Implementação numérica pelo método dos volumes finitos

Implementação numérica pelo método dos volumes finitos

(Parte 1 de 2)

NOME:N.º:
Bruno Alexandre Roque85732
Guilherme Augusto de Oliveira85733

UBERLÂNDIA, 01 DE JULHO DE 2009

1.) Introdução03
2.) Descrição do Problema a ser estudado04
3.) Fundamentos Teóricos05
4.) Resultados09
5.) Conclusão12

1- Introdução

“Condução está relacionada ao transporte de energia em um meio devido ao gradiente de temperatura.” O mecanismo físico que proporciona esse transporte de energia é a movimentação aleatória de átomos, ou a interação molecular presente na matéria.

A metodologia analítica aplicada ao gradiente de temperatura pode ser utilizada, em certos casos, para efetuar soluções matemáticas exatas para problemas de condução bidimensional em regime estacionário. Muitas vezes utiliza-se da aproximação unidimensional, que é uma ótima maneira de se introduzir o estudante ao universo da transferência de calor. Assim, para corpos de geometria simples e condições de contorno convenientes, pode-se aplicar esse método com grande eficácia.

Mas, para alguns casos na engenharia, tal tipo de simplificação torna-se inaceitável, devido a geometrias complexas e condições de contorno adversas. Com isso, faz-se necessário fazer um estudo bidimensional mais aprofundado do problema, a fim de se buscar uma nova abordagem que solucione satisfatoriamente nossa necessidade.

Diante do constante avanço e facilitação do acesso à informática, a solução numérica se tornou uma alternativa com grande aplicabilidade. Hoje são conhecidos diversos métodos computacionais para a solução de problemas envolvendo gradientes de temperatura multidimensionais, como o método das diferenças finitas, elementos finitos e elementos de contorno. Neste trabalho, será desenvolvido o método das diferenças finitas para a solução do problema em questão.

2- Descrição do Problema a ser estudado

Considere o problema térmico de uma barragem de concreto exposta ao sol e meio ambiente, representado pela figura abaixo.

Figura 1 - Desenho esquemático do problema a ser estudado

Devem-se obter as temperaturas nos pontos assinalados, bem como o perfil de temperatura da barragem. O perfil de temperatura será exposto em um gráfico 3D, e a solução será validada através de um balanço de energia

3- Fundamentos Teóricos

O primeiro ponto de contraste entre a solução analítica e a solução numérica é o fato de a solução analítica permitir a obtenção da temperatura em qualquer ponto de interesse no meio, enquanto a solução numérica permite a obtenção da temperatura somente em pontos discretos.

Assim, para o uso de métodos numéricos, a primeira providência a se tomar é determinar tais pontos discretos. Para a obtenção destes pontos realiza-se a subdivisão do meio de interesse em pequenas regiões com um ponto de referência localizado no centro desta região, ponto que é comumente chamado de ponto nodal ou nó. O conjunto de nós é chamado de rede nodal ou malha.

O formato da região é escolhido de acordo com a aplicação e análise a ser feita, avaliando ainda a precisão numérica desejada, sendo que quanto maior o número de pontos nodais, mais precisa é a solução.

A tabela abaixo mostra de forma objetiva a diferença entre as soluções analítica e numérica: Tabela 1 – Diferenças entre as soluções analíticas e numéricas

A obtenção da malha é obtida da seguinte maneira:

Figura 2 - Obtenção da malha (Rede Nodal)

Para a obtenção das equações discretizadas, utiliza-se do método do balanço de energia:

Figura 3 – Região da rede nodal Aplicando o balanço de energia, obtemos as seguintes equações:

se ∆x =∆y é constante,como no caso deste relatório, então a formulação explícita para o nó m,n pode ser obtida como:

Neste trabalho não há calor gerado, então, simplificando a equação acima, obtém-se a seguinte expressão:

Aplicando tais métodos para o problema de estudo, temos a seguinte malha:

Figura 4 – Esquema da malha analisada e pontos marcados para a obtenção de temperaturas

Fazendo uso da teoria apresentada acima, tem-se para os pontos marcados a seguintes equações:

Nó 1 - Ponto no extremo da altura H, sujeito a convecção da água, do ar,radiação e condução T(i,j) =

Nó 2 - Pontos não extremos da altura H sujeitos a convecção da água condução em 2 direções T(i,j) =

(hag.dy.TAG + 0.5.k.T(i-1,j) + k.T(i,j+1) + 0.5.k.T(i+1,j))/ (hAG.dy + 2.k) Nó 3 - Ponto inferior da altura H da barragem , exposto a convecção da água e condução

