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Apostila de Fisica - Ondas, Notas de estudo de Engenharia Civil

Apostila de Fisica - Ondas

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 10/04/2010

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Baixe Apostila de Fisica - Ondas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! NOTAS DE AULA DO CURSO ONDAS E FÍSICA MODERNA PROFESSOR: ANDRÉ BESSA (notas baseadas no original http://plato.if.usp.br/1-2008/fep0112n/notas aulas.pdf do prof. F. Brandt - IF/USP) 2 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som Existe um significado matemático preciso para o conceito de onda, de modo que, nem tudo o que denominamos informalmente de onda será considerado onda em nosso estudo. Antes de vermos essa caracterização matemática, precisaremos dar algumas definições auxiliares. Para isso, exploraremos o caso simplificado de ondas transversais unidimensionais. 1.1.1 Descrevendo o movimento de ondas transversais em uma corda Pense em uma corda do violão. Aplica-se um pulso à corda. Como caracterizar o movimento da corda? Podemos dar um número (a frequência do som gerado, por exemplo). Isso basta para a descrição f́ısica? (desenhar a corda em t = 0) Como caracterizar o movimento subsequente? A cada instante de tempo t a forma da corda define o que se denomina perfil. É comum chamarmos a função y(x, t) de onda (ou função de onda, ou ainda, campo). Para descrever o perfil introduzimos eixos. Por exemplo, abaixo estão indicados quatro perfis diferentes de uma onda. Acompanhando a sequência podemos perceber que se trata de um perfil de formato triangular que se move para a direita e cuja altura vai diminuindo. -4 -2 2 4 6 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 -4 -2 2 4 6 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 -4 -2 2 4 6 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 -4 -2 2 4 6 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Assim, y(x, 0) é o perfil da corda em t = 0s; y(x, 1s) é o perfil da corda em t = 1s; y(3m, 1s) dá o deslocamento da porção da corda a 3m da origem no tempo igual a 1s. Exemplo 1.1. Pulso em corda infinita: y(x, t) = 1 1 + (x − 3t)2 , y, x em cm e t em s. (1.1) Desenhe o perfil para t = 0s e t = 1s. Note que, à medida em que o tempo passa, o perfil se desloca para a direita. Qual a velocidade? Em 1s, se desloca 3cm; v = 3cm/s. Ondas tais que y(x, t) = f(x − vt) (1.2) 1.1 Aula 1 3 se movem como um todo para a direita, enquanto que ondas da forma y(x, t) = f(x + vt) (1.3) se movem como um todo para a esquerda. Dizemos se tratar de ondas progressivas. Um caso especial de onda progressiva são as chamadas ondas harmônicas. Exemplo 1.2. Ondas harmônicas São ondas da forma: y(x, t) = A cos (kx − ωt + δ) (1.4) • Lembrar da definição de radianos. • Lembrar que sen(x) = cos(x − π/2)). • Ondas harmônicas se estendem por todo o espaço. Note que uma onda harmônica tem a forma f(x − vt) pois A cos (kx − ωt + δ) = A cos ( k{x − ω k t} + δ ) (1.5) = f(x − vt) (1.6) para f(z) = A cos (kz + δ) . (1.7) Assim, conclúımos que a onda harmônica acima viaja com velocidade v = ω/k. Analisando o perfil de uma onda harmônica, tiramos as seguintes conclusões: • Em um instante de tempo fixo, o perfil da onda harmônica tem um padrão que se repete após uma distância λ = 2π k (1.8) denominado comprimento de onda. • Analisando apenas um trecho pequeno da corda (pintando um pedaço da corda com uma certa coordenada x), vemos que esse trecho tem um movimento periódico na direção transversal com peŕıodo dado por : T = 2π ω (1.9) denominado peŕıodo de onda. Usando essas relações podemos escrever: v = ω k = λ T = λ ν (1.10) 4 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som onde ν é a frequência da onda (o inverso do peŕıodo). A grandeza k é denomi- nada número de onda e ω é a frequência angular da onda. Finalmente, a quantidade: kx − ωt + δ (1.11) é a fase da onda, sendo δ a constante de fase. Um exemplo de onda harmônica, seria: Exemplo 1.3. y(x, t) = sin (2x − t) , (1.12) onde x e y estão em cent́ımetros e t em segundos. Outro exemplo: Exemplo 1.4. y(x, t) = 2 cos (3π x − 6πt + π/2) . (1.13) onde x e y estão em cent́ımetros e t em segundos. Problema 1.1. Com relação às duas ondas harmônicas exemplificadas: 1. Desenhe o perfil em t = 0s e t = 0, 25s. 2. Qual o valor das quantidades: k, ω, v, λ, T, ν e δ? Derivadas do perfil Fixemos nossa atenção no ponto da corda com coordenada x fixa, vendo o que ocorre com o passar do tempo. Podemos, por exemplo, pintar o ponto de interesse na corda de uma cor diferente. Na figura abaixo, destacamos o ponto da corda com coordenada x = 2cm. Como a onda é transversal, à medida em que o pulso viaja horizontalmente o ponto marcado se desloca apenas na