Mecânica Clássica

Mecânica Clássica

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NOTAS DE AULAS Mecanica Classica

Prof.: Salviano A. Leao Goiania – Goias

Sumario

1.1 PADROES4
1.2 Tempo5
1.3 Espaco7
1.4 Cinematica9
1.5 Problemas14

1 Introducao 1

Referencias Bibliograficas 19

2.1 Introducao20
2.2 Dinamica: massa e forca20
2.3 Leis de Newton2
2.3.1 Primeira Lei de Newton24
2.3.2 Segunda Lei de Newton25
2.3.3 Terceira Lei de Newton26
2.4 Princıpio da Relatividade de Galileu28
2.5 Transformacoes galileanas: referenciais inerciais29
2.6 Aplicacoes das leis de Newton31
2.7 Integracao das equacoes de movimento39
2.7.1 Analise do movimento unidimensional40
2.7.2 Forca aplicada constante42
2.7.3 Forca aplicada dependente do tempo43
2.7.4 Forcas dependentes da velocidade: Forcas de retardamento46
2.8 Teoremas de conservacao54
2.8.1 Conservacao do momentum linear54
2.8.2 Conservacao do momentum angular54
2.8.3 Conservacao da energia5
2.8.4 Potencia (P )67
2.8.5 Dependencia Temporal da Energia Potencial68
2.8.6 Energia68
2.8.7 Equilıbrio71
2.9 Movimento de foguetes74
2.9.1 Movimento do foguete: forca externa74
2.9.2 Movimento do foguete: sem forca externa75
2.9.3 Foguete em ascensao75
2.10 Limitacoes da mecanica newtoniana76
2.1 Problemas76
2.12 Apendice85
2.12.1 Expansoes em series de Taylor85
2.12.2 Funcoes Hiperbolicas85
2.12.3 Funcoes trigonometricas86

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3.1 Introducao89
3.2 Pequenas Oscilacoes: Lineares e Nao-Lineares89
3.2.1 Oscilacoes Lineares91
3.2.2 Oscilacoes Nao-Lineares92
3.2.3 Moleculas Diatomicas93
3.3 Oscilador Harmonico Simples94
3.4 Estudo do Movimento Harmonico Simples96
3.4.1 Analise do Movimento98
3.4.2 Condicoes Iniciais9
3.5 Oscilador Harmonico Simples: Solucao por Conservacao de Energia100
3.6 Oscilador Harmonico Simples e a Conservacao de Energia101
3.7 Energias Medias102
3.8 Oscilador Harmonico e o Movimento Circular Uniforme103
3.9 Pendulo Simples105
3.10 Oscilador Vertical106
3.1 Osciladores Acoplados107
3.12 Determinacao da frequencia Natural ω0109
3.12.1 Metodo da Energia110
3.12.2 Metodo de Rayleigh: Massa Efetiva112
3.13 Oscilacoes Harmonicas em duas Dimensoes113
3.14 Diagramas de Fase117
3.15 Oscilacoes Amortecidas118
3.15.1 Amortecimento Subcrıtico (β < ω0)120
3.15.2 Balanco de Energia: Fator de Qualidade Q122
3.15.3 Amortecimento Crıtico (β = ω0)126
3.16 Oscilacoes Forcadas Amortecidas129
3.17 Ressonancia132
3.18 Impedancia de Um Oscilador134
3.19 Princıpio da superposicao: series de Fourier135
3.20 Elementos de um Circuito137
3.20.1 Resistor137
3.20.2 Capacitor137
3.20.3 Indutor138
3.20.4 Gerador138
3.21 Oscilacoes Eletricas138
3.2 Analogia entre as Oscilacoes Mecanicas e Eletricas144
3.23 Problemas145
3.23.1 Circuitos LC149
3.23.2 Circuitos RLC149

