Apostila Matemática Concurso Nível Médio

Apostila Matemática Concurso Nível Médio

(Parte 1 de 5)

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Sumário

Números Naturais ------------------------------------------- 03 Conjuntos numéricos: racionais e reais -------------------05 Divisibilidade ------------------------------------------------- 10 Números Primos --------------------------------------------- 12 Máximo Divisor Comum (mdc mmc) ----------------------13 Números Racionais ------------------------------------------ 15 Números Fracionários --------------------------------------- 16 Números Decimais ------------------------------------------- 21 Potenciação -------------------------------------------------- 23 Radiciação ---------------------------------------------------- 24 Razões e Proporções --------------------------------------- Média ---------------------------------------------------------- 25 Produtos Notáveis ------------------------------------------- 27 Divisão Proporcional ---------------------------------------- 28 Regra de Três: Simples e Composta -----------------------29 Porcentagens ------------------------------------------------- 31 Juros Simples ------------------------------------------------ 32 Juros Compostos --------------------------------------------- 34 Sistemas de Medidas ---------------------------------------- 35 Sistema Métrico Decimal ------------------------------------ 45 Equações do 1.º grau ----------------------------------------47 Equações do 2.º grau ---------------------------------------51 Sistemas ------------------------------------------------------ 56 Equações ----------------------------------------------------- 57 Progressão aritmética --------------------------------------- 62 Progressão geométrica ------------------------------------- 64 Noções de trigonometria ------------------------------------ 65 Teorema de Pitágoras --------------------------------------- 68 Funções exponenciais --------------------------------------- 69 Logaritmos --------------------------------------------------- Polinômios ---------------------------------------------------- Geometria ---------------------------------------------------- 71 Noções de probabilidade ------------------------------------ 73 Noções de estatísticas -------------------------------------- 76

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Editado por: Flávio Nascimento

Números Naturais

Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,12,13,14}, este conjunto é
a) 9 - 12 = ?b) 8 - 100 = ?

Este é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representado pela letra Z. Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N. infinito ou seja não tem fim. Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:

Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros. Vamos conhecer este conjunto:

O conjunto Z = {-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é

formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.

números negativo e positivos

No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros. Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos Reta Numérica Inteira

Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante.

Vamos comparar alguns números inteiros. a) -5 > -10, b) +8 > -1000, c) -1 > -200.0, d) -200 < 0, e) -234 < -1, f) +2 > -1, g) g) -9 < +1

Lembrete: 1º: Zero é maior que qualquer número negativo. 2º: Um é o maior número negativo. 3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.

Números opostos ou simétricos

Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos.

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Logo:

Polícia Rodoviária Federal4 - 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou simétrico de + 100.

Exemplos:

Adição e Subtração de Números Inteiros a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)

Lembrete:

Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo) e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma divida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.

Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)

Exemplos: b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -) d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -) f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -) h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)

Lembrete:

Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.

Exemplos:
a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32

Potenciação de Números Inteiros c) (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo)

Importante:

e) (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo) (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 2 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.

Exemplos:

Radiciação de Números Inteiros a) (lembre-se que 5 x 5 = 25) b)(lembre-se que 7 x 7 = 49)

c)(lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)

d)(observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz) e)(lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.

d)(lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)

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Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]

= 3 - 2 + 4 - 5 - 6

= 7 - 13

= - 6

Primeiro eliminamos os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como também tinha um sinal de menos todos os números saíram com os sinais trocados, somamos os positivo e o negativos b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}

= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}

= {- 5 - 8 + 15 - 3}

= - 5 - 8 + 15 - 3

= - 16 + 15

= - 1

Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois multiplicamos o resultado por 3, logo após eliminamos os colchetes, como antes deste tinha um sinal de mais, todo os números saíram sem trocar sinal, eliminamos também as chaves, observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior, juntamos positivo e negativos.

Conjuntos numéricos: racionais e reais

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12,}.
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6,}.

Conjunto Conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: Relação de pertinência

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 0 A , onde o símbolo 0significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que

A é subconjunto de B e indicamos isto por A d B. Notas:

a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A d A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (id A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).

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Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {φ , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

N = {0,1,2,3,4,5,6,}

Conjunto dos números naturais

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,}

Conjunto dos números inteiros Obs: é evidente que N d Z.

Conjunto dos números racionais

Q = {x; x = p/q com p 0 Z , q 0 Z e q … 0 }.

São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,3= 1/3, 7 =

Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero! 7/1, etc.

Notas:

a) é evidente que N d Z d Q.

Exemplo: 0,4= 4/9 _

b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.

Conjunto dos números irracionais I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais:

∏ = 3,1415926(número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu
2,01001000100001(dízima não periódica)
√ 3 = 1,732050807(raiz não exata).

diâmetro)

Conjunto dos números reais R = { x; x é racional ou x é irracional}.

Notas: a) é óbvio que N d Z d Q d R b) I d R c) I cQ = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

Intervalos numéricos

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.

Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

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INTERVALO FECHADO [p;q] = {x 0 R; p ≤ x ≤ q} inclui os limites p e q

INTERVALO ABERTO (p;q) = { x 0 R; p < x < q} exclui os limites p e q

INTERVALO FECHADO A ESQUERDA [p;q) = { x 0 R; p ≤ x < q} inclui p e exclui q

INTERVALO FECHADO À DIREIT (p;q] = {x 0 R; p < x ≤ q} exclui p e inclui q

INTERVALO SEMI-FECHAD [p;∞ ) = {x 0 R; x ≥ p} valores maiores ou iguais a p.

INTERVALO SEMI-FECHADO (- ∞ ; q] = { x 0 R; x ≤ q} valores menores ou iguais a q.

INTERVALO SEMI-ABERTO (-∞ ; q) = { x 0 R; x < q} valores menores do que q.

INTERVALO SEMI-ABERTO(p; ∞ ) = { x > p }valores maiores do que p.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -∞ ; + ∞ ).

Operações com conjuntos

União (c ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.

Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas: a) A c A = A b) A c φ = A c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A c U = U , onde U é o conjunto universo.

Interseção (1 ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.

Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas: a) A 1 A = A b) A 1 i = i c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades : P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)

P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva) P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção) P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)

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Obs: Se A 1 B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}.

Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.

Propriedades imediatas: a) A - φ = A b) φ - A = φ c) A - A = d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

Complementar de um conjunto

Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B d A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A . Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:

B' = {x; x ó B}. É óbvio, então, que:

a) B 1 B' = φ b) B 1 B' = U c) φ' = U d) U' = φ_

Partição de um conjunto

Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø .

b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8,}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do
conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8,}  {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6,

c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .

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Número de elementos da união de dois conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n(A 1 B) e o número de elementos da união A c B por n(A c B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)

Exercícios

1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)1

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