Integral Dupla

(Parte 2 de 3)

O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura ao lado)

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Exemplo 3: Calcule ∫∫R dA)xysen(y, onde R = [1,2] x [0,π].

Solução: [] dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y

Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais demorado. Portanto é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração. 2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.

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Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.

Solução: Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície

z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla:

Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo.

Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R

x x y y

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Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por

Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas

1) Regiões planas inscritas em faixas verticais:

Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja:

D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:

A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

sempre que f for contínua em D.

x y 0 x y 0 x y 0 b b b a a a y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x)

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2) Regiões planas inscritas em faixas horizontais:

Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja:

D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:

A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

sempre que f for contínua em D.

dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas

Exemplo 5: Calcule ∫∫+D y = 2x2 e y = 1 + x2.

Solução:

A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever:

D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 }

Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas:

x y 0 x y

0 D x y 0 d d d c c c x = h1(y) x = h1(y) x = h1(y) x = h2(y) x = h2(y) x = h2(y) x y –1 1 y = 2x2 y = 1 + x2

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Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2.

Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x }

Assim, o volume é: () () yyx dxdyyxdAyxV

y = x2

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Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com:

D = { (x,y) | 0 < y < 4, yx2 y≤≤}

Portanto, o volume pode ser calculado como:

xdydxyxdAyx(V

Exemplo 7: Calcule ∫∫D xydA, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

Solução:

A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira:

⇒ y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 )

Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4). Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva. Assim, preferimos expressar D como:

Logo:

y2 = 2x + 6 y = x – 1

Prof. M.Sc Lizandro Manzato Cálculo I dyy2 xdyxydxxydA

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