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4.1 Introducao150
4.2 Princıpio da Superposicao151
4.3 Distribuicoes Contınuas de Massa152
4.4 Centro de Gravidade154
4.5 Campo Gravitacional g155
4.6 Potencial Gravitacional157
4.7 Lei de Gauss162
4.7.1 Angulo Solido163
4.7.2 Fluxo de Um Campo Vetorial166
4.7.3 Lei de Gauss Para o Campo Gravitacional g167
4.7.4 Aplicacoes da Lei de Gauss169
4.8 Forma Diferencial da Lei de Gauss: Equacao de Poisson170
4.9 Linhas de Forca e Superfıcies Equipotenciais171
4.10 Problemas173
5.1 A Natureza Geral dos Problemas de Extremos176
5.2 Formulacao do Problema178
5.3 A equacao de Euler179
5.4 A segunda forma da equacao de Euler182
5.5 Funcoes com varias variaveis dependentes184
5.6 Equacoes de Euler com condicoes de vınculo184
5.8 Problemas186

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6.1 Introducao187
6.2 Conceitos Fundamentais189
6.3 Coordenadas Generalizadas190
6.4 Graus de Liberdade191
6.5 Espaco de Fase194
6.6 Espaco de Configuracoes194
6.7 Vınculos195
6.8 Dificuldades Introduzidas Pelos Vınculos201
6.8.1 Vınculos e as coordenadas generalizadas201
6.9 Princıpios dos Trabalhos Virtuais208
6.9.1 Deslocamento Virtual208
6.9.2 Vınculos209
6.9.3 Trabalho Virtual209
6.10 Princıpio de D’Alembert213
6.1 Equacoes de Lagrange213
6.1.1 Vınculos nas equacoes de Lagrange225
6.1.2 Exemplos de Sistemas Sujeitos a Vınculos227
6.12 Aplicacoes da Formulacao Lagrangeana228
6.13 Energia Cinetica em Coordenadas Generalizadas232
6.14 Momentum Generalizado235
6.15 Potenciais Dependentes da Velocidade235
6.16 Forcas Aplicadas e de Atrito238
6.17 Funcao de Dissipacao de Rayleigh241
6.18 Problemas242
6.18.1 Deducoes242
6.18.2 Exercıcios243

6 Formulacao Lagrangeana da Mecanica 187

7.1 Introducao249
7.2 Princıpio de Hamilton250
7.3 Princıpio de Hamilton a Partir do Princıpio de D’Alembert254
7.4 Equacoes de Lagrange a Partir do Princıpio de Hamilton257
7.5 Princıpio da Relatividade de Galileu260
7.6 A Lagrangeana de Uma Partıcula Livre262
7.7 Lagrangeana de um Sistema de Partıculas263
7.8.1 Metodo dos Multiplicadores de Lagrange267
7.8.2 Forcas de Vınculo269
7.9 Vantagens de Uma Formulacao Por Um Princıpio Variacional276

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8.1 Momentum Generalizado281
8.2 Coordenadas Cıclicas282
8.3 Translacoes e Rotacoes Infinitesimais285
8.3.1 Translacao286
8.3.2 Rotacao286
8.4 Teoremas de Conservacao287
8.4.1 Homogeneidade Espacial e Conservacao do Momentum287
8.5 Isotropia Espacial e Conservacao do Momentum Angular288
8.6 Uniformidade Temporal e Conservacao da Energia291
8.7 Invariancia de Escala na Mecanica294
8.8 Teorema do Virial295
8.9 Equacoes de Hamilton296
8.10 Problemas298

8 Leis de Conservacao e Propriedades de Simetria 280

9.1 Introducao300
9.2 Equacoes Canonicas de Hamilton301
9.3 Equacoes de Hamilton a Partir do Princıpio Variacional303
9.4 Integrais de Movimento das Equacoes de Hamilton305
9.5 Integrais de Movimento Associados com as Coordenadas Cıclicas305
9.6 Transformacoes Canonicas306
9.7 Parenteses de Poisson313
9.8 Propriedades Fundamentais dos Parenteses de Poisson314
9.9 Parenteses de Poisson Fundamentais314
9.10 Exemplo314
9.1 Parenteses de Poisson e as Integrais de Movimento315