vertical. -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Aula2 7 Figura 1.1: Detalhe das forças que agem sobre um pequeno trecho da corda com tamanho ∆x e massa ∆m. Assim, podemos reescrever a equação (1.20) como: FR = T ∂y ∂x (x + ∆x) − T ∂y ∂x (x) (1.23) Note que podemos estimar quanto vale a inclinação ∂y/∂x em x+∆x a partir de seu valor em x. Isso nos remete ao conceito de derivada. Temos: ∂y ∂x (x + δx) ≈ ∂y ∂x (x) + ∂2y ∂x2 (x)∆x . (1.24) Usando essa expressão em (1.23), obtemos: FR = T ∂2y ∂x2 (x)∆x . (1.25) Até aqui, não usamos nenhuma lei da F́ısica para o movimento da corda. Estamos apenas operando com expressões matemáticas do movimento da corda: é a cinemática da corda. Sabemos pela 2a Lei de Newton que: FR = ∆m ∂2y ∂t2 (x) , (1.26) onde ∆m é a massa do pedaço da corda de tamanho ∆x. Como medir a massa de um pedaço de corda? Se a corda for homogênea, uniforme, podemos medir ∆m da 8 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som seguinte maneira: medimos o comprimento total da corda (L); medimos, com uma balança, a massa da corda toda (M); como o pedaço que queremos tem tamanho ∆x, então, usando a lei de proporções, obtemos: ∆m = M L ∆x . (1.27) Assim: µ∆x ∂2y ∂t2 (x) = T ∂2y ∂x2 (x)∆x , (1.28) onde µ = M/L é a densidade linear de massa da corda. Simplificando a equação (1.28), obtemos: ∂2y ∂t2 (x) − T µ ∂2y ∂x2 (x) = 0 . (1.29) Precisamos agora entender o significado de uma equação como a (1.29). Ela contém, sob as hipóteses feitas, as exigências para que cada pedaço da corda se mova segundo a 2a Lei de Newton do movimento. A universalidade das leis de movimento quer dizer que as leis da natureza são obedecidas a todo instante desde o macro até o microcosmo. Evidentemente, não conhecemos as leis do movimento para toda essas escalas. As Leis de Newton, no entanto, são uma excelente aproximação para objetos macroscópicos. Quando os fenômenos são tais que modificam a estrutura atômica dos componentes do sistema, a Mecânica Newtoniana tem de ser substitúıda pela Mecânica Quântica que é uma generalização da primeira. Para ondas em uma corda, porém, podemos dizer que as Leis de Newton são exatas. Vimos no exerćıcio (1.3) que uma onda harmônica satisfaz uma equação idêntica a (1.29) com v = √ T/µ . (1.30) Mostremos agora que essa relação é válida para qualquer onda progressiva da forma y(x, t) = f(x−vt). Para demonstrar isso, chamemos a combinação x−vt de z. Assim podemos pensar em f como função de uma única variável z. Temos: ∂f ∂t = df dz ∂z ∂t = −v df dz (1.31) e ∂2f ∂t2 = ∂ ∂t ( −v df dz ) = −v ∂ ∂t ( df dz ) (1.32) = −v d dz ( df dz ) ∂z ∂t (1.33) = v2 ∂2f ∂z2 . (1.34) 1.2 Aula2 9 Analogamente, ∂f ∂x = df dz ∂z ∂x = df dz (1.35) e ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ( df dz ) = ∂2f ∂z2 . (1.36) Portanto, segue que ∂2f ∂t2 (x) − 1 v2 ∂2f ∂x2 (x) = 0 . (1.37) É evidente que o mesmo vale para y(x, t) = f(x + vt). É importante notar que a velocidade de todas progressivas na corda (sob a mesma tensão) é a mesma! Essa é uma informação importante e tem validade ampla. Por exemplo, sob uma mesma condição atmosférica, a velocidade de todos as ondas so- noras é a mesma (velocidade do som). Não conseguimos fazer nossa voz viajar mais rápido gritando mais alto, por exemplo! Antes de pensarmos no problema matemático de como resolver a equação de ondas, vamos analisar um aspecto da dinâmica da corda. 1.2.2 Intensidade de uma onda Como medir a energia cinética que um pedaço da corda recebe do pedaço vizinho? Pensemos em uma onda viajando para a direita. Analisando a Fig. 1.2.1, vimos que a força que o pedaço vizinho à direita exerce sobre o trecho marcado é: Fy = −T ∂y ∂x . (1.38) A potência transmitida (P = Fv) será P = −T ∂y ∂x ∂y ∂t . (1.39) Para a ondas da forma y(x, t) = f(x − vt) temos P = −Tv ( dy dz )2 , (1.40) onde z = x − vt. Para a onda harmônica [ver Eq. (1.4)], teremos: P = TvA2k2 sen2(kx − ωt + δ) . (1.41) A potência média transferida a cada peŕıodo será: P (x, t) = 1 T ∫ t+T t P (x, t′)dt′ = TvA2k2 2 (1.42) 12 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som 1.3.3 Condições de contorno simples De posse da solução geral de d’Alembert podemos tentar resolver a equação de ondas sujeita a condições de contorno ou condições iniciais. Vamos começar com a condição de extremidade fixa, como no caso de cordas de um violão. Extremidade fixa – Que ocorre com um pulso se propagando quando ele encontra uma extremidade fixa da corda? Para ilustrar, considere a figura abaixo: Digamos que a extremidade presa da corda tem coordenada x = 0. Como o ponto x = 0 não se move, temos a condição: y(0, t) = 0 . (1.49) Usando a solução geral (1.48), isso implica em: f(−vt) = −g(vt) . (1.50) Note bem o tipo de relação que é (1.50). Ela nos diz que, não importa o valor de v e de t, teremos