2) Tensão efetiva (kN/m2) Pontos σv0 = γ . z1 + γsat . z u0 = γw . zw σ’v0 = σ’v0 - u0 A 18 . 2 = 36 10 . (- 0,5) = - 5 36 - (-5) = 41

B 36 + 2 . 2,5 = 91 10 . 2 = 20 91 - 20 = 71

7.2 Propagação de tensões no solo devido a carregamentos externos

São as tensões decorrentes das cargas estruturais aplicadas (tensões induzidas), resultantes de fundações, aterros, pavimentos, escavações, etc. A lei de variação das modificações de tensões, em função da posição dos elementos do terreno, chama-se distribuição de pressões. Existem várias teorias sobre a distribuição de pressões, mas vamos estudar a teoria simples ou antiga e a teoria da elasticidade.

areia fina franja capilar A - 2,0 m

- 2,5 m

- 4,5 m γ = 18 kN/m2 γ = 2 kN/m2 A

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 105

A distribuição de tensões comporta duas análises: 1ª) as tensões induzidas no interior do maciço; 2ª) as tensões de contato.

7.2.1 Tensões induzidas no interior do maciço São usualmente calculadas pela teoria da elasticidade.

7.2.2 Efeito de sobrecarga

Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno (no caso da Figura 7.12, a sobrecarga vertical Q foi aplicada à superfície), o elemento A (x, z) tem seu estado de tensões original modificado, ou seja:

Figura 7.12 - Efeito de uma sobrecarga em um perfil de solo.

- inicial (efeito do peso próprio)σv0
- final (após aplicação da sobrecarga)σv0 + ∆σv

a) tensão vertical

- inicialσh0
- finalσh0 + ∆σh

b) tensão horizontal

- inicialzero
- finalτ

c) tensão cisalhante x Q

∆σv + σv0

∆σv + σv0 z N.T. ∆σv0 = σz

∆σh0 = σx

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7.2.3 Teoria de distribuição de pressões no solo por efeito de sobrecarga

Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno, ela produz modificações nas tensões até então existentes. Teoricamente, tais modificações (acarretando aumento ou diminuição das tensões existentes) ocorrem em todos os pontos do maciço solicitado. Dependendo da posição do ponto (elemento do terreno) em relação ao ponto ou lugar de aplicação da sobrecarga, as modificações serão de acréscimo ou decréscimo, maiores ou menores.

A distribuição de pressões ou tensões pela hipótese simples ou antiga admite-se que a carga

“Q” aplicada à superfície se distribui, em profundidade segundo um ângulo (ϕ0), chamado ângulo de espraiamento ou de propagação. A Figura 7.13 apresenta a distribuição de tensões no interior do maciço segundo a hipótese simples. A propagação das pressões restringe-se à zona delimitada pelas linhas de espraiamento MN.

Figura 7.13 - Distribuição de pressões pela hipótese simples.

Kogler e Scheidig (1948) sugerem valores para o ângulo de espraiamento segundo a tabela abaixo:

Tipo de solo ϕ 0 Solos muito moles < 40°

Para fins práticos, a propagação de pressões, devido à sobrecarga, restringe à zona delimitada pelas linhas de espraiamento. A hipótese simples contraria todas as observações experimentais (feitas através de medições no interior do subsolo), pelas quais se verificou que a pressão distribuída em profundidade não é uniforme, mas sim variável, em forma de sino.

A propagação das pressões restringe-se à zona delimitada pelas linhas de espraiamento MN.

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 107

A faixa de validade para esta teoria restringe-se a: a) sobrecargas provenientes de fundações muito rígidas e/ou estruturas rígidas (chaminés, torres, obeliscos, blocos de máquinas) com tendência de recalques uniformes, as pressões tendem à uniformidade; b) profundidades muito grandes - achatamento do diagrama de pressões; c) valor de ϕ0 a adotar - quanto mais resistente for o solo, tanto maior será o valor de ϕ0.