Capıtulo 1

Introducao

Definir o conceito de ciencia nao e uma tarefa simples, entretanto, considerar-se que a ciencia pode ser definida como um conjunto de conhecimentos sistematicamente organizado sobre um determinado objeto, adquiridos por meio de observacoes e experimentos reprodutıveis, criticamente testados, sistematizados e classificados segundo princıpios gerais. Os criterios usados para definir uma area do conhecimento como uma ciencia, estabelecem um metodo cientıfico. Neste contexto, a fısica pode ser definida como a ciencia que investiga os fenomenos naturais, pois ela tem como ponto de partida um conjunto de hipoteses que surgem da observacao dos fenomenos naturais, e essas hipoteses, que representam uma idealizacao destes fenomenos, sao as bases com que as teorias fısicas sao construıdas. Nessas teorias, as leis envolvendo grandezas fısicas sao expressas em termos de equacoes matematicas que descrevem e preveem seus comportamentos sob determinadas condicoes. As teorias da fısica nao sao completas e nem imutaveis, de fato, elas podem vir a ser modificadas. Com o desenvolvimento tecnologico medidas experimentais de determinadas grandezas podem ser efetuadas com uma maior precisao e novos experimentos podem ser realizados. A comparacao numerica entre os resultados previstos pela teoria e a medida experimental serve como um parametro para julgar se a teoria e correta ou nao e, se for o caso, em que ponto e necessario introduzir correcoes ou modificacoes. Se a concordancia numerica for boa, a probabilidade da teoria estar correta e grande. Por outro lado, se a concordancia for apenas qualitativa, fica difıcil julgar a teoria. Alem disso, se existir mais de uma, a dificuldade de escolher entre as diferentes possibilidades seria grande, entretanto, os fısicos, nestes casos tendem a escolher a teoria mais simples. Fenomenos novos tambem podem ser observados e quando estes nao podem ser explicados pelas teorias vigentes, e necessario uma nova teoria que englobe todos os experimentos realizados.

As grandezas fısicas que aparecem nas equacoes matematicas devem expressar quantidades, as quais devem possuir significados numericos precisos. Se uma dada grandeza for definida, especificacoes de como determinala quantitativamente devem estar contidas na sua definicao. Uma definicao apenas qualitativa nao e suficiente para ser usada como alicerce da construcao de uma teoria cientıfica. Na pratica, apesar de ser muito difıcil construir uma definicao idealmente precisa, supoese implicitamente que as grandezas envolvidas estao precisamente definidas quando se escreve

Prof. Salviano A. Leao 2 uma equacao matematica. Nesta situacao, e importante estar ciente em que ponto e em que grau a construcao de uma teoria e afetada pela falta de precisao nessas definicoes. Existem conceitos que sao definidos em termos daqueles que ja foram anteriormente definidos e sao chamados conceitos derivados. Assim, toda vez que um novo conceito derivado for definido, sera suposto que os conceitos anteriores, usados na nova definicao, estao precisamente definidos. Rastreando-se os conceitos anteriores, utilizados para definir os conceitos derivados, fatalmente voltar-se-a ate os conceitos basicos ou primitivos, os quais existem com uma certa falta de precisao. Geralmente esses conceitos primitivos sao supostos como conhecidos ”a priori”, seja pela vivencia, seja pela intuicao. Muitos desses conceitos (por exemplo, espaco, tempo, massa e carga no caso da fısica) tornaram-se parte integrante da nossa vida diaria, o que aumenta o risco de serem considerados mais obvios do que realmente o sao. De qualquer forma, a construcao de uma teoria deve ser iniciada em algum ponto mesmo que a precisao desejavel nao seja alcancada. Sempre que atingir um estagio mais avancado, deve-se retornar as definicoes desses conceitos e aperfeicoa-las. Assim, cada vez que houver uma compreensao melhor, aperfeicoa-se as definicoes dos conceitos primitivos. Mesmo nesses conceitos primitivos, ha necessidade de incluir ao menos uma definicao operacional para que a sua determinacao quantitativa seja possıvel.