Nó 5 - Ponto extremo entre a base L e a diagonal da barragem, exposto a radiação, convecção do ar e condução

Nó 6 - Pontos não extremos ao longo da diagonal da barragem, expostos a condução, radiação e convecção do ar

(k.T(i,j-1) + k.T(i+1,j) + qo.dy.sqrt(2) + hAR.dy.sqrt(2).TAR)/ (2.k + sqrt(2).hAR.dy) Nó 7 - Pontos internos da barragem, expostos a condução

4 - Resultados Inserindo tais equações no Matlab, têm-se os seguintes gráficos:

Figura 5 – Distribuição 2D de temperatura para uma malha 70 x 70 O gráfico da posição x pela temperatura T(x,y) é dado a seguir:

Figura 6 – Campo de temperatura ao longo de x

Finalmente, o gráfico 3D da temperatura:

Figura 7 – Gráfico 3D da temperatura na barragem

Com a implementação do campo de temperatura, nota-se que o ponto de maior temperatura é o nó 5, exposto a radiação , condução e convecção do ar. A temperatura ao longo da diagonal é de aproximadamente 50ºC, exceto nos pontos extremos (1 e 5). O ponto 1, apesar de estar exposto à radiação e a convecção do ar, tem a sua temperatura amenizada devido à troca de calor com a água, tendo uma temperatura em torno de 2.8ºC. Os pontos ao longo da altura da barragem têm uma temperatura próxima de 15.3ºC. Os pontos ao longo da parte isolada da barragem têm a sua temperatura aumentada conforme se afastam da altura H da barragem, devido não possuírem mais a convecção da água como auxilio para a diminuição da temperatura. Os pontos internos se distribuem entre 20 e 45ºC, tendo temperaturas maiores conforme os pontos se afastam da convecção do ar. Para conferir se os cálculos foram corretos, foi feito um balanço de energia, da seguinte forma:

EENTRA = ESAÍDA O calor que entra é por radiação, os que saem são pela convecção da água e do ar. Das equações abaixo, calcula-se o balanço de energia:

QRAD. =q’’O . A Então, tem-se:

QAG.+QAR. = QRAD. Como uma boa aproximação, calculou-se a temperatura média ao longo da diagonal, a temperatura média na altura H, para substituir tais valores no ∆T das equações acima. Os valores abaixo foram obtidos através dos seguintes comandos do Matlab: Tdiag = diag(T)

A = Tdiag([2:M-1],[1]) Tmd = mean(A) Taltura = T([2:M-1],[1]) Tmh = mean(Taltura) Tmd, representa a temperatura média na diagonal: Tmd = 49.1186

Tmh, representa a temperatura média na altura H: Tmh = 15.77023

Para calcular o índice de precisão, faz-se a seguinte relação Precisão = QRAD /( QAR + QAG) = 0.9935016

Portanto, através de tal aproximação, comprova-se a eficácia da distribuição de temperatura encontrada neste relatório.

5 – Conclusões

Por meio deste relatório, provou-se a validade do método dos volumes finitos, por meio do uso de malhas e redes nodais. A dupla encontrou algumas dificuldades para a dedução das equações para cada nó, bem como para a validação das mesmas através de um balanço de energia total. As temperaturas maiores concentraram-se onde há a radiação, como era esperado, bem como as menores localizaram-se mais próximo da parte da barragem em contato com a água.

6 – Anexo Segue o programa escrito no matlab, para o cálculo e desenvolvimento dos gráficos:

%DISCIPLINA - GEM 20 - TC1

%NOMESN.º
%BRUNO ALEXANDRE ROQUE 85732
%GUILHERME AUGUSTO DE OLIVEIRA 85733

clear all clc

L = 2;%Dimensão da base da barragem, isolada [m]
H = 2;%Dimensão da altura da barragem, exposta à convecção do

%Dados de entrada do problema água [m]

har = 30;%Coeficiente de Convecção do ar, na diagonal da barragem
Tar = 25;%Temperatura do ar, na diagonal da barragem [ºC]
hag = 150;%Coeficiente de Convecção da água, na altura da barragem
Tag = 15;%Temperatura da água, na altura da barragem [ºC]
qo = 800%Taxa de calor por área (radiação) que entra na diagonal
k = 0.6%Constante de condutividade térmica do concreto armado,

[W/m²K] [W/m²K] da represa [W/m²] (condução interior) [W/mK]

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