A teoria matemática da elasticidade fundamenta-se nos estudos, entre outros, de Cauchy, Navier, Lamé e Poisson, tendo suas equações fundamentais sido estabelecidas na década de 1820.

O estudo sobre a possível distribuição das tensões no solo, resultado da aplicação da teoria de Boussinesq, baseia-se na teoria da elasticidade. A teoria de elasticidade linear é baseada no comportamento elástico dos materiais, ou seja, na proporcionalidade entre as tensões (σ) e deformações (ε), segundo a lei de Hooke. A razão σ / ε = E denomina-se módulo de elasticidade ou módulo de Young. A correspondente expansão lateral do material terá valor ε = - µ . σ / E, onde “µ” é o coeficiente de Poisson (para solos e rochas varia entre 0,2 e 0,4).

Em resumo a teoria da elasticidade admite: a) material seja homogêneo (propriedades constantes na massa do solo); b) material seja isotrópico (em qualquer ponto as propriedades são as mesmas independente da direção considerada); c) material seja linear-elástico (tensão e deformação são proporcionais)

Existem soluções para uma grande variedade de carregamentos.

7.2.5.1 Carga concentrada - Solução de Boussinesq

O estudo do efeito de cargas sobre o terreno foi estudado inicialmente por Boussinesq (1885), através da teoria da elasticidade. Estudou o efeito da aplicação de uma carga concentrada sobre à superfície de um semi-espaço infinito. (Figura 7.14)

Expressões:

zr22+=R

onde: µ = coeficiente de Poisson

Figura 7.14 - Carga concentrada.

x = r P = Q

∆σ’v τ

R z

N.T. z x ∆σ’v = σz

∆σ’h = σx

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 108

Exemplo 5: Foi aplicado no perfil abaixo uma sobrecarga de 1500 kN na superfície do terreno. Determine as tensões iniciais, os acréscimos de tensões devido à sobrecarga e as tensões finais no ponto A.

Tensões iniciais:

σ‘v0 = γ . z = 19 . 3 = 57,0 kPa σ‘h0 = k0 . σ‘v0 = 0,5 . 57 = 28,5 kPa τ0 = 0

Acréscimo de tensão devido à sobrecarga

Tensões finais σ‘vf = σ‘v0 + ∆σ‘v = 57 + 14,1 = 71,1 kPa σ‘hf = σ‘h0 + ∆σ‘h = 28,5 + 14,1 = 42,6 kPa τf = τ0 + ∆τ = 0 + 14,1 = 14,1 kPa

É importante observar que os solos, de modo geral, afastam-se das condições ideais de validade da teoria de Boussinesq. Não são materiais elásticos, nem homogêneos, nem isotrópicos. Entretanto, as diferenças entre os solos reais e o material ideal de Boussinesq não são de molde a impedir a aplicação da teoria da elasticidade aos solos, desde que observados certos requisitos.

Requisitos para aplicabilidade da solução de Boussinesq (BARATA, 1993):

a) Deve-se haver compatibilidade nas deformações do solo. Portanto, as cargas aplicadas e distribuídas não se aproximem da máxima resistência ao cisalhamento do solo. Fator de segurança, no mínimo igual a 3, para haver proporcionalidade entre as tensões e deformações; b) A resistência do solo deve ser constante, ao longo da profundidade (E = módulo de elasticidade). Nas argilas (solos coesivos) esse aspecto é mais viável. Nas areias (solos incoerentes), menos viável; c) Solos muito heterogêneos (com presença de camadas de origem, constituição e resistência muito diferentes) em contatos afastam-se muito do material de Boussinesq. Usar a solução de Westergaard, item 7.2.6; d) Somente cargas na superfície. Cargas abaixo da superfície - teoria de Mindlin; r = 3 m

P = 1500 kN γ = 19 kN/m3 µ = 0,5

K0 = 0,5 R = 4,24 m

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 109 e) Teoria admite que o material solicitado tenha resistência à tração e ao cisalhamento (ϕo = 90o)

Nos solos argilosos o erro é menor; f) A solução de Boussinesq é para carga concentrada, que na prática não ocorre nas fundações reais. A teoria só se aplica sem erros grosseiros, quando: - Carga sobre área circular, z > 3 d (d = diâmetro);

- Carga sobre área retangular, z > 2,5 lado menor;

7.2.5.2 Carga linear - Solução de Melan

A partir das expressões de Boussinesq para carga concentrada, usando o princípio da superposição (o efeito do conjunto considerado como a soma dos efeitos de cada um dos componentes) e por meio de integração matemática, foi possível que vários pesquisadores chegassem a expressões para o cálculo da distribuição causada por cargas lineares e áreas carregadas.