Uma das teorias cientıficas mais antigas e mais conhecidas, nos moldes das chamadas ”ciencias exatas”, e a Mecanica Classica. As leis da alavanca e dos fluidos em equilıbrio estatico ja eram conhecidos por Arquimedes de Siracusa (287?-212 a.C.) da antiga Grecia. Depois da descoberta das leis da mecanica por Galileu Galilei (1564-1642) e por Sir Isaac Newton (1642-1727), a Fısica teve um desenvolvimento enorme nos ultimos tres seculos. Apos o surgimento da chamada Fısica Moderna no inıcio do seculo X, muitas das leis da mecanica sofreram modificacoes. Entretanto, a Mecanica Classica continua sendo uma otima teoria na maioria das aplicacoes que surgem no cotidiano terrestre. Ela leva a previsoes corretas das grandezas que descrevem os fenomenos fısicos, desde que nao envolvam velocidades proximas a da luz, massas enormes, distancias cosmologicas e dimensoes atomicas.

A Mecanica Classica, tem como objeto de estudo corpos em movimento ou em repouso e a condicoes de movimento e repouso, dos mesmos quando estes estao sob a influencia de forcas internas e externas. Ela nao explica porque os corpos se movem; ela simplesmente mostra como o corpo ira se mover em uma dada situacao e como descrever o seu movimento. Ela nao se preocupa em explicar a origem das forcas, e sim, como os corpos irao se movimentar sob a acao de tais forcas. O estudo da mecanica pode ser dividido em tres partes: Cinematica, Dinamica e Estatica. A cinematica fornecem uma descricao puramente geometrica do movimento (ou trajetoria) dos objetos, desconsiderando as forcas que o produziram. Ela trata com os conceitos que se interrelacionam: posicao, velocidade, aceleracao e tempo. A dinamica se preocupa com as forcas que produzem as mudancas no movimento ou mudanca em outras propriedades fısicas, tais como a forma e o tamanho do objeto. Isto nos conduz aos conceitos de massa e forca e as leis que governam o movimento dos

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Embora a mecanica tenha seu inıcio na antiguidade, ela teve um grande avanco com Aristoteles (384-322 a.C.) e depois ficou paralisada por quase 20 seculos. Entretanto, a verdadeira ciencia da Mecanica foi fundada por Galileu, Christiaan Huygens (1629-1695) e Newton. Eles mostraram que os objetos se movem de acordo com certas regras, e estas regras foram estabelecidas na forma de leis do movimento. A Mecanica Classica ou Newtoniana e essencialmente o estudo das consequencias das leis do movimento formuladas por Newton no seu ”Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, publicado em 1686.

Apesar das Leis de Newton em sua formulacao original, fornecerem uma abordagem simples e direta para os problemas da Mecanica Classica, existem algumas outras formulacoes dos princıpios da Mecanica Classica. Entre eles, os dois mais usados sao a formulacao Lagrangeana e a Hamiltoniana. Estas duas formulacoes tem a energia e nao a forca com o conceito fundamental, desta forma, as equacoes que se seguem, destas formulacoes, sao escalares e nao vetoriais.

A Mecanica e o ramo da Fısica que estuda os movimentos dos corpos e suas causas. E, entao, necessario uma boa compreensao dos conceitos primitivos e de como as teorias sao construıdas com base neles. A hipotese mais fundamental na Mecanica Classica e a de considerar o espaco e o tempo contınuos, o que significa que existem padroes universais de comprimento e de tempo. Assim, observadores em diferentes lugares e em diferentes instantes podem com- parar suas medidas de um dado evento ocorrido em um determinado ponto do espaco e em um instante especıfico. Ate hoje, nenhuma evidencia convincente de que se alcancou o limite de validade desta hipotese surgiu. Outras duas hipoteses, tambem muito importantes, estabelecem que o comportamento dos instrumentos de medida nao e afetado pelos seus estados de movimento (desde que nao estejam sendo rapidamente acelerados) e que, pelo menos em princıpio, os valores numericos obtidos para as grandezas fısicas poderao ser tornados tao precisos quanto se queira. Estas duas hipoteses falham no limite que envolvem altas velocidades e medidas de grandezas de magnitudes muito pequenas.