sempre a relação (1.50) válida. Assim, se u é o argumento da função f , então f(u) = −g(−u), não importa o valor de u. Se o argumento de f é u = x − vt, teremos: f(x − vt) = −g(−(x − vt)) = −g(−x + vt) . (1.51) Substituindo isso na solução geral, obtemos: y(x, t) = −g(−x + vt) + g(x + vt) . (1.52) Questão: a onda g(−x+vt) se move para a direita ou para a esquerda? Se move para a direita, pois g(−x + vt) = g(−(x − vt)). Por hipótese conhecemos a forma do pulso progressivo que originalmente (antes de atingir a extremidade) se movia para a esquerda, ou seja, conheciamos a função g. Portanto, conclúımos que, matematicamente, a solução (1.52) representa dois pulsos (um invertido com relação ao outro) se propagando em sentidos opostos. Isso inclui um pulso vindo da esquerda para a direita, na região x < 0, antes da chegada em x = 0. Quando os dois pulsos se encontram, em x = 0, temos y(0, t) = 0. Posteriormente, o pulso da direita para a esquerda “continua” se propagando para a região x < 0 e o pulso da esquerda para a direita continua seu trajeto para a direita. Naturalmente, a região x < 0 não existe fisicamente. 1.3 Aula 3 13 Vemos que uma caracteŕıstica das cordas com extremidade fixa é que o pulso re- fletido vem invertido. Isso ocorre porque o suporte que está fixando a corda em x = 0 aplica uma força de reaçãao à corda que é igual e oposta (terceira lei de Newton) à força aplicada pela corda. Extremidade livre – Que ocorre agora com um pulso se propagando quando ele en- contra uma extremidade livre da corda (como um chicote)? Para ilustrar, considere a figura abaixo: Note que, como a corda está solta na extremidade (em x=0), não há mais a reação da parede. A força em x = 0 deve ser nula. Em vista de (1.20) temos: ∂y ∂x (0, t) = 0 . (1.53) Usando a solução geral, essa condição se traduz em1: f ′(−vt) = −g′(vt) , (1.54) isto é, f ′(u) = −g′(−u). Essa condição é satisfeita por f(u) = g(−u). Assim, temos: f(x − vt) = g(−x + vt) e: y(x, t) = g(−x + vt) + g(x + vt) . (1.55) Agora temos dois pulsos não invertidos. O pulso é apenas refletido na parede. Ponto de junção – Considere agora uma corda com densidade µ1 para x < 0 e µ2 para x > 0, conforme a figura abaixo: 1Usando a notação f ′(u) = df/du 14 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som A tensão em toda a corda é T . Suponhamos que se produza inicialmente uma pulso progressivo para a direita com a forma y1(x, t) = f(x − v1t) para x < 0 . (1.56) Para ser solução de (1.29) deve-se ter v1 = √ T/µ1. Ao atingir o ponto de junção, teremos, em geral, uma onda refletida: yr(x, t) = g(x + v1t) para x < 0 . (1.57) e uma onda transmitida: yt(x, t) = h(x − v2t) para x < 0 , (1.58) como indica a figura: Já vimos que é preciso que v2 = √ T/µ2 para que a onda seja solução na região x < 0. Assim, se propagando para a esquerda, teremos: ye(x, t) = f(x − v1t) + g(x + v1t) , (1.59) e para a direita apenas: yd(x, t) = h(x − v2t) . (1.60) Que condições de contorno caracterizam um ponto de junção? Pelo fato de as duas cordas estarem unidas em x = 0, devemos ter: ye(0, t) = yd(0, t) . (1.61) Dizemos se tratar de uma condição de continuidade na corda. Outra condição vem do fato de que a força sobre um pequeno trecho de corda de tamanho ∆x em cima da junção deve ir a zero quando ∆x vai a zero. Temos (ver (1.20) ): T ( ∂ye ∂x − ∂yd ∂x ) −→ 0 (1.62) em x = 0. 1.4 Aula 4 17 1.4.1 Corda presa nas extremidades Essa situação é t́ıpica dos instrumentos de corda. Dessa vez, no lugar de admitir um pulso incidente conhecido (e estudar o comportamento junto a uma extremidade), vamos procurar por todas as ondas compat́ıveis com a condição de a corda estar presa nas extremidades. Seja L o comprimento da corda. Assim, admitimos que a corda está presa em x = 0 e em x = L (ver figura). Temos que impor sobre a solução geral (1.48) as seguintes condições: y(0, t) = 0 e y(L, t) = 0 . (1.79) Impondo essas relações sobre a solução geral (1.48), decorre que: f(−vt) = −g(vt) e f(−vt + L) = −g(vt + L) . (1.80) Da primeira, obtemos que f(u) = −g(−u). Assim, se conhecermos f podemos obter g. Da segunda igualdade em (1.80) vemos que f(u + L) = −g(−u + L). Portanto, f(u + 2L) = f((u + L) + L) − g(−(u + L) + L) = −g(−u) = f(u) . (1.81) Portanto, f(u) = f(u + 2L), isto é, f é uma função periódica com peŕıodo igual a 2L ou 2L/2, 2L/3, etc. Conclúımos que: y(x, t) = f(x − vt) − f(−x − vt) com f(u) = f(u + 2L) (1.82) é a solução geral que satisfaz a condição de corda presa em x = 0 e x = L. Exemplo 1.7. Os primeiros exemplos de função periódica que vêm à mente são as funções trigonométricas f(u) = sen(ku) ou f(u) = cos(ku). Para terem peŕıodo 2L/n, devemos ter k = nπ L , n = 1, 2, 3 . . . . (1.83) É conveniente usar a notação kn = nπ/L, para lembrar que o número de onda kn é obtido a