Baixe Cálculo Aplicado - Limite e Continuidade de funções e outras Notas de estudo em PDF para Química Industrial, somente na Docsity! Capítulo 3 LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 3.1 Limites O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite. Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significado geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites. Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma função y = f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio. Por exemplo, seja f(x) = 2x2 − x − 1 x − 1 = (2x + 1)(x − 1) x − 1 . É claro queDom(f) = R − {1}. Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de 1, mas sem atingir 1. Para todo x ∈ Dom(f) temos que f(x) = 2x + 1. Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de 1, pela esquerda (x < 1) e pela direita (x > 1) e os correspondentes valores de f(x): x < 1 f(x) 0 1 0.5 2 0.7 2.4 0.8 2.6 0.9 2.8 0.99 2.98 0.999 2.998 0.9999 2.9998 0.99999 2.99998 0.999999 2.999998 0.9999999 2.9999998 x > 1 f(x) 2 5 1.7 4.4 1.5 4 1.2 3.4 1.09 3.18 1.009 3.018 1.0009 3.0018 1.00009 3.00018 1.000009 3.000018 1.0000009 3.0000018 1.00000009 3.00000018 Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que x vai se aproximando de 1, os valores de f(x) vão aproximando-se de 3”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer x, y ∈ R é |y − x|. Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se |x − 1| aproxima-se de zero, então |f(x)− 3| também se aproxima de zero; em outras palavras: para que |f(x)− 3| seja pequeno é 119 120 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES necessário que |x − 1| também seja pequeno. O número 3 é chamado limite de f(x) quando x está próximo de 1. No exemplo, temos |f(x)− 3| = 2|x− 1|; logo, a distância de f(x) a 3 é igual a duas vezes a distância de x a 1. É claro que quando x aproxima-se de 1, |x − 1| aproxima-se de zero e consequentemente |f(x) − 3| também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar f(x) tão perto de 3 quanto desejarmos, bastando para tal considerar x suficientemente próximo de 1. Por exemplo, se desejarmos que |f(x) − 3| seja igual a 0, 2, basta considerar |x − 1| = 0, 1; agora, se desejarmos que |f(x) − 3| < 0, 02, basta considerar |x − 1| < 0, 01. De um modo geral, considerando qualquer número real positivo ε (letra grega epsilon), tão pequeno quanto se deseje e definindo o número real δ (letra grega delta), δ = ε 2 , teremos que a distância de f(x) a 3 é menor que ε, desde que a distância de x a 1 seja menor que δ. Então para todo número real positivo ε existe outro número real positivo δ, que depende de ε, tal que se 0 < |x − 1| < δ, então |f(x) − 3| = 2 |x − 1| < 2δ = ε. Note que todos os intervalos abertos que contém 1 intersectam R − {1} de forma não vazia. 