As seguintes expressões foram propostas por Melan (Figura 7.15)

xz zqv +

xz zxqh + xzq

Figura 7.15 - Solução de Melan.

7.2.5.3 Área carregada - Carga uniforme sobre uma placa retangular de comprimento infinito

Em placas retangulares em que uma das dimensões é muito maior que a outra, os esforços induzidos na massa de solo podem ser determinados através das expressões propostas por Carothers e Terzaghi, conforme o esquema da Figura 7.16.

∆σ‘v = P (α + sen α . cos (α + 2δ))/π

∆σ‘h = P (α - sen α . cos (α + 2δ))/π

∆τ = P (sen α . sen (α + 2δ))/π

P = carga distribuída por unidade de área Figura 7.16 - Solução de Carothers

∆σ‘v A

∆σ‘h τ

P = ∆qs x zA (x, z)

B = 2b

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 110

O bulbo de pressões correspondentes a esse tipo de carregamento é apresentado na Figura 7.17, onde:

b = semi-largura z = profundidade vertical x = distância horizontal do centro

∆qs = P = carregamento

Para determinar as tensões induzidas obtém-se do ábaco o fator de influência (I). Valor este que multiplicado pelo carregamento na superfície, nos dará o acréscimo de tensão no ponto desejado, conforme as expressões: ∆σ‘v = P . I1 e ∆σ‘h = P . I3

Figura 7.17 - Carregamento uniformemente distribuído sob uma área retangular de comprimento infinito.

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 1

Exemplo 6: Determine os acréscimos de tensão vertical e horizontal nos pontos assinalados da figura abaixo

Pontos x/b z/b I1 ∆σ‘v I3 ∆σ‘h A 0 1 0,82 164 0,18 36

B 1 1 0,64 128 0,08 16 C 2 1 0,28 56 D 0 2 0,5 110 E 1 2 0,47 94 F 2 2 0,3 6 G 0 3 0,39 78 H 1 3 0,37 74 I 2 3 0,28 56

7.2.5.4 Área carregada - Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa retangular

Para o caso de uma área retangular de lados a e b uniformemente carregada, as tensões em um ponto situado a uma profundidade z, na mesma vertical do vértice. Na Figura 7.18 são dados, segundo Holl (1940), as expressões para a determinação das tensões induzidas.

zba

Rz baarctgPvπσ zba

Rz baarctgPhπσ

azR aPπτ

Figura 7.18 - Placa retangular.

Pode-se utilizar o ábaco da Figura 7.19, a fim de determinar o acréscimo de tensão vertical (∆σ‘v = σz) no vértice de uma placa retangular carregada uniformemente.

Onde: m = b/z n = a/z temos, σz = ∆σ‘v = P . I

∆qs = P = 200kPa x

AB C
DE F
GH I

1 m 1 m

1 m 1 m P

∆σ‘v= σz A

∆σ‘h= σx b zbaR zbR zaR

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 112 m = 2,0 m = 2,5m = 3,0

Co e f ic nt e de inf l uê nc ia - I σ‘v = σz b z Aσ‘h = x m=b/z n = a/z σz = P.I

Figura 7.19 - Carregamento uniformemente distribuído sob uma área retangular.