partir da quantidade π/L multiplicando-a por n. Assim, para cada n, a função: yn(x, t) = sin(kn(x − vt)) − sin(kn(−x − vt)) = 2 sen(knx) cos(ωnt) (1.84) 18 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som é um exemplo de solução (verifique). Note que ωn = knv. A onda yn é do tipo estacionária (ver exemplo 1.47). Tomando o cosseno, teŕıamos outras soluções: yn(x, t) = cos(kn(x − vt)) − cos(kn(−x − vt)) = 2 sen(knx) sen(ωnt) . (1.85) Também yn é estacionária. É comum nos referirmos à solução com número de onda kn como o n-ésimo modo normal da corda. O comprimento de onda associado ao modo kn é: λn = 2π kn = 2L n . (1.86) Há portanto uma relação entre o comprimento de onda de cada modo e o compri- mento da corda. Por exemplo, o modo normal n = 1, modo fundamental, possui um comprimento de onda igual ao dobro do comprimento da corda. Nas figuras abaixo são mostradas as configurações da corda correspondentes aos quatro primeiros modos. A frequência mais baixa é denominada frequência fundamental. Os demais modos são chamados de primeiro harmônico, segundo harmônico, etc. Costuma-se atribuir a Pitágoras as primeiras investigações sobre a relação entre o comprimento da corda e a frequência que ela produz. Ele teria investigado a relação entre a frequência (tom musical produzido) e o comprimento, tensão e densidade da corda. Essa talvez tenha sido uma das primeiras conexões do mundo f́ısico e sensorial com a matemática, fora do contexto da geometria. Em 1634 Marin Mersenne publicou o primeiro estudo sistemático sobre o assunto, na obra entitulada “Harmonie Universelle”. 1.4 Aula 4 19 Das relação ωn = knv e v = √ T/µ podemos expressar as frequências2 que podem ser produzidas por uma corda presa nas extremidades de uma corda com tensão T , densidade µ e comprimento L: νn = ωn 2π = knv 2π = nv 2l = n 2l √ T µ . (1.87) Por exemplo, cordas mais longas produzem sons mais graves (baixas frequências). Cordas “magras” (µ pequeno) produzem sons mais agudos. Quando tensionamos uma corda, seu som torna-se mais agudo. Todas essas informações estão condensadas na relação acima. É uma bela fórmula! Podemos gerar mais soluções tomando combinações lineares de yn e yn. Por exem- plo: s10(x, t) = 10 ∑ n=1 αnyn(x, t) + βnyn(x, t) = 2 10 ∑ n=1 sen(knx) [αn cos(ωnt) + βn sin(ωnt)] (1.88) também é uma solução. Geramos todas essas soluções do exemplo 1.7 com senos ou cossenos, mas é claro que qualquer outra função satisfazendo f(u) = f(u + 2L) levaria a uma solução. Ajuste de condições iniciais Vimos que há infinitas soluções para o problema da corda com comprimento L e extremidades fixas. Basta escolher uma função periódica f . Para que o problema fique mais bem definido (isto é, para buscar uma caracterização completa, única, do movimento da corda) podemos exigir que o perfil da corda em um certo instante de tempo tenha uma certa forma. Por exemplo, podemos impor a condição inicial: y(x, 0) = x(L − x). (1.89) Note que, para ser consistente, o perfil inicial da corda tem que satisfazer as condições de contorno do problema (no caso [ver (1.79)], se anular em x = 0 e x = L). Será que alguma solução exibida no exemplo 1.7 satisfaz a condição inicial (1.89)? As funções yn são tais que yn(x, 0) = 2 sen(knx), logo, não serve. O mesmo se passa com yn, pois: yn(x, 0) = 0. O que dizer de s10 dada em (1.88)? Teremos: s10(x, 0) = 2 10 ∑ n=1 αn sen(knx) (1.90) = 2 10 ∑ n=1 αn sen (nπx L ) . (1.91) 2Inicialmente na sala de aula, denotamos a frequência pela letra f , mas, para evitar confusão com o śımbolo genérico de função, vamos passar a representar as frequências pela letra grega ν. Essa notação já foi utilizada nestas notas. 22 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som x e t, é que ambos os membros sejam iguais a uma constante. Para que a soluçao seja oscilatória, esta constante tem que ser negativa. Escrevemos assim: 1 v2 1 B(t) d2B dt2 = 1 A(x) d2A dx2 (t) = −k2 . (1.104) Isso nos leva ao par de equações: d2A dx2 = −k2 A(x) (1.105) e d2B dt2 = −ω2 B(t) (1.106) (usamos que ω = kv). Já nos deparamos com equações como essa no problema de forças de mola: F (x) = −kx, sendo F (x) = m(d2x/dt2). A solução é: A(x) = C cos(kx) + D sen(kx) (1.107) e B(t) = E cos(ωt) + F sen(ωt) , (1.108) onde C,D,E e F são constantes quaisquer. Portanto, a solução completa é: y(x, t) = (C cos(kx) + D sen(kx)) (E cos(ωt) + F sen(ωt)) (1.109) que pode ser posta na forma (verifique): y(x, t) = (C cos(kx) + D sen(kx)) cos(ωt + δ) . (1.110) Essa expressão é útil como ponto de partida para estudar ondas em uma corda com condições de contorno nas extremidades. Para o caso em questão, a primeira condição em (1.99) produz: C cos(ωt + δ) = 0 ,∀t ⇒ C = 0, (1.111) enquanto que a segunda nos dá: kD cos(kL) cos(ωt + δ) = 0 ,∀t , (1.112) que implica em: k = ( n + 1 2 ) π L , n = 1, 2, 3, . . . (1.113) (comparar com (1.83)). O comprimento de onda associado ao modo kn = (n+1/2)π/L é: λn = 4L 2n + 1 . (1.114) Portanto, conforme a corda esteja com as extremidades presas ou uma presa e outra solta, os posśıveis comprimentos de ondas das ondas estacionárias da corda mudam. Veremos que, no caso de ondas em um tubo de flauta, o fato de o tubo ter a extremidade fechada ou aberta altera as notas posśıveis de serem produzidas. Como no caso da corda com extremidades fixas, aqui também podemos usar o Teorema de Fourier para impor condições iniciais sobre a onda e sua derivada. 