Estratégias práticas de como obter Raiz Quadrada de um número real

Estratégias práticas de como obter Raiz Quadrada de um número real

Estratégias práticas de como obter Raiz Quadrada de um número natural

Strategies practices on how to Square Root from a number natural

Tesseu Brandão Fraga de Carvalho

Resumo: Ao apresentar o conteúdo de Raiz Quadrada para turmas de 6º ano, é comum que os alunos fiquem sem entender alguns detalhes, como: “de onde vem a raiz?”, “Por que se usa esse caminho?”e “O que significa tirar a raiz quadrada?. E claro, são de grande importância para a compreensão do conteúdo de Raiz Quadrada.

Neste trabalho foram analisados três livros didáticos de matemática, dois deles tinham a mesma linha de ensino, que era unicamente na resolução de cálculos e o ultimo trabalhava de uma forma mais clara, ou seja, usando um pouco da historia para ensinar aos alunos de onde surgiu a raiz quadrada, os nomes dos elementos que a compõem etc.

O objetivo maior neste trabalhado é apresentar ao leitor de onde e como surgiram, as dificuldades encontrada pelo alunado para resolver problemas envolvendo o conteúdo de Raiz Quadrada e métodos práticos de encontrá-la, impedindo assim barreiras e obstáculos pelos alunos para uma boa compreensão.

Palavra-Chave: Raiz Quadrada, Métodos Práticos e Resolução de cálculos.

Summary: Presenting the Square Root's content classes for 6 years, which is common that students do not understand some details, such as "where is the root?", "Why do you use this way?" And "That means taking the square root?. And of course, so great importance for the understanding of the contents of Square Root. We review three books didticos of mathematics, two of them had the same line of teaching, which was only the display resolution of calculations and last worked in a more clear, that is, using a bit of history to teach students where did the square root of the names of the elements that so competent. The main objective in this work gives the reader where and how they arise, difficulties encountered by these students to solve problems involving the Square Root's content methods practices against it, thus preventing the barriers and obstacles students for a good understanding.

Keyword: Square Root, Practical Methods and resolution calculations.

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

E – mail: tesseucarvalho@hotmail.com

1 - Introdução

Após a análise de três livros didáticos de Matemática do 6º ano, percebi uma grande carência em expor mais o conteúdo de Raiz Quadrada aos alunos.

Depois de ter acompanhado alguns alunos através de alguns instrumentos avaliativos, diagnostiquei que eles não dominavam quase nada sobre o conteúdo. Pois o professor apresentava de uma forma “seca”, sem apresentar um pouco da história sobre a Raiz Quadrada e explicar o conceito correto, pois ela nada, mas é do que o lado de um quadrado conhecendo a sua área, neste caso a área é o radicando. Outro problema onde afeta muitos alunos é não identificar o radical, radicando e índice – o fato do índice não esta explicito não significa que eu não tenha uma Raiz Quadrada – no decorrer do trabalho o leitor ira deparar-se com algumas situações vivenciadas por mim com trinta alunos do 6º ano (Antiga 5º serie) no qual foi feita uma prova com cinco questões pedindo ao aluno para encontrar a Raiz Quadrada dos valores citados na prova.

A apresentação de alguns métodos, até então desconhecidos para os alunos que usei para minha pesquisa, auxiliaram muito na resolução da prova, foi interessante, pois fiz um relato da historia da Raiz Quadrada, trabalhei utilizando como base, encontrar o lado de um quadrado conhecendo a sua área, foi apresentado métodos para se encontra a Raiz Quadrada como a decomposição, por tentativa e pelo método chinês ou aritmética mental. Desconhecido pelos alunos, porém de fácil compreensão, obtive bons resultados nas provas, todos os alunos resolveram os problemas e ao final do trabalho, poderemos os resultados.

A compreensão de Raiz Quadrada é um processo muito delicado, pois cada parte da explicação é pré-requisito para a outra, entender como ela surgiu facilita e muito o porquê de se estudar a Raiz Quadrada. É obrigação de o professor preparar uma aula onde o aluno terá uma fundamentação teórica e logo depois de entender partir para a prática, ou seja, o raciocínio lógico e aplicação prática devem andar juntos. Por esse motivo é necessário haver um equilíbrio entre vários fatores, tais como a teoria e a pratica.

