Baixe Séries Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Série (matemática) 1 Série (matemática) Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma seqüência de infinitos termos. Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades: • nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série; • não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série; • algumas séries possuem soma infinita. Embora a idéia de soma de infinitos seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos da seguinte forma: A teoria das séries divergentes generaliza este conceito de soma para alguns casos quando este limite não existe. Um primeiro exemplo Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3: Esta dízima pode ser reinterpretada como a soma da série: E neste caso, dizemos que a soma desta série é Série (matemática) 2 Notação Cauchy formaliza o estudo das séries. Se forem os termos da seqüência que desejamos somar. A soma da série será: No exemplo anterior, temos , que forma uma progressão geométrica de razão . Chamamos de soma parcial até o termo N, a soma dos N primeiros termos de uma série: Definição Define-se a soma de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe: Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série: Esta definição nos permite escrever: para todo A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação. É claro que: Série (matemática) 5 Série alternada Chama-se série alternada toda a série da forma: Um exemplo de série alternada é: , que a despeito da série harmônica, converge. Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada. Série telescópica Chame-se série telescópica toda série cujos termos possam ser escritos como: , onde é outra progressão numérica. Um exemplo de série telescópica é Observe que aqui É fácil ver que: e, portanto: é convergente se e somente se existe o limite Convergência e divergência de séries Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, esses constumam ser chamados de testes (ou critérios), eis alguns exemplos: Séries de termos positivos Teste da integral O teste da integral é um método para estabelecer a convergência de um série comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. Seja uma série de números positivos e uma função com as seguintes propriedades: • ; • é decrescente; • . Então converge se e somente se converge. Série (matemática) 6 Teste da comparação do limite O teste da comparação do limite é uma generalização do teste da comparação. Sejam e séries de termos positivos. Então: • Se , sendo um número e , temos: ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem. Obs.: Se , então: Se é convergente → é convergente. Este teste admite uma ligeira modificação através do uso do limite superior: • Se , temos que: Se é convergente → é convergente. Critério da comparação de razões O critério da comparação de razões serve como base para muitos dos critérios utilizados para estudar convergência e divergência de séries. Este é sugerido pela lógica da progressão geométrica. Sejam as séries de termos positivos e , imaginemos que existe um número natural tal que, para , temos: • Então • convergente ⇒ convergente; • divergente ⇒ divergente; Teste da divergência O teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja: Se converge, então seu termo geral converge para zero. Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica: onde o termo geral tende a zero, mas a soma diverge. Série (matemática) 7 Teste da comparação O teste da comparação estabelece um critério para convergência de séries de termos positivos, ou para a convergência absoluta. Sejam as séries: • • Então se e se a segunda série converge a primeira também converge ( e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge a segunda também deve divergir. Podemos também estabelecer que se , então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja. Teste da razão O teste da razão ou teste de d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série comparando-a com a série geométrica. Seja uma séries de termos positivos. E suponha que exista o limite Então • , a série é absolutamente convergente (portanto convergente); • ou , a série é divergente; • , o teste é inconclusivo. Teste da raiz O teste da raiz ou teste de Cauchy é outro teorema que permite estabelacer a convergência de uma série. Ele pode também ser aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor. Seja uma série numérica e a constante definida pelo limite: • Então: • Se , a série converge absolutamente • Se , a série não converge • Se , nada se pode concluir No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de por: • Série (matemática) 10 • Seqüência dos termos de uma série Seja uma seqüência real ou complexa e , dizemos que pertence ao espaço lp se: converge. Generalizações em espaços normados Seja um espaço normado, , definimos de forma análoga: , quando este limite existe. A série é somável em norma se converge. Nestes termos, é um espaço de Banach se e somente se todo série somável em norma for também convergente. Exemplo • O espaço de Hilbert das funções quadrado-somável no intervalo , munido de sua norma: é um dos espaços mais importantes da matemática aplicada à teoria do processamento de sinais analógicos. Neste espaço, todo elemento pode ser escrito como uma série de Fourier: • Considere o espaço de Banach das funções contínuas definidas no intervalo , munidas da norma do supremo. Convergência neste espaço equivale a convergência uniforme. Referências gerais • Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol 4. 5aedição. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002. • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. Sao Paulo: Edgard Blucher, 1999. • Bartle, Robert Gardner. The elements of real analysis. 2aedição. New York: Wiley, 1976. • Rezende, Antonio. Curso de filosofia 5aedição. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor / SEAF, 1992. • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976. • Simmons, George F.. Cálculo com geometria analítica, vol 2. 1aedição. São Paulo: McGraw-Hill Ltda, 1987. Fontes e Editores da Página 11 Fontes e Editores da Página Série (matemática) Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=19109756 Contribuidores: Albmont, BrunoSupremo, Cayyam, Conhecame, Diraol, Felipearaldi, Kleber mota, Lechatjaune, OffsBlink, Pietrobon costa, Profvalente, Salgueiro, TPM, Zennig, 25 edições anónimas Fontes, licenças e editores da imagem Ficheiro:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:Cauchy_Augustin_Louis_dibner_coll_SIL14-C2-03a.jpg Licença: Public Domain Contribuidores: Aubrey, Bkmd, Katpatuka, Matt314 Ficheiro:Achilles by Lycomedes Louvre Ma2120.jpg Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:Achilles_by_Lycomedes_Louvre_Ma2120.jpg Licença: Public Domain Contribuidores: User:Jastrow Licença Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/