1.5 Aula 5 23 1.5 Aula 5 Idéias-chave: ondas sonoras; equação de ondas; processos isotérmicos e adiabáticos; decibel. 1.5.1 A equação de ondas e a velocidade do som Por meio dos sons podemos enviar informações através do ar sem que haja transporte direto de matéria: ao falarmos, o som não não se comporta como um punhado de ar que sai da boca do emissor e atinge o t́ımpano do receptor. Apenas o movimento produzido em nossas cordas vocais se propaga pelo ar. Assim, o som se encaixa na descrição qualitativa de onda. E quantitativamente? Será que as ondas sonoras satisfazem uma equação análoga à equação de ondas em uma corda (ver Eq. (1.29))? Uma corda esticada ficava caracterizada pela tensão a que estava submetida, pela sua densidade de massa e por alguma informação geométrica (ter comprimento L, estar presa na origem, etc). O movimento estava associado a uma função y(x, t) que dava o deslocamento transversal de um ponto da corda com coordenada x no instante t. Como caracterizar o movimento do ar quando uma onda sonora se propaga? Precisamos entender o tipo de deslocamento sofrido pelo ar. É conveniente pensar na maneira como um diapasão tradicional produz som: a vibração periódica de suas hastes acaba por criar zonas de compressão e rarefação no ar, conforme sugere a figura abaixo: Em palavras, a propagação se dá da seguinte maneira: em seu movimento vibratório, a haste comprime o ar (na ida) ou cria uma zona de rarefação (na volta); quando comprimido, o ar aumenta de pressão; quando rarefeito, a pressão diminui. A variação da pressão nessa região rompe o equiĺıbrio local com as camadas de ar vizinhas: quando a pressão aumenta, a vizinhança tende a ser comprimida; quando a pressão diminui, a vizinhança tende a se expandir. O efeito dessa dinâmica é a transmissão do movimento de uma camada de ar para a vizinha, dessa última para a vizinha seguinte e assim por diante. O movimento se propaga: temos uma onda. Essa análise que foi feita nos servirá como guia para uma descrição matemática mais detalhada. Através de uma análise quantitativa poderemos, como no caso corda, obter uma expressão para a velocidade com a qual a propagação se dá. 24 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som Dá para perceber que a direção da perturbação será a mesma direção de pro- pagação: vimos que essa caracteŕıstica situa o som como uma onda longitudinal. Na ausência da perturbação sonora, o ar preenche o espaço uniformemente. A pressão e a densidade em todos os pontos é a mesma (valores de equiĺıbrio). Nessas circunstâncias, atribúımos a cada pequena região de ar uma coordenada que indica o local que ela ocupa com relação a um dado sistema de coordenadas. Note que, em prinćıpio, a posição no espaço de cada região terá que ser indicada por um vetor ~x, em vez de um número. Entretanto, podemos simplificar a notação se nos concentrarmos na reta que une a fonte (emissor) ao receptor: nesse caso, podemos indicar a posição de uma região usando os números de uma régua, como indica a figura abaixo. Vamos agora nos deter em uma pequena porção de ar. Digamos que, no equiĺıbrio (quando nem comprimida nem expandida), a porção de ar tenha ińıcio na coordenada x e fim na coordenada x + ∆x, como indica a figura: Essa porção de ar ciĺındrica é como uma sanfona que pode se contrair ou se expandir. Se A é a área perpendicular ao cilindro da figura anterior, o volume dessa sanfona ciĺındrica é ∆V0 = A∆x (volume de equiĺıbrio). Digamos que em um instante t a pequena sanfona de ar esteja comprimida, como indicado na figura abaixo. Suas extremidades se aproximam: a extremidade com coordenada x se desloca em u(x) para a direita: x −→ x + u(x) com u(x) > 0 , (1.115) enquanto que a coordenada x + ∆x se desloca u(x + ∆x) para a esquerda: x + ∆x −→ (x + ∆x) + u(x + ∆x) com u(x + ∆x) < 0 , (1.116) (acompanhe na figura). Como essa é a configuração no instante t, é razoável escrever os deslocamentos como u(x, t) e u(x + ∆x, t), para ficar claro o instante de tempo. 