A mecanica e a ciencia que estuda as formas mais simples de movimento da materia, os deslocamentos dos objetos no espaco com o decorrer do tempo. Como qualquer outra teoria fısica ela tem o seu domınio de aplicacao, fora do qual ela deve ser substituıda por outra teoria mais geral que a contenta como caso especial. No caso de movimentos com velocidade comparaveis com a da luz c, a teoria mais geral sera a mecanica relativıstica; a mecanica quantica e a teoria mais geral na descricao de objetos em uma escala microscopica, tal como atomos e moleculas. Para objetos cosmicos, de proporcoes metagalacticas, para as estrelas de neutrons hiperdensas, os buracos negros, a mecanica newtoniana deve ser substituıda pela relatividade geral de Einstein. Na figura 1.1 mostramos um esquema deste domınio. no eixo das abscissas colocamos a velocidade v do objeto, o no eixo das ordenadas a distancia (dimensao caracterıstica do objeto) L, caracterizando o sistema material em movimento. O domınio de aplicacao da mecanica classica para

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Figura 1.1: Limites da mecanica de acordo com a massa e a velocidade do objeto.

um objeto de massa m e dada pela regiao 2 da figura 1.1, a direita da hiperbole v · L = h/m e a esquerda da reta v = αc, onde α ¿ 1 e h e a constante de Planck. A regiao 1, que fica a esquerda da hiperbole v · L = h/m e a esquerda da reta v = αc, representa o domınio de aplicacao da mecanica quantica. A regiao 4, que fica a direita da reta v = αc e abaixo da hiperbole v·L = h/m, representa o domınio de aplicacao da mecanica quantica relativıstica. Ja a regiao 3, , que fica a direita da reta v = αc e acima da hiperbole v·L = h/m, representa o domınio de aplicacao da mecanica relativıstica, ou Teoria Geral da Relatividade de Einstein.

Assim, a mecanica teorica (analıtica) sera a mecanica classica, aplicavel tanto para objetos macroscopicos com v ¿ c, quanto para uma molecula, atomo ou partıcula elementar desde que mvL ¿ h. Costuma-se representar de maneira abstrata, os corpos de materiais estudados pela mecanica classica sob a forma de pontos materiais se as dimensoes forem pequenas comparadas com as dimensoes caracterısticas dos sistemas em relacao aos quais se registra o movimento.Os corpos solidos sao aqueles que as distancias relativas entre diferentes pontos do corpo durante o seu movimento permanecerem inalteradas, isto e, o corpo nao e deformavel. Corpos elasticos, lıquidos ou gasosos, sao aqueles que o corpo e deformavel e ocupa uma regiao do espaco maior do que as dimensoes caracterısticas dos materiais que registram o movimento.

A fısica e baseada em medidas e aprenderemos fısica apreendendo a medir as quantidades que sao envolvidas nas leis da fısica. Entre estas quantidades estao o comprimento, tempo, massa, temperatura, corrente eletrica, etc. Para descrevermos uma quantidade fısica primeiramente definimos uma unidade, isto e, a medida da quantidade que e definida como exatamente 1. Entao definimos um padrao, isto e, uma referencia para a qual todos os outros exemplos sao comparados. Por exemplo, a unidade de comprimento e o metro, como veremos mais adiante, ele e definido como a distancia que a luz percorre no vacuo durante uma certa fracao de segundo. Em princıpio somos livres para escolhermos a unidade e o padrao, no entanto e importante que os cientistas no mundo concordem que a nossa definicao e acessıvel e pratica.

Em mecanica inicialmente precisaremos de algumas grandezas tais como: comprimento, tempo e massa. Como estes padroes nao sao definidos em termos de quaisquer outros, eles devem ser escolhidos de modo a permitir sua reproducao para comparacao com grandezas a serem medidas. Os padroes devem ter as seguintes caracterısticas:

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1. deve ser imutavel, as medidas feitas hoje devem ser as mesmas daqui a um seculo.

2. deve ser acessıvel, de modo a poder ser reproduzida em qualquer outro laboratorio.

3. deve ser preciso atender a qualquer grau de precisao tecnologica.

4. deve ser universalmente aceito, de modo que os resultados obtidos em diferentes paıses sejam comparaveis.

Na escolha de um padrao, por exemplo comprimento, precisamos ter procedimentos para que qualquer medida de comprimento possa ser expresso em termos deste padrao, desde o raio do atomo de hidrogenio ate a distancia da Terra a uma estrela. Fica claro que muitas de nossas comparacoes serao indiretas. Nao sera possıvel utilizarmos uma regua para medir o raio do atomo de hidrogenio ou a distancia ate a Lua. Existem muitas grandezas fısicas e e um problema organiza-las, felizmente elas nao sao todas independentes. Por exemplo, a velocidade e a razao entre comprimento e tempo.

