Apostila de Fisica - Ondas

Apostila de Fisica - Ondas

(Parte 1 de 7)

(notas baseadas no original http://plato.if.usp.br/1-2008/fep0112n/notas aulas.pdf do prof. F. Brandt - IF/USP)

Conteudo

1.1 Aula 11
1.2 Aula26
1.2.1 Deducao da equacao de ondas em uma corda6
1.2.2 Intensidade de uma onda9
1.3 Aula 310
1.3.1 Princıpio da superposicao1
1.3.2 Solucao geral de d’Alembert1
1.3.3 Condicoes de contorno simples12
1.4 Aula 416
1.4.1 Corda presa nas extremidades17
1.4.2 Uma extremidade presa e a outra solta21
1.5 Aula 523
1.5.1 A equacao de ondas e a velocidade do som23
1.5.2 Ondas de pressao e intensidade28
1.5.3 Ondas sonoras em colunas de ar30
1.6 Aula 631
1.6.1 Batimentos sonoros31
1.6.2 Efeito Doppler3
1.7 1a Lista de exercıcios36
1.8 2a Lista de exercıcios38

1 Fenomenos ondulatorios e som 1.1.1 Descrevendo o movimento de ondas transversais em uma corda 2 i

Capıtulo 1 Fenomenos ondulatorios e som

Ideias-chave: conceito de onda; ondas transversais e longitudinais; funcao de onda; ondas progressivas; ondas harmonicas.

O conceito de onda diz respeito a transmissao do movimento entre dois pontos distantes em um meio sem que haja transporte direto de materia de um desses pontos ao outro.

Como analogias, pensem na queda de uma fileira de dominos ou no movimento de uma ola em um estadio.

Exemplos de sistemas fısicos em que aparecem ondas sao: ondas na superfıcie da agua; ondas em uma corda; ondas em uma mola; ondas em uma membrana; ondas eletromagneticas; ondas sonoras; microondas; ondas de radio, ondas sısmicas, etc.

Assim, na definicao, o meio pode ser: a agua, uma membrana, uma corda, uma mola, o ar, o vacuo, rochas, etc.

Como caracterizar o movimento? O movimento se caracteriza, por exemplo, pela quantidade de momentum ~P e pela quantidade de energia E em suas mais variadas formas. Quem carrega momentum e energia? Som (dor no ouvido, vidro quebrado); onda do mar (forca da onda); corda (chicotada); luz (pincas opticas e caravelas solares), etc.

As partes que constituem o meio recebem e transmitem o movimento (perturbacao) entre suas vizinhancas (fenomeno local).

Podemos classificar as ondas de diversos modos. Um deles diz respeito as direcoes de propagacao e da perturbacao:

• onda longitudinal: perturbacao ao longo da direcao de propagacao da onda (ex. som, mola)

• onda transversal: perturbacao perpendicular a direcao de propagacao da onda (ex. pulso em uma corda,luz);

• combinacao dos dois.

2 Capıtulo 1 – Fenomenos ondulatorios e som

Existe um significado matematico preciso para o conceito de onda, de modo que, nem tudo o que denominamos informalmente de onda sera considerado onda em nosso estudo. Antes de vermos essa caracterizacao matematica, precisaremos dar algumas definicoes auxiliares. Para isso, exploraremos o caso simplificado de ondas transversais unidimensionais.

1.1.1 Descrevendo o movimento de ondas transversais em uma corda

Pense em uma corda do violao. Aplica-se um pulso a corda. Como caracterizar o movimento da corda? Podemos dar um numero (a frequencia do som gerado, por exemplo). Isso basta para a descricao fısica?

(desenhar a corda em t = 0) Como caracterizar o movimento subsequente?

A cada instante de tempo t a forma da corda define o que se denomina perfil. E comum chamarmos a funcao y(x,t) de onda (ou funcao de onda, ou ainda, campo).

Para descrever o perfil introduzimos eixos. Por exemplo, abaixo estao indicados quatro perfis diferentes de uma onda. Acompanhando a sequencia podemos perceber que se trata de um perfil de formato triangular que se move para a direita e cuja altura vai diminuindo.

Assim, y(x,0) e o perfil da corda em t = 0s; y(x,1s) e o perfil da corda em t = 1s; y(3m,1s) da o deslocamento da porcao da corda a 3m da origem no tempo igual a 1s.

Exemplo 1.1. Pulso em corda infinita:

Desenhe o perfil para t = 0s e t = 1s. Note que, a medida em que o tempo passa, o perfil se desloca para a direita. Qual a velocidade? Em 1s, se desloca 3cm; v = 3cm/s.

se movem como um todo para a direita, enquanto que ondas da forma y(x,t) = f(x + vt) (1.3) se movem como um todo para a esquerda. Dizemos se tratar de ondas progressivas. Um caso especial de onda progressiva sao as chamadas ondas harmonicas.

Exemplo 1.2. Ondas harmonicas Sao ondas da forma:

• Lembrar da definicao de radianos. • Lembrar que sen(x) = cos(x − π/2)).

• Ondas harmonicas se estendem por todo o espaco.

Note que uma onda harmonica tem a forma f(x − vt) pois

Assim, concluımos que a onda harmonica acima viaja com velocidade v = ω/k. Analisando o perfil de uma onda harmonica, tiramos as seguintes conclusoes:

• Em um instante de tempo fixo, o perfil da onda harmonica tem um padrao que se repete apos uma distancia

denominado comprimento de onda.

• Analisando apenas um trecho pequeno da corda (pintando um pedaco da corda com uma certa coordenada x), vemos que esse trecho tem um movimento periodico na direcao transversal com perıodo dado por :

denominado perıodo de onda. Usando essas relacoes podemos escrever:

4 Capıtulo 1 – Fenomenos ondulatorios e som onde ν e a frequencia da onda (o inverso do perıodo). A grandeza k e denominada numero de onda e ω e a frequencia angular da onda.

Finalmente, a quantidade:

kx − ωt + δ (1.1) e a fase da onda, sendo δ a constante de fase.

Um exemplo de onda harmonica, seria: Exemplo 1.3.

y(x,t) = sin(2x − t) , (1.12) onde x e y estao em centımetros e t em segundos.

Outro exemplo: Exemplo 1.4.

onde x e y estao em centımetros e t em segundos. Problema 1.1. Com relacao as duas ondas harmonicas exemplificadas:

1. Desenhe o perfil em t = 0s e t = 0,25s. 2. Qual o valor das quantidades: k,ω,v,λ,T,ν e δ?

Derivadas do perfil

Fixemos nossa atencao no ponto da corda com coordenada x fixa, vendo o que ocorre com o passar do tempo. Podemos, por exemplo, pintar o ponto de interesse na corda de uma cor diferente. Na figura abaixo, destacamos o ponto da corda com coordenada x = 2cm. Como a onda e transversal, a medida em que o pulso viaja horizontalmente o ponto marcado se desloca apenas na vertical.

No caso da oscilacao harmonica do exemplo (1.4), o movimento do ponto com x = 1cm e dado por:

y(1,t) = 2 cos(7π/2 − 6πt) . (1.14) Qual a velocidade do ponto destacado da corda no tempo t?

Notacao melhor: v(1,t) e, em geral:

Muita atencao para nao confundir essa velocidade transversal (na vertical) de um ponto da corda com a velocidade de propagacao da onda como um todo (na direcao horizontal).

Analogamente, podemos derivar mais uma vez para obter a aceleracao do ponto com coordenada x no tempo t:

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