1.5 Aula 5 27 pois P e p diferem por uma constante. Agora finalmente vamos utilizar as leis da dinâmica. A 2a Lei de Newton garante que: ∆m ∂2u ∂t2 = FR = −∆V0 ∂P ∂x (x) . (1.131) Se a densidade de equiĺıbrio do ar é ρ0, a massa de ar contida na pequena sanfona de volume de equiĺıbrio ∆V0 é ∆m = ρ0 ∆V , de forma que: ρ0 ∂2u ∂t2 = −∂p ∂x (x) . (1.132) Usando a relação (1.140) chegamos a : ρ0 ∂2u ∂t2 = P0 ∂2u ∂x2 , (1.133) de forma que: 1 v2 ∂2u ∂t2 − ∂ 2u ∂x2 = 0 , (1.134) que é a equação da onda para os deslocamentos u(x, t). A velocidade de propagação da ondas progressivas é v = √ P0 ρ0 . (1.135) Nas condições normais de temperatura e pressão (P0 = 1atm = 1, 013 × 105N/m2, T = 273K) a densidade do ar é ρ0 = 1, 293 Kg/m 3. A velocidade correspondente é v = 280m/s. Esse valor é cerca de 1,2 vezes menor que o valor medido (≈ 332m/s). Qual das aproximações que fizemos foi a mais grosseira? Admitir a transmissão do movimento no ar como um processo isotérmico. Na prática, processos isotérmicos são lentos; a transmissão precisa de um tempo para que a temperatura das partes envol- vidas convirjam para um mesmo valor (como um termômetro que precisa ficar junto ao corpo por alguns segundos). Nas ondas sonoras, as trocas são, antes, adiabáticas, ou seja, não envolvem troca de calor, pela rapidez como se processam. Num processo adiabático a relação (1.140) tem que ser substitúıda por: p(x, t) = P (x, t) − P0 = −γ P0 ∂u ∂x , (1.136) onde γ é a constante adiabática do ar (γ ≈ 1, 4). Levando em conta essa correção, ontemos: v = √ γ P0 ρ0 ≈ 332m/s , (1.137) em excelente acordo com o valor medido. 28 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som Tal como no caso da corda, não podemos fazer as ondas sonoras viajarem mais rápido ou mais devagar mudando a maneira como a fonte (haste do diapasão) vibra. A velocidade do som 332m/s é uma propriedade do meio (ar em equiĺıbrio nas CNTP). A velocidade será outra para outros meios. Por exemplo, para a água, temos v ≈ 1.483m/s. Para sólidos o valor t́ıpico é v ≈ 3.000m/s. As transmissão do movimento é mais efetiva em ĺıquidos e sólidos do que em gases. A velocidade do som muda também com a temperatura. Reflita como se dá essa dependência. A maneira como fazemos vibrar a fonte determina a frequência da onda resultante. Pode-se mostrar, por exemplo, que um bom diapasão dá origem a uma onda muito próxima de uma harmônica (ver Eq. (1.4)): u(x, t) = U cos (kx − ωt + δ) . (1.138) Uma onda de diapasão, harmônica e com frequência ν = ω/2π soa em nossos ouvidos como uma nota musical pura. A frequência corresponde ao tom escutado. Quanto mais alta a frequência, mais agudo o som. Para sons aud́ıveis, ν varia entre 20Hz a 20KHz. A faixa de comprimento de onda (λ = v/ν) correspondente vai de ≈ 17m a 1, 7cm. Assim, o comprimento das ondas sonoras é da mesma ordem de grandeza de dimensões macroscópicas t́ıpicas. Isso dá origem a efeitos e aplicações próprios às ondas sonoras. Notem que todas as soluções constrúıdas para a corda poderão ser utilizadas aqui; teremos ondas progressivas, estacionárias, teremos a solução geral de d’Alembert, etc. 1.5.2 Ondas de pressão e intensidade Outra consideração importante é que, associada a uma onda de deslocamento u(x, t) há uma onda de pressão p(x, t). De fato, usando (1.136) chegamos em: 1 v2 ∂2p ∂t2 − ∂ 2p ∂x2 = 0 . (1.139) Por exemplo, se u(x, t) = U cos (kx − ωt + δ), então: p(x, t) = −γ P0 ∂u ∂x = P sen(kx − ωt + δ) , (1.140) onde P = γP0U = ρ0v2kU é a amplitude de pressão associada à amplitude de deslo- camento U . Exemplo 1.8. Consideremos o caso particular em que u(x, t) = 10−6 cos(2, 65π(x −332t)). A frequência dessa onda é ≈ 440Hz (verifique!) que corresponde à nota lá da escala média do piano. A onda de pressão associada é (em atm) p(x, t) = 3, 71 × 10−6 sen(2, 65π(x−332t)). A figura a seguir compara um trecho do perfil das duas ondas (fora de escala) em um dado instante. Analise o que ocorre com a porção de ar indicada em verde na figura à medida em que as ondas se desloca para a direita. 1.5 Aula 5 29 compressão expansão compressão expansão . . . u(x,t) p(x,t) x x Para calcular a intensidade da onda sonora de pressão, notemos que a força que a porção ciĺındrica de área transversal A exerce sobre a porção vizinha é: F (x, t) = p(x, t)A = PA sen(kx − ωt + δ) (1.141) e a potência é, então: F ∂u ∂t = ωAPU sen2(kx − ωt + δ) . (1.142) A intensidade da onda sonora é a potência média (sobre um peŕıodo da onda) dividida pela área. Obtemos: I = 1 2 ωPU = 1 2 ρ0vω 2U2 = 1 2 P2 ρ0v . (1.143) Como no caso da corda, a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude da onda. Note que, em termos da amplitude de pressão, a intensidade independe da frequência. Isso é conveniente para compararmos a potência de sons de tonalidades diferentes. O limiar de audibilidade I0 corresponde à intensidade do som mais fraco que pode ser ouvido. Seu valor depende da frequência. Para ν = 103 Hz vale I0 = 10 −12W/m2. O limiar de sensação dolorosa Im é a intensidade máxima que nosso ouvido é capaz de tolerar. Para ν = 103 Hz, Im = 1W/m 2. Na prática se utiliza o ńıvel de intensidade sonora (α), definido por: α = 10 log I/I0 , (1.144) cuja unidade é o decibel (db). A figura seguinte mostra as curvas de Fletcher-Munson para os limites t́ıpicos de audibilidade do ouvido humano. 