Muitas vezes uma escolha acessıvel nao e pratica, nao sendo portanto uma boa escolha. Por exemplo, podemos escolher o nosso polegar como um padrao de comprimento. Ele e acessıvel no entanto nao e pratico porque cada pessoa tem um polegar diferente de forma que qualquer comparacao gere resultados diferentes.

Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos e Medidas considerou sete quantidades basicas para formar a base do Sistema Internacional de Unidades, abreviado por SI e popularmente conhecido como sistema metrico. Como ja dissemos, na mecanica as quantidades basicas sao: tempo, massa e comprimento, cujas unidades sao: segundo, quilograma e metro, respectivamente. As definicoes para estas unidades sao as seguintes:

Tempo um segundo e 9.162.631.770 perıodos de uma certa vibracao do atomo de Cs133.

Comprimento ummetroeo comprimentodo caminho percorrido pela luz no vacuo du-

Massa um quilograma e a massa de um cilindro particular (3,9 cm de diametro × 3,9 cm de altura) de platina-irıdio guardado proximo de Paris.

Outras As demais unidades que aparecem na mecanica sao derivadas destas tres, por exemplo o watt, que e a unidade de potencia,

1.2 Tempo

O tempo e um dos conceitos primitivos adotados para construir a teoria da Ciencia Fısica (Mecanica Classica, em particular). Como tal, nao e possıvel definir precisamente o que e o tempo, mas supoe-se que todos ja ”o conhecem muito bem”. Como pode-se notar, existe uma total falta de precisao para definir o tempo. Esta situacao persiste mesmo que se adote as definicoes qualitativas dadas nos dicionarios. Entretanto, o que realmente importa aqui nao e definir o que e o tempo com precisao, mas como medı-lo, isto e, definı-lo operacionalmente.

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Uma maneira de medir o tempo e utilizar algum fenomeno que se repete com certa regularidade dito periodico. A palavra ”relogio” pode ser adotada no sentido amplo, significando tanto os fenomenos periodicos utilizados para a medida do tempo, como os instrumentos construıdos para a mesma finalidade. O princıpio de funcionamento de um ”relogio” como instrumento e baseado nos fenomenos periodicos. Um dos primeiros ”relogios” que se conhece na historia da Humanidade e o nascer do Sol. Este fenomeno repete-se indefinidamente e a duracao entre dois eventos consecutivos do nascer do Sol e denominado dia. Surge uma questao importante neste ponto. Sera que a duracao dos dias e sempre a mesma? Na realidade, esta e uma questao importante para qualquer ”relogio”, nao se restringindo apenas ao dia. Tudo que se pode fazer e comparar com outros ”relogios” para tentar responder a esta pergunta. Tais comparacoes e as analises das leis que governam os fenomenos repetitivos dao subsıdios para se decidir, nao so esta questao, como o grau de confiabilidade dos ”relogios”. Observe, no entanto, que nao ha maneira de provar que a duracao dos perıodos de qualquer dos fenomenos repetitivos, onde se baseiam esses ”relogios”, e realmente constante. Dessa forma, apenas pode-se afirmar que um tipo de regularidade concorda com a de outro, ou nao, mediante comparacoes. Assim, do ponto de vista operacional, a definicao do tempo esta baseada na repeticao de algum tipo de evento que, aparentemente, e periodico.

O dia, acima citado, e devido a rotacao da Terra. Entao, o perıodo de rotacao da Terra pode ser comparado com, por exemplo, o perıodo de revolucao da Terra ao redor do Sol, o da Lua em torno da Terra, o do Mercurio em torno do Sol etc. Observacoes muito precisas mostraram concordancia entre si desses outros fenomenos dentro de uma pequena margem de discrepancias. A partir destas comparacoes, detectou-se que o perıodo da rotacao da Terra tem pequenas irregularidades da ordem de uma parte em 108. Entao, o perıodo de rotacao da Terra, o dia, e um bom ”relogio” para muitos propositos.