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

E – mail: tesseucarvalho@hotmail.com

2 - Desenvolvimento

É comum alunos do 6º ano (Antiga 5º série), onde se inicia o estudo da operação inversa da potenciação, a Radiciação, ter dificuldades no processo de como extrair a Raiz Quadrada de um numero natural qualquer. Logo começam a criar perguntas que são freqüentes entre os alunos, como por exemplo: “ Para que serve isso?”, “Por que se faz assim?” e “Não tem outro modo de resolver?”.Quando ocorre um tipo de situação dessas o professor é pego de surpresa e acaba, na maioria das vezes, sem saber o que dizer ao aluno, pois nem ele saber o por que. Isso ocorre por conta de como aparece o conteúdo de Raiz Quadrada nos livros didáticos. Na maioria deles é apresentado de uma forma direta, sem conceitos e com muitos exercícios, onde o aluno aprende a resolver o processo mecânico, mas sem ter o conhecimento cognitivo do desenvolvimento do algoritmo.

Para o professor poder transmitir o conteúdo de Raiz Quadrada é necessário um breve histórico a respeito do assunto tratado. Nas escolas sempre é repassado ao aluno que a raiz quadrada é um número no qual multiplicado por ele mesmo será igual ao valor de dentro da raiz, mas, como se chama o valor de dentro da raiz? E o que é esse símbolo, por que raiz quadrada? São dúvidas no qual nós professores temos e são a partir daí que não desenvolvemos uma boa aula para nossos alunos.

No início do século XI, Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, em seu livro líber abbaci (Livro do Ábaco ou Livro de Calculo) apresenta da seguinte maneira: "radix quadratum 49 aequalis 7", escrito em latim, e traduzido para o português: "O lado do Quadrada de 49 é igual a 7". Percebe-se que a palavra Radix não tem nada a ver com Raiz, pois, a palavra esta tem a ver com arvore, planta e não com números. A correta tradução de Radix que é lado.

Leonardo ao ir trabalhar como comerciante, com seu pai no sul da África, trouxe essa importante informação dos matemáticos árabes para a Europa.

O símbolo do radical √, esta associado à palavra “radix”, que é um alongamento da letra r, apareceu pela primeira vez no livro Álgebra die cors de autoria de Christoff Rudolff, matemático alemão, em 1525. Os matemáticos da época não aceitaram esse símbolo, nem mesmo na Alemanha, terra natal de Rudolff. No inicio do século XVII, o símbolo já estava sendo bastante usado. O traço acrescentado junto ao símbolo surgiu em 1637 por René Descartes, matemático francês, no seu livro Geometrie.

Após um breve histórico sobre o conteúdo de Raiz Quadrada o aluno estará mais esclarecido a respeito do conteúdo, tornando assim a aula interessante. Devemos entender perfeitamente a dificuldade do aluno na aprendizagem de raiz Quadrada, por ser uma idéia bastante abstrata, se torna difícil do aluno entender apenas com aulas teóricas (Andréia Silva Brito, docente da EEEFM, Revista Nova Escola, Pag. 50, 2º parágrafo, Nº 230) e também por não ser quase aplicação no cotidiano do aluno.

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

E – mail: tesseucarvalho@hotmail.com

Para o estudo de Raiz Quadrada, a maioria dos livros persiste em trabalhar de uma forma mais tradicional, que é a resolução de exercícios, em grandes quantidades, os alunos aprendem, porém de uma forma mecânica, ou seja, sabe fazer o algoritmo, por outro lado não desenvolve o raciocínio cognitivo.

Ao analisar três livros didáticos de 6º ano (Antiga 5º serie), ficou claro o motivo de muitos alunos terem a dificuldade de assimilar este conhecimento, ou seja, Raiz Quadrada.