32 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som mos ter ω1 k1 = ω2 k2 = v. (1.148) De (1.147) e (1.148), obtemos que: ∆k = k1 − k2 ≪ k1, k2 . (1.149) A soma das duas ondas é: y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A [cos(k1x − ω1t) + cos(k1x − ω1t)] . (1.150) Vamos reescrever A cos(k1x − ω1t) como A cos [( k + ∆k 2 ) x − ( ω + ∆ω 2 ) t ] (1.151) e A cos(k2x − ω2t) como A cos [( k − ∆k 2 ) x − ( ω − ∆ω 2 ) t ] , (1.152) onde k = (k1 + k2)/2 e ω = (ω1 + ω2)/2. Assim, usando identidades trigonométricas para cos(a − b), obtemos: y(x, t) = a(x, t) cos(kx − ωt) , (1.153) onde a(x, t) = 2A cos ( ∆k 2 x − ∆ω 2 t ) . (1.154) Como deve soar tocar duas notas harmônicas simultaneamente? Ou seja, qual a sensação sonora de (1.153)? Depende. Se as frequências forem muito diferentes, ouvimos dois sons independentes. Esse som pode ser agradável ou não (dependendo do que?). Se as frequências forem próximas (que é a condição para haver os batimentos), uma outra sensação surge: ouvimos uma única nota, porém tremulante, com máximos e mı́nimos de intensidade. Para obter (1.153) não utilizamos que as frequências ω1 e ω2 são próximas (ou seja, o resultado (1.154) é geral). Quando valer (1.147) (e, portanto, (1.148)), teremos: ω ≈ ω1 ≈ ω2 (1.155) k ≈ k1 ≈ k2 (1.156) (nota única), cuja amplitude a(x, t) oscila lentamente com frequência temporal ω = ∆ω/2. A figura abaixo exibe o padrão de oscilação resultante para um determinado ponto com coordenada x (pense que x é a coordenada do seu t́ımpano) em função do tempo: 1.6 Aula 6 33 -10 10 20 30 -2 -1 1 2 Note que a onda resultante passa por zeros de amplitude! Podemos considerar a onda y(x, t) como uma onde de frequência ω cuja amplitude a é modulada por outra onda de frequência ∆ω bem mais baixa. Questão: por que ouvimos os batimentos? Os batimentos correspondem aos repetidos máximos e zero de intensidade resultantes. Já vimos que a intensidade de uma onda harmônica depende do quadrado da amplitude da onda. Sendo assim, y(x, t) passa por zeros de intensidade com frequência ν = ∆ω (frequência dos batimentos). A presença de batimentos incomoda os ouvidos. Eles são, portanto, facilmente percept́ıveis. Um modo de se afinar dois instrumentos é fazê-los tocar a mesma nota (frequência a ser afinada) e ajustar um dos instrumentos (o desafinado, claro!) de modo a se eliminarem os batimentos. 1.6.2 Efeito Doppler É comum percebermos a variação da frequência de uma ambulância quando esta se aproxima ou se afasta de nós. É posśıvel até identificar o efeito: o som da ambulância soa mais agudo quando ela se aproxima, e mais grave quando se afasta. Como entender esse fenômeno, denominado efeito Doppler? Antes de entrar na análise do efeito, uma questão interessante se apresenta: o efeito Doppler ocorre também quando nós nos movemos e a ambulância está parada? Quem se lembra das discussões sobre o movimento relativo irá responder que sim: ocorrerá o efeito. Mais do que isso, poderá ser levado a admitir que o efeito depende apenas da velocidade relativa entre a fonte (ambulância) e o observador (o receptor, nossos ouvidos). Porém, essa última conclusão está errada, como veremos. Diferentemente do contexto da discussão da relatividade de Galileu, aqui temos um referencial privilegiado, a saber, a atmosfera, o meio através do qual o som se propaga! Para simplificar, vamos dizer que a atmosfera está em repouso. Vamos começar analisando o caso em que a fonte (de dimensões despreźıveis) está em repouso em relação à atmosfera. Observador em movimento e fonte em repouso 34 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som Seja u > 0 a magnitude da velocidade do observador e v a velocidade do som. Seja ν0 a frequência de uma onda harmônica emitida pela fonte. Assim, o comprimento da onda emitida (distância entre franjas consecutivas) é λ0 = v/ν0. Pela própria definição de frequência, deduzimos que a fonte emite ν0 cristas de onda por unidade de tempo. Quantas cristas de onda por unidade de tempo atingirão o observador se este se move em direção à fonte com velocidade u? Se o observador estivesse em repouso,chegariam as mesmas ν0 cristas. Se tem velocidade u, o obser- vador percorre (em uma unidade de tempo) um espaço extra cujo valor numérico é igual a u. Nesse espaço, o observador atravessa u/λ0 novas cristas. Portanto, o total de cristas atingidas é: ν = ν0 + u λ0 = ν0 ( 1 + u v ) (se aproximando