Com o passar do tempo, a necessidade de se medir intervalos de tempo de duracao menor que a de um dia surgiu. Um dos mais antigos relogios, como instrumentos de medida de tempo, sao os relogios de sol. Basicamente, a projecao da sombra de uma estaca sobre uma escala graduada e o mecanismo de medida do tempo nesses relogios. Com os relogios solares, tornou-se possıvel medir uma fracao do dia com uma certa precisao. Entretanto, eles apresentavam o inconveniente de so funcionarem durante o dia e, dependendo da epoca do ano, de marcarem horas que diferem um pouco. Os clepsidras (relogios de agua) baseados no escoamento de agua, atraves de um orifıcio muito pequeno no fundo de um recipiente para um outro com uma escala graduada, ja eram usados pelos antigos egıpcios e babilonios. Eles permitiam medir o tempo correspondente a fracao do dia com uma precisao razoavel. Havia a vantagem de funcionar mesmo a noite. Com a descoberta do vidro, as ampulhetas (relogios de areia) que se baseiam num princıpio analogo foram desenvolvidas.

Em 1581, Galileu descobriu o isocronismo das oscilacoes de um pendulo, quando comparou as oscilacoes de um candelabro da Catedral de Pisa com o ritmo do seu pulso. Ele observou que o perıodo das oscilacoes permanecia o mesmo independentemente da sua am-

Prof. Salviano A. Leao 7 plitude. Logo ele aplicou essa descoberta e construiu um relogio de pendulo que permitia medir pequenos intervalos de tempo. Ate entao, nenhum metodo preciso para tal medida era conhecido. Depois da descoberta de Galileu, relogios de pendulos comecaram a ser construıdos. Estimulados pela necessidade, relogios cada vez mais precisos foram desenvolvidos. Ao mesmo tempo, medidas de intervalos de tempo cada vez mais curtos tornaram-se possıveis. O cronometro marıtimo desenvolvido por Harrison em 1765 tinha uma precisao da ordem de uma parte em 105. Esta precisao e comparavel ao de um relogio eletrico moderno. Uma parte em 108 e a precisao de um relogio baseado em osciladores de quartzo. O 133Cs (cesio 133) emite uma radiacao caracterıstica, cuja frequencia pode ser utilizada para controlar oscilacoes eletromagneticas na regiao de micro-ondas. Um relogio baseado nesta frequencia como padrao, denominado relogio atomico, atinge uma precisao de uma parte em 1012. Para se ter uma ideia, essa precisao significa um desvio de 1 s em aproximadamente 30.0 anos. Apesar da precisao do relogio atomico ser fantasticamente boa, o movimento termico dos atomos constituintes introduz uma incerteza razoavel na medida de frequencia da sua radiacao. Com o advento das tecnicas de confinamento e resfriamento de atomos, esse movimento termico pode ser reduzido drasticamente e espera-se uma melhora de pelo menos um fator 1000. Isto quer dizer que, pelo menos em princıpio, atingiria uma precisao maior que uma parte em 1015 (um erro nao maior que 1 s em cerca de 30 milhoes de anos).

Unidade Padrao do Tempo — E conveniente que se defina uma unidade para a medida do tempo e referir-se a ela pelos seus multiplos ou submultiplos. Mas, se nao se adotar um padrao, provavelmente terıamos uma unidade diferente em cada regiao do globo terrestre. Felizmente, o perıodo de rotacao da Terra e comum para toda a humanidade. Na falta de um padrao melhor, ate 1956 adotava-se a unidade padrao do tempo como sendo o segundo (s), definido como 1 s = 1/86.400 do dia solar medio. O dia solar medio e a media sobre um ano da duracao do dia. Tendo em vista as irregularidades da rotacao da Terra, em 1956, mudou-se a definicao do segundo como sendo 1 s = 1/31.556.925,9747 da duracao do ano tropical de 1900 (1 ano tropical e o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas do Sol pelo equinocio de primavera). Finalmente, em 1967, foi definido o atual segundo como sendo 1 s = 9.192.631.770 perıodos da radiacao correspondente a transicao caracterıstica do 133Cs.

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