Número de Ouro

Número de Ouro

Introdução

O número de ouro é um numero irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitas como uma oferta de Deus ao mundo. Não se sabe ao certo quem começou a estudar esse numero, muitos matemáticos tentaram descobrir o que seria esta relação, por exemplo, Pitágoras, Platão, Euclides entre outros. Este número não é mais do que um valor numérico é reconhecido por muitos como o símbolo da harmonia.

A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.

A Razão Áurea e o Número de Ouro

Demonstração:

Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste casso o B estará mais perto de A), de maneira que a razão do segmento de reta menor (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC).

A razão entre o comprimento destes segmentos designa habitualmente por seção áurea. Então tem-se que:

Pode-se então definir o numero de ouro de fizer:

O número de ouro vai ser a razão entre x e y:

Se ainda substituir y por 1 tem-se:

Utilizando a regra de três, temos:

Resolvendo esta equação quadrática, obtêm as seguintes soluções:

e

Não se irá considerar o segundo valor (), tendo em conta que um comprimento, nunca poderá ser negativo. Chega-se então ao que se pretende, isto é, encontrou –se o tão esperado número de ouro φ (Phi):

A designação adotada para este número, φ (phi) é a inicial do nome de Fidias que foi escultor e arquiteto encarregado da construção do Partheneon, em Atenas e por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.

Esta razão já era utilizada pelos gregos e pelos egípcios que fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,61803399 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,61803399 maior que a de cima, que era 1,61803399 maior que a da terceira fila, e assim por diante. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,61803399 vezes maior que as larguras.

Figuras Geométricas

Retângulo de Ouro

Outro exemplo do Número de Ouro poderá ser também obtido desenhando-se um retângulo de ouro, nele a razão entre o lado maior e o lado menor é igual ao número de Ouro. Este pode ser dividido num quadrado e em outro retângulo em que este é, também ele, um retângulo de ouro. Este processo pode ser repetido infinitamente mantendo-se a razão constante.

Obras da arquitetura clássica, como o Parthenon, revelam o uso da razão áurea na busca de uma harmonia estética. A fachada dessa obra, hoje em ruínas, esta sobreposta por formas retangulares. Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão φ = 1,618...

Pentágono Regular e a Estrela Pentagonal

O pentágono regular tem na relação entre o comprimento da sua diagonal e o comprimento do seu lado o número de ouro.

Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal (ou pentagrama). Um pentagrama regular é obtido traçando-se diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também esta em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea.

Porém não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros a razão existente entre o lado do pentágono estrelado e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrario a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional. Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que era. Este número era o número ou seção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído dois mil anos depois. Quando Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que “tudo é número”, ou seja, que a natureza surge de padrões matemáticos.

Posteriormente os gregos consideraram que o retângulo cujos lados possuíam esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido a sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma serie de teoremas gerais de geometria e aplicou método de analise para estudar a seção que se acredita ser a seção de ouro.

Fibonacci

No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a escola da Igreja e Universidade, voltada para um âmbito mais teórico e exaustivo; outra com uma finalidade mais prática e objetiva, a escola do comércio e dos mercadores, à qual pertencia Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci.

A contribuição de Fibonacci para o Número de Ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a seqüência de números de Fibonacci. Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes, pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos.

O Problema de Fibonacci

 Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um par de coelhos num ano, supondo que se começa com um par de coelhos num ambiente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados por este par num ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e esse par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês, existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos + um par de recém-nascidos.

No início do terceiro mês, o par adulto terá produzido  novamente mais um par, enquanto que o par recém nascido terá completado um mês de vida e ainda não estará apto a reproduzir-se. Assim, no início do terceiro mês, existirão três pares de coelhos, sendo: um par adulto + um par com um mês de idade + um par recém nascido.

No início do quarto mês existirão dois pares adultos, sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou um mês, logo teremos cinco pares: dois pares adultos + um par com um mês + dois pares recém nascidos.

Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Obtém-se a seguinte sequência de números, a qual conta o número de pares de coelhos existentes ao longo de cada um dos meses desse ano:

Esta sequência, também chamada de sequência de Fibonacci, constrói-se de uma forma extremamente simples: cada número, exceptuando evidentemente os dois primeiros, é composto pela adição dos dois números precedentes.

Como é um número extraído da sequencia de Fibonacci, representa diretamente uma constante de crescimento.

O número áureo é retirado das sucessivas divisões a partir do terceiro número desta sucessão numérica pelos seus antecessores. Os valores de tais divisões ficam oscilando em volta do número de ouro, porém a cada nova divisão os valores tornam-se cada vez mais próximos de 1,618..., que é o valor da proporção áurea, ou seja os resultados destas divisões convergem para o número áureo.

Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um rectângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. De  novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do rectângulo anterior) e teremos um rectângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos rectângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Espiral de ouro:

Com um compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado.tendo em atenção o desenho, trace quartos de circunferências nos quadrados de lados L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

Leonardo da Vinci e Número de Ouro

Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos, bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. Leonardo representa bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de Matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência. O desenho conhecido por “Homem de Vitruvius”, ilustra a velha tese de Pitágórica segundo a qual “o homem é a medida de todas as coisa”. O texto que acompanha o desenho transmite-nos a idéia muito concreta de que cada secção do corpo humana é uma medida (percentagem) do todo.

Na pintura do renascimento destaca-se um dos quadros mais célebres de Leonardo da Vinci: a Mona Lisa, pintado por cerca de 1505, feito em madeira, 77 X 53 cm. Também contém o número de ouro, ou melhor, o retângulo de ouro em múltiplos locais.

Curiosidades

φ nos Animais:

População de abelhas: a proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.

Concha de Caramujo Nautilus: a proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras pra poder regular a profundidade de sua flutuação.

Phi está presente também nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.

φ nos Vegetais:

Semente de girassol: a proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de girassol é a razão áurea, o mesmo acontece nas pinhas e na margarida.

Achillea Ptarmica: Razão do crescimento de galhos.

Folhas de árvores: a proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore à medida que subimos de altura.

φ na Música:

O número de ouro está presente nas famosas sinfonias: Sinfonia n 5e a Sinfonia n9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach é que em seus solos curtos aparecem tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.

φ no Cinema:

Odiretor russo Sergei Eisenstein se utilizou o número de ouro no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.

φ nos Objetos Atuais:

Atualmente essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram “respeitar” a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um Cartão de Crédito, identidades, modelo da carta de condução, embalagens, alguns livros, jornais, uma foto revelada entre outros.

φ nos Efeitos:

Algumas das correntes místicas acreditam que objetos cujas dimensões sejam relacionadas a Phi, harmonizam-se com a glândula pineal, o que provocaria ou estimularia uma sensação de beleza e harmonia no ser humano.

φ na Literatura:

Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1, 618, o número de ouro.

Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada á Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro.

Virgílio em sua obra Eneida, construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.

φ na Arquitetura:

Edifícios projetados por Lê Corbuier, ou a sede das Nações Unidas contêm elementos arquitetônicos na forma de retângulo de ouro. Assim como obras como o Parthenon.

φ no Corpo Humano:

A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.

A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.

A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.

A medida do ombro á ponta do dedo e a medida do cotovelo á ponta do dedo.

O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.

A medida da dobra central até a ponta dividida e da segunda dobra até a ponta.

A medida do quadril ao chão e a medida do joelho ao chão.

Considere erros de medida da régua ou fita métrica, os valores serão sempre próximos ao número de ouro!

Conclusão

Com este estudo foi possível comprovar que realmente muitas coisas do nosso dia a dia contêm matemática, desde a arte, até grandiosas construções. Antigamente eram muito mais evidentes, e muito mais exploradas estas ligações com a matemática, porém mesmo hoje em dia podemos comprovar em alguns prédios, ou nas obras de arte, porém temos a natureza, que sempre independente do homem, terá esta ligação com a matemática.

Ainda pensando na natureza, temos em nosso próprio corpo, uma ligação eterna com a matemática, estabelecida através da proporção áurea, encontrada nas mais diversas partes do corpo, como demonstram Vitruvius e Leonardo da Vinci em seus estudos.

O número de ouro é considerado por muitos estudiosos um símbolo da harmonia. Surgiu da necessidade que os antigos tinham de utilizar a contagem como forma matemática para aplicá-las em seus negócios. Fibonacci deu uma grande contribuição à Geometria com a sua descoberta, a qual está relacionada com a solução do problema dos coelhos. Todos esses exemplos nos levam a perceber quão grande é a importância deste número que por este motivo foi chamado “de ouro”.

Com o nosso trabalho, pretendemos uma abordagem matemática do Número de Ouro. Tentámos mostrar algumas ocorrências do Número de Ouro em campos da actividade humana ao longo da História. Apresentámos uma breve perspectiva da influência de Fibonacci e Leonardo Da Vinci, nesta área e o celébre problemas dos coelhos.

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

Disciplina: Geometria I

Professora: Helena Maria Ludke

Acadêmicos: Andriele C. Biasio, Cassiano S. Puhl e Sabrina dos Santos

Caxias do Sul, junho de 2009.

Referências

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