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 113

Exemplo 7: Calcular o acréscimo de carga, na vertical do ponto A, a profundidade de 5,0 m. A placa superficial tem 4,0 m x 10,0 m, e esta submetida a uma pressão uniforme de 340 kPa.

a = 10m z = 5 m b = 4m ábaco: m = 4/5 = 0,8 I = 0,181 n = 10/5 = 2

∆σ‘v = P x I = 340 x 0,181 = 61,5 kPa

Utilizando a expressão para o acréscimo de tensão vertical, temos:

R1 = (102 +52 )0,5 = 1,18 R2 = (42 + 52 )0,5 = 6,40 R3 = (102 + 42 +52)0,5 = 1,87

340'22arctgvπσ= []546,0674,02

7.2.5.5 Área carregada - Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular (tanques e depósitos cilíndricos, fundações de chaminés e torres)

As tensões induzidas por uma placa uniformemente carregada, na vertical que passa pelo centro da placa, podem ser calculadas por meio da integração da equação de Boussinesq, para toda área circular. Esta integração foi realizada por Love, e na Figura 7.19 têm-se as características geométricas da área carregada. O acréscimo de tensão efetiva vertical induzida no ponto A, situado a uma profundidade z é dada pela expressão:

z R

Pzvσσ

Onde:

R = raio da área carregada z = distância vertical x = distância horizontal a partir do centro da área carregada

P = ∆qs = carregamento

Figura 7.20 - Área circular.

∆σ‘v = σz

A x ∆σ‘h = σx

10 m 4 m

340 KPa

P =∆qs x z A

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 114

Para pontos situados fora da vertical que passa pelo centro da placa, o acréscimo de tensão efetiva vertical poderá ser calculado pelo ábaco da Figura 7.21, que fornece isóbaras de ∆σ‘v/P, em função do afastamento e da profundidade relativa x/R e z/R, respectivamente.

Figura 7.21 - Carregamento uniformemente distribuído sob uma área circular.

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Exemplo 8: Calcular o acréscimo de tensão vertical nos pontos A e B transmitido ao terreno por um tanque circular de 6,0 m de diâmetro, cuja pressão transmitido ao nível do terreno é igual a 240 kPa.

Utilizando o ábaco, temos:

Ponto X/R Z/R I ∆σ‘v (kPa) A 0 1 0,64 153,5 B 1 1 0,3 79,2

A tensão final no ponto A será: σ‘vfA = 16,5 . 3 + 153,5 = 203,0 kPa

7.2.5.6 Área carregada - Carregamento Triangular

Possui grande aplicação na estimativa de tensões induzidas no interior de massa de solo por aterros, barragens, etc. Existem soluções para diversos tipos de carregamento (triângulos retângulos, escaleno, trapézios, etc.).

Gráfico de Osterberg - determina a tensão vertical (∆σ‘v) devido a uma carga em forma de trapézio de comprimento infinito (Figura 7.2).

I1 → Coeficiente de Influência

a / z b / z

Gráfico de Carothers - determina a tensão vertical e horizontal (∆σ1 = ∆σ‘v, ∆σ3 = ∆σ‘h) devido a uma carga em forma de triângulo isósceles de comprimento infinito. (Figura 7.23).

x / a v'1σσ∆=∆
z / a h'3σσ∆=∆

P =∆qs x

∆σ’v b z

P =∆qs x

∆σ’v a z

P = 240 x z ∆σ’vfA

R = 3 m

3 m ∆σ’vfB A B γ= 16,5 kPa

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 116

Gráfico de Fadum - determina a tensão vertical (∆σ‘v) sob um carregamento trinagular de comprimento finito. (Figura 7.24)

Iz → Coeficiente de Influência

m = b1 / z n = a1 / z

Figura 7.2 - Carregamento trapezoidal de comprimento infinito - Gráfico de Osterberg.

∆σ’v a1 z

∆σ b1

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 117

Figura 7.23 - Carregamento triangular de comprimento infinito - Gráfico de Carothers.

Figura 7.24 - Carregamento triangular de comprimento finito - Gráfico de Fadun

Notas de Aula - Mecânica dos Solos 118

7.2.5.7 Área carregada - Carregamento uniformemente distribuído sobre uma superfície de forma irregular. (gráfico circular de Newmark)

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