Iniciando pelo ano da edição, o primeiro livro foi: Matemática e Vida, dos autores Bongiovanni, Vissoto e Laureano, de 1990. O livro inicia com um capítulo de Radiciação, que é a operação inversa da potenciação, mas, pouco se é trabalhado Raiz

Quadrada, de inicio verifica-se um esquema onde retrata três situações: a inicial, que é um valor qualquer, a operação, no caso a potenciação, elevando o valor inicial ao quadrado e por fim a situação final, sendo o numero obtido pelo quadrado do valor inicial. Logo em seguida ele inverte as três situações, começando primeiramente pela final e ao chegar à operação, a segunda situação, o autor coloca uma incógnita, ou seja, qual o valor elevado ao quadrado será igual ao valor da situação final? E acaba voltando para a situação inicial, mostrando o porquê da operação inversa. Logo começa a parte de resolução de problemas.

Já no livro da coleção: Matemática, escola e realidade, dos autores Matsubara e Zanirato, há um capitulo que aborda unicamente Raiz Quadrada e se inicia com um problema bem interessante e que aguça os alunos a procurar entender o porquê da Raiz Quadrada. O problema retrata um terreno quadrado com área igual a trinta e seis metros quadrados e pede o lado desse terreno. Logo após ele pergunta qual o número natural que elevado ao quadrado resulta trinta e seis? Repare que esse problema é parecido com o que Leonardo de Pisa onde apresentou em seu livro, claro com uma linguagem um pouco diferente, menos formal, porém com a mesma idéia. Após apresentar todos os elementos da Raiz Quadrada (radical, radicando e índice) e uma breve historia sobre o símbolo , se inicia as atividades.

Por fim, a obra que foi analisada, pertence à coleção: Matemática, fazendo a diferença, dos autores: Bonjorno e Ayrton. Não muito diferente do primeiro livro, o do autor Bongiovanni, esse faz um breve relato da operação inversa, radiciação, apresenta os elementos da Raiz Quadrada em um esquema, e ao lado, aparece um pequeno quadrado de lado 4 com área 16, onde explica rapidamente a origem da Raiz Quadrada.

Ao analisar os três livros, percebi que um deles explicava através de um problema, o porquê de se trabalhar Raiz Quadrada e de onde ela surgiu, através da área de um quadrado, como mostrou o livro dos autores Matsubara e Zanirato. Os outros dois livros tinham uma mesma linha de ensino, ou seja, pouca teoria e muita prática. Os livros didáticos se preocupavam em transmitir informações, tais como propriedades da Radiciação e atividades, ao invés de ensinar estratégias de como encontrar a raiz quadrada de um numero.

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

E – mail: tesseucarvalho@hotmail.com

O que aparecia muitas vezes eram já as raízes dos números prontas, ou seja, o aluno teria que decorar as raízes, por exemplo, de um certo intervalo numérico. Mas não aparecia o processo pelo qual a encontramos. Além da dificuldade do aluno em entender o que é uma Raiz Quadrada ele terá outra, que é como encontrar.

Existem três caminhos de se encontrar a Raiz Quadrada, na verdade é a idéia principal desse artigo, que é o ensino a alunos de 6º ano (Antiga 5º serie) algumas maneiras de se encontrar a Raiz Quadrada exata de um numero. Primeiramente, o professor deve fazer com que o aluno explore bem a área do quadrado, pois a Raiz Quadrada é nada mais que o lado de um quadro, conhecendo a sua área. Após se trabalhar com eles verifica-se a aprendizagem do aluno em relação ao conteúdo, em seguida o professor deve aumentar o grau de dificuldade, ou seja, aumentar o valor dos números no qual se quer extrair a raiz quadrada.

O método mais utilizado é o Babilônico, mais conhecido como o da aproximação. A base dessa estratégia é utilizar a tabuada de números iguais, até alcançar a resposta.

