dinamica da rotação, exercicios resolvidos

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 07/12/2005 12:37 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

Capítulo 12 - Dinâmica da Rotação

Problemas

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos

6. A Fig. 36 mostra um bloco uniforme de massa M e arestas de comprimento a, b e c. Calcule a sua inércia rotacional em torno de um eixo que passe em um vértice e seja perpendicular à face maior do bloco. (Dica: Veja a Fig. 9.)

(Pág. 247)

Solução.

A Fig. 9 mostra que o momento de inércia de um bloco, semelhante ao da Fig. 36, em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa e paralelo ao eixo mostrado na Fig. 36 é dado por:

Para descobrir o momento de inércia do bloco em relação ao eixo que passa pelo vértice basta aplicar o teorema do eixos paralelos:

2CMIIM=+h

Considere o seguinte esquema, em que h, a distância de separação entre os dois eixos, é dada pelo teorema de Pitágoras:

b/2h CM

Logo:

Como esperado, I > ICM. Quando o eixo está localizado no vértice do bloco a distribuição geral de sua massa é mais afastada do eixo quando comparada ao eixo passando pelo centro de massa.

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8. Duas partículas, cada uma com massa m, estão unidas uma a outra e a um eixo de rotação por duas hastes, cada uma com comprimento L e massa M, conforme a Fig. 37. O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular ω. Obtenha uma expressão algébrica para (a) a inércia rotacional do conjunto em torno de O e (b) a energia cinética de rotação em torno de O.

(Pág. 247)

Solução. Considere o esquema a seguir:

A m mB z (a) O momento de inércia total do conjunto vale:

Barra ABola BBarra CBola DIIIII=+++ Podemos tratar as barras A e C como sendo apenas uma barra E de comprimento 2L e massa 2M:

(1) Barra EBola BBola DIIII=++

O momento de inércia da barra E é (conferir Fig. 9, pág. 234): 2

MLMI==L(2)

Os momentos de inércia devido às bolas valem:

Bola BImL=(3)
Bola D(2)42ImLmL==(4)

2 Substituindo-se (2), (3) e (4) em (1):

MIm⎛=+⎜⎝⎠L⎞⎟(5)
KIω=(6)

212 Substituindo-se (5) em (6):

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13. Neste problema desejamos calcular a inércia rotacional de um disco de massa M e raio R em torno de um eixo que passa através de seu centro, perpendicularmente à sua superfície. Considere um elemento de massa dm na forma de um anel de raio r e largura dr (veja a Fig. 39). (a) Qual é a massa dm desse elemento, escrita como fração da massa total M do disco? Qual é a inércia rotacional dI desse elemento? (c) Integre o resultado da parte (b) para encontrar a inércia rotacional do disco como um todo.

(Pág. 248)

Solução.

(a) O elemento de massa dm pode ser encontrado partindo-se da densidade superficial de massa β, supostamente uniforme.

M dm

Rrdrβππ== Logo:

2 2dm rdr

(b) A inércia rotacional de um anel de raio r e massa dm é dada por:

2dI r dm= Utilizando-se o resultado do item (a), temos:

(c)

R Mrd r M M RId I r dr

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14. Neste problema, utilizamos o resultado do problema anterior para a inércia rotacional de um disco para calcular a inércia rotacional de uma esfera maciça uniforme de massa M e raio R em torno de um eixo que passe através de seu centro. Considere um elemento dm da esfera na forma de um disco de espessura dz à altura z do centro (veja a Fig. 40). (a) Quando escrita em fração da massa total M, qual é a massa dm do elemento? (b) Considerando-se o elemento como

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES um disco, qual é a sua inércia rotacional dI? (c) Integre o resultado de (b) sobre a esfera toda para encontrar a inércia rotacional da esfera.

(Pág. 248)

Solução.

(a) O elemento de massa dm pode ser encontrado partindo-se da densidade volumétrica de massa ρ, supostamente uniforme.

M dm rd zRρ ππ ==

Logo:

(b) A inércia rotacional de um disco de raio r e massa dm é dada por:

Utilizando-se o resultado do item (a), temos: 2

M Rz dz

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