3 1 Figura 3.1: Definição 3.1. Sejam f : A → R uma função e b ∈ R tais que para todo intervalo aberto I , contendo b, tem-se I ∩ (A − {b}) 6= φ. O número real L é o limite de f(x) quando x aproxima-se de b quando para todo número ε > 0, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, se x ∈ A e 0 < |x − b| < δ então |f(x) − L| < ε. A notação é: lim x→b f(x) = L A definição é equivalente a dizer: Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ (b− δ, b + δ)∩ ( A−{b} ) , então f(x) ∈ (L− ε, L + ε). b- bb δδ L L+ L- ε ε Figura 3.2: 3.1. LIMITES 123 1. lim x→a [ α f(x) + β g(x) ] = α lim x→a f(x) + β lim x→a g(x). 2. lim x→a [ f(x) g(x) ] = [ lim x→a f(x) ] [ lim x→a g(x) ] . 3. lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) , se lim x→a g(x) 6= 0. 4. lim x→a [ f(x) ]n = [ lim x→a f(x) ]n , se n ∈ N. 5. lim x→a n √ f(x) = n √ lim x→a f(x), se lim x→a f(x) ≥ 0 e n é qualquer natural, ou lim x→a f(x) positivo, negativo ou nulo e n é um natural ímpar. 6. lim x→a ln [ f(x) ] = ln [ lim x→a f(x) ] , se lim x→a f(x) > 0. 7. Se lim x→a h(x) = lim x→a g(x) = L e existe δ > 0 tal que h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), para 0 < |x − a| < δ, então lim x→a f(x) = L. Provas no apêndice. Segue diretamente da proposição 10.3: (a) Se P (x) é uma função polinomial, então: lim x→a P (x) = P (a). (b) Se f(x) = P (x) Q(x) é uma função racional e a ∈ Dom(f), então: lim x→a f(x) = f(a). Exemplo 3.3. Calcule os seguintes limites: [1] lim x→1 (x5 + x4 + 2x3 + x2 + 3x + 1). Neste caso P (x) = x5 + x4 + 2x3 + x2 + 3x + 1; logo: lim x→1 (x5 + x4 + 2x3 + x2 + 3x + 1) = lim x→1 P (x) = P (1) = 9. [2] lim x→3 x − 5 x3 − 7 . Como limx→3(x 3 − 7) = 20 6= 0, podemos aplicar a proposição 10.3; então, lim x→3 x − 5 x3 − 7 = lim x→3 (x − 5) lim x→3 (x3 − 7) = − 1 10 . [3] lim x→1 x2 − 1 x − 1 . Como limx→1(x− 1) = 0, não podemos aplicar a proposição 10.3; mas fatorando o numerador: x2 − 1 x − 1 = (x − 1) (x + 1) x − 1 = x + 1, 124 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES para todo x 6= 1. Logo: lim x→1 x2 − 1 x − 1 = limx→1(x + 1) = 2. [4] Determine o valor de a tal que lim x→−2 3x2 + ax + a + 3 x2 + x − 2 exista. Note que x2 + x − 2 = (x + 2) (x − 1). Dividindo 3x2 + ax + a + 3 por x + 2; obtemos, 3x2 + ax + a + 3 = (x + 2) (3x + a− 6) + (15− a); logo, para que a divisão seja exata devemos ter a = 15; logo, 3x2 + ax + a + 3 = 3 (x2 + 5x + 6) = 3 (x + 2) (x + 3): lim x→−2 3x2 + ax + a + 3 x2 + x − 2 = 3 limx→−2 x + 3 x − 1 = −1. [5] lim x→0 √ x + 1 − 1 x . Como lim x→0 x = 0, não podemos aplicar diretamente a proposição 10.3; mas racionalizando o numerador: √ x + 1 − 1 x · √ x + 1 + 1√ x + 1 + 1 = 1√ x + 1 + 1 . Logo: lim x→0 √ x + 1 − 1 x = lim x→0 1√ x + 1 + 1 = 1 2 . 4 0.1666 Figura 3.5: Gráfico de f(x) = √ x + 1 − 1 x , perto da origem. [6] lim x→1 4 √ x − 1 5 √ x − 1 . Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis x = t20; então: 4 √ x − 1 5 √ x − 1 = t5 − 1 t4 − 1 = (t4 + t3 + t2 + t + 1) (t − 1) (t − 1) (t3 + t2 + t + 1) . Se x → 1, então t → 1; logo: lim x→1 4 √ x − 1 5 √ x − 1 = limt→1 t4 + t3 + t2 + t + 1 t3 + t2 + t + 1 = 5 4 . 