da fonte) . (1.157) Assim, a frequência observada será maior que a frequência emitida pela fonte, e o som parece mais agudo! Por outro lado, se o observador estivesse se afastando da fonte, ele encontraria menos franjas. Teŕıamos: ν = ν0 + u λ0 = ν0 ( 1 − u v ) (se afastando da fonte) , (1.158) de modo que ν < ν0 e o som pareceria mais grave. Fonte em movimento e observador em repouso O que ocorre no caso mais comum em que a fonte se move? Vamos admitir que o observador esteja em repouso em relação à atmosfera. Considere que a magnitude (sempre positiva!) da velocidade da fonte vale V . Se a fonte se move, qual a velocidade de propagação da onda? É comum supor erroneamente que a velocidade do que é emitido pela fonte deve ser alterada pelo próprio movimento da fonte. Isso sem dúvida é verdadeiro quando consideramos dispositivos que emitem part́ıculas materiais, como por exemplo uma metralhadora instalada em um avião. No entanto, já sabemos que no caso de uma onda, a velocidade de propagação só depende das propriedades do meio e não se altera pelo fato de a fonte estar se movendo! A frequência da onda harmônica emitida será novamente ν0. Qual a distância entre duas cristas consecutivas? Se a fonte estivesse parada, essa distância seria igual ao comprimento da onda, λ0, pois essa é a distância que a onda viaja em um peŕıodo da onda (T0). O movimento da fonte altera, entretanto, essa situação (ver figura). Na direção e sentido do movimento da fonte, a distância entre cristas após um peŕıodo da onda será: λ = λ0 − V T0 = λ0 ( 1 − V v ) (no sentido do movimento da fonte) . (1.159) Na direção oposta, as cristas se afastam: λ = λ0 − V T0 = λ0 ( 1 − V v ) (no sentido contrário) . (1.160) 1.7 1a Lista de exerćıcios 37 -4 -2 2 4 6 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 O pulso da esquerda viaja para a direita com velocidade de 2cm/s, enquanto que o pulso da direita se propaga para a esquerda com velocidade 1cm/s. Desenhe o perfil da corda após 1s e após 3s. 38 Caṕıtulo 1 – Fenômenos ondulatórios e som 1.8 2a Lista de exerćıcios 1. Uma corda de comprimento L, tensão T e densidade µ tem suas extremidades soltas em x = 0 e x = L, isto é, as extremidades podem se movimentar livre- mente na direção vertical. Em termos matemáticos, essa condição de contorno se expressa da seguinte maneira: ∂u ∂x (0, t) = 0 e ∂u ∂x (L, t) = 0 . (1.166) Substituindo diretamente na equação de ondas, mostre que y(x, t) = A cos(kx) cos(ωt) é solução do problema para determinados valores de k e ω. Obtenha esses valores. 2. Vimos que, no ponto de junção de um meio onde as ondas têm velocidade v1 para um meio onde as ondas têm velocidade v2, os coeficientes de refletividade e transmissividade são dados respectivamente por: r = (v1 − v2)2 (v1 + v2)2 e t = 4v1v2 (v1 + v2)2 . (1.167) (a) Demonstre que r + t = 1. (b) Levando em conta o balanço energético no ponto de junção, dê com suas palavras uma interpretação f́ısica para r e t. (c) Quanto valem r e t quando uma onda progressiva passa de um meio com densidade µ para um meio com densidade 4µ? 3. Que comprimento deve ter um tubo de órgão aberto num extremo e fechado no outro para produzir, como tom fundamental, a nota dó da escala média (ν = 262Hz), a 15o, quando a velocidade do som é 341m/s? 4. Mostre que f(x) = A cos(kx) + B sen(kx) é solução da equação do oscilador harmônico: d2f dx2 = −k2 f(x) . 5. Mostre que a onda sonora u(x, t) = 10−6 cos(2, 65(x − 332t)) do exemplo 1.8 tem frequência aproximadamente igual a 440Hz. 6. Pode-se mostrar que da relação PV = nRT decorre a seguinte expressão para a velocidade do som em um gás: v = √ γRT m , onde T é a temperatura do gás (em Kelvin), m é a massa molecular do gás (em Kg/mol) e R=8,314 J/mol K é a constante universal dos gases. 1.8 2a Lista de exerćıcios 39 (a) Calcule a velocidade do som no gás Helio (m = 4g/mol, γ=1,66) a 20oC e compare com o valor da velocidade do som no ar (≈ 344m/s). (b) Calule a razão entre as frequências do som no hélio e no ar para um mesmo comprimento de onda. 7. Ao se fazer vibrar simultaneamente dois diapasões, ouviram-se batimentos com peŕıodo igual a 0,5s. Sabendo que o diapasão mais agudo emitia a nota musical lá (440Hz), qual a frequência do outro diapasão? 8. Uma pedestre em repouso na calçada percebe, inicialmente, o som da sirene de uma ambulância que trafega em sua direcão com velocidade constante. Quando a ambulância vem se aproximando, ao longe, a frequência percebida pela pessoa é de 880Hz. A ambulância passa e quando já vai bem longe, se afastando com a mesma velocidade inicial, o pedestre mede novamente a frequência da sirene, obtendo o valor 800Hz. Supondo que a velocidade do som no ar seja 340m/s, qual a velocidade da ambulância?
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