O segundo método é o da decomposição, muito utilizado em sala de aula, porém pouco explorado pelo professor em relação aos seus conceitos, ou seja, é observado em muitas escolas onde professor não explica o que é decompor um numero, e é mais uma dúvida gerada pelo aluno. A decomposição de um número (maior que 1) é reduzi-lo em fatores primos. Este método tem como idéia decompor o número onde se deseja encontrar a raiz, em fatores primos, iniciando a divisão pelo valor dois até encontrar o resultado um em seguida deve-se agrupar os divisores dois a dois e multiplicá-los.

A ultima e menos conhecida é a aritmética mental ou Metodo Chinês que consiste em um método para extrair a Raiz quadrada, simplesmente subtraindo números ímpares até se obter o zero. O resultado é a quantidade de contas, pois a soma de numeros impares sucessivos é um número quadrado.

Lembrado que o professor tem como obrigação explicar o motivo pelo qual a radiciação é a operação inversa da potenciação e que percebam que a base do conteudo é a multiplicação de números iguais, pois evita que os alunos na façam perguntas como: é 2, já que 4: 2 = 2, então o porque não é igual a 8 e não é igual a 18?

Orientar o aluno sobre o conteudo de Raiz Quadrada mostra que não apreceu do nada e sim evolui a parti da necessidade do homem.

O experimento relacionado à pesquisa iniciou a partir de informações sobre como o professor transmite o conteúdo de Raiz Quadrada, com uma prova contendo 5(cinco) problemas no nível do livro didático de 6º ano (Antiga 5º serie) e elaborados com 30 alunos do mesmo ano.

A grande dificuldade do aluno do 6º ano foi justamente no desenvolvimento do algoritmo. Nas questões 1, 3 e 5 foi onde tiveram maior índice de acerto, pois, eram cobrados os lados de um quadrado conhecendo a sua área, já nas questões 2 e 4,

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

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os alunos teriam que encontrar a raiz quadrada dos valores indicado, ou seja, nesse tipo de problema o alunado teria de resolver o algoritmo passo a passo de uma forma mais “seca”, sem ter um contexto por trás da questão, porém utilizaram alguns dos métodos citados anteriormente onde auxiliaram bastante na resolução dos problemas. Logo abaixo com o gráfico de acertos será visível o resultado trabalhado com os alunos:

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

E – mail: tesseucarvalho@hotmail.com

3 - Conclusão

Este trabalho nos apresentou uma realidade por um outro ângulo. Analisando as dificuldades dos alunos com o conteúdo de Raiz Quadrada.

O professor quase sempre identifica esses tipos de problemas, tenta ajudar aos alunos de alguma forma, mais ainda não é o suficiente para o aluno entender o conceito do conteúdo.

É necessário que o professor inove, ou seja, leve aos alunos mais a historia, maneiras mais simples de trabalhar o conteúdo de Raiz Quadrada, procedimentos de como resolver alguns problemas, trabalhar com eles a parte lógica dos problemas. Trazer situações cotidianas apresentando um problema para a avaliação da capacidade de cada aluno.

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

E – mail: tesseucarvalho@hotmail.com

4 - Referências Bibliográficas

Bongiovanni, Vissoto & Laureano. Matemática e Vida. (1º Grau). Ed. Ática. 1990. Bongiovanni, Vissoto & Laureano. Matemática e Vida.

Matemática escola e realidade: ensino fundamental: livro do professor / Roberto Matsubara, Ariovaldo Antônio Zanirato – 1. Ed. – São Paulo: IBEP, 2005

Matemática : fazendo a diferença / Jose Roberto Bonjorno, Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares. – 1. Ed. – São Paulo : FTD, 2006. – (Coleção fazendo a diferença)

Revista Nova Escola, ano XXV . Nº 230 – Março 2010 , Pag. 50

http://www.webartigos.com/articles/28579/1/O-ESTUDO-DA-RAIZ-QUADRADA-POR-ALUNOS-DO-ENSINO-FUNDAMENTAL-DA-CIDADE-DE-NOSSA-S-DE-LOURDES-SERGIPE/pagina1.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada#M.C3.A9todo_Babil.C3.B4nio_.28exemplificado.29

Tesseu Carvalho – Aluno do curso de Pós Graduação em Matemática da FACIG

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