3.1. LIMITES 125 [7] lim x→0 ( x2 sen (1 x )) = 0. De fato, −1 ≤ sen (1 x ) ≤ 1, para todo x ∈ R − {0}; logo −x2 ≤ x2 sen (1 x ) ≤ x2, para todo x ∈ R − {0}. Como lim x→0 x2 = lim x→0 (−x2) = 0; pela proposição 10.3, temos: lim x→0 ( x2 sen (1 x )) = 0. -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.01 -0.01 Figura 3.6: Gráfico de f(x) = x2 sen (1 x ) , perto da origem. [8] Seja f(x) uma função tal que |f(x)| ≤ x2; então, lim x→0 f(x) = 0. De fato. Pela proposição 10.3, ítem 7, temos: lim x→0 |f(x)| = 0, o que implica, lim x→0 f(x) = 0. [9] Verifique que lim x→a xn − an x − a = n a n−1, a ∈ R. Se n ∈ N, então: xn − an x − a = x n−1 + axn−2 + ..... + an−1, x 6= a; denotando por P (x) = xn−1 + axn−2 + ..... + an−1, temos: lim x→a xn − an x − a = limx→a P (x) = P (a) = n a n−1. Se n ∈ Z e n < 0, fazendo n = −m, m ∈ N, temos: xn − an x − a = 1 xm − 1 am x − a = − 1 xm am [ xm − am x − a ] ; pelo caso anterior, temos: lim x→a xn − an x − a = −m 1 a2m am−1 = n an−1. Se n ∈ Q, n = p q ; p, q ∈ Z, q 6= 0. Fazendo x = yq e a = bq, então xn = yp e an = bp; logo: xn − an x − a = yp − bp yq − bq = yp − bp y − b y − b yq − bq ; do segundo caso: lim x→a xn − an x − a = limy→b yp − bp y − b y − b yq − bq = [ p q ] ap/q −1 = n an−1. 128 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Calculando diretamente : lim x→2+ f(x) = lim x→2 (−x2 + 4x − 2) = 2 e lim x→2− f(x) = lim x→2 (x2 − 4x + 6) = 2. 1 2 3 4 5 6 -6 -4 -2 2 4 6 8 Figura 3.11: Gráfico de f , perto de 2. [4] (Contração de Lorentz): Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento de um objeto é função de sua velocidade: L(v) = L0 √ 1 − v 2 c2 , onde L0 é o comprimento do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. A velocidade da luz é de aproximadamente 30× 108 m/s. Da teoria da relatividade é conhecido que nenhum objeto pode ir além da velocidade da luz; logo v → c−: lim v→c− L(v) = 0. Isto significa que para um observador parado o objeto desaparece. Relação entre limite e limites laterais Teorema 3.2. Seja f(x) uma função com domínioD nas condições das definições. Então lim x→a f(x) = L se e somente se os limites laterais existem e lim x→a+ f(x) = lim x→a− f(x) = L. Para a prova, veja o apêndice. Teste para determinar quando não existe um limite Se lim x→a+ f(x) 6= lim x→a− f(x) ou se um dos limites laterais não existe, então lim x→a f(x) não existe. 3.2. LIMITES LATERAIS 129 Exemplo 3.5. [1] Calcule lim x→2 f(x), se: f(x) =      x2 + 1 se x < 2 2 se x = 2 −x2 + 9 se x > 2. Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo [1] das páginas anteriores temos lim x→2− f(x) = 5 e lim x→2+ f(x) = 5. Pelo teorema, temos que lim x→2 f(x) = 5. -2 -1 1 2 3 4 5 -1 0 2 3 4 5 6 Figura 3.12: Gráfico de f , perto de 2. [2] Calcule lim x→0 f(x), se: f(x) =    |x| x se x 6= 0 1 se x = 0. Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. lim x→0+ f(x) = lim x→0 1 = 1 e displaystyle lim x→0− f(x) = lim x→0 (−1) = −1. Pelo teorema, temos que lim x→0 f(x) não existe. [3] Calcule lim x→0 f(x), se: f(x) = { x2 se x < 1 3x se x ≥ 1. Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo [3] da página anterior, temos lim x→1+ f(x) = 3 e lim x→1− f(x) = 1. Logo, lim x→1 f(x) não existe. [4] A função degrau unitário é definida como: uc(x) = { 0 se x < c 1 se x ≥ c, 130 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES onde c ∈ R. Logo, lim x→c− uc(x) = 0 e lim x→c+ uc(x) = 1; logo, lim x→c uc(x) não existe. [5] Calcule lim x→k [[x]]. Veja o exercício 33 do capítulo anterior. -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 Figura 3.13: Gráfico de f(x) = [[x]]. Se k ∈ Z, lim x→k− [[x]] = k − 1 e lim x→k+ [[x]] = k; logo, lim x→k [[x]] não existe. Se k ∈ R − Z, então lim x→k [[x]] existe. (Por que?). [6] Determine o valor da constante c tal que lim x→c f(x) exista, se: f(x) = { 2 − x2 se x ≤ c x se x > c. Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. lim x→c+ f(x) = lim x→c x = c e lim x→c− f(x) = lim x→c (2 − x2) = 2 − c2. Pelo teorema, devemos ter lim x→c− f(x) = lim x→c+ f(x); logo, resolvemos a equação c2 + c− 2 = 0 de onde obtemos c = 1 e c = −2. Então, podemos definir: f(x) = { 2 − x2 se x ≤ 1 x se x > 1 ou f(x) = { 2 − x2 se x ≤ −2 x se x > −2. -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 -10 -5 5 Figura 3.14: Gráficos de f para c = 1 e c = −2, respectivamente. 3.3. LIMITES NO INFINITO 133 De fato: P (x) Q(x) = anx n + an−1x n−1 + ........ + a0 bmxm + bm−1xm−1 + ........ + b0 = xn [ an + an−1 x + ........ + a0 xn ] xm [ bm + bm−1 x + ........ + b0 xm ] . Aplicando limite e as propriedades da proposição 3.4, obtemos o resultado. Para n > m, veja o próximo parágrafo. Exemplo 3.8. [1] Calcule lim x→+∞ x3 + 1 x4 + 5x3 + x + 2 . Como n < m, temos: lim x→+∞ x3 + 1 x4 + 5x3 + x + 2 = 0. [2] Calcule lim x→−∞ 2x + 3 3x + 2 . Como n = m, temos: lim x→−∞ 2x + 3 3x + 2 = 2 3 . [3] Calcule lim x→+∞ x + 1√ x2 − 5 . Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos exercícios ante- riores: lim x→+∞ x + 1√ x2 − 5 = lim x→+∞ √ (x + 1)2 x2 − 5 = limx→+∞ √ x2 + 2x + 1 x2 − 5 = √ lim x→+∞ x2 + 2x + 1 x2 − 5 = √ 1 = 1. [4] Calcule lim x→−∞ x + 1√ x2 − 5 . Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois, x → −∞, significa que x < 0; logo, consideramos √ x2 = −x: lim x→−∞ x + 1√ x2 − 5 = lim −x→+∞ −1 − 1x √ 1 − 5 x2 = −1. [5] Fractal de Koch A seguinte curva é chamada de Koch e é obtida a partir da linha poligonal constituída pelos lados de um triângulo equilátero de lado unitário. A cada passo substitui-se o terço médio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam um triângulo equilátero com o terço médio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo: Figura 3.17: 134 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Denote por An a área comprendida pela linha poligonal após n passos; logo: A0 = √ 3 4 , A1 = √ 3 3 , A2 = 10 √ 3 27 , A3 = 94 √ 3 243 , A4 = 862 √ 3 2187 , em geral: An = √ 3 4 [ 1 + 3 5 ( 1 − (4 9 )n)] , se n ≥ 0; então: A∞ = lim n→+∞ An = 2 √ 3 5 . Fica como exercício interpretar o limite. 3.4 Limites Infinitos Seja f uma função definida num domínio D, que pode ser um intervalo ou uma reunião de intervalos. Seja a um ponto que não pertence necessariamente a D, mas tal que nas proximi- dades de a existam pontos de D; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem a intersectaD de forma não vazia. Definição 3.4. 1. Diz-se que lim x→a f(x) = +∞, quando para todo A > 0, existe δ > 0 tal que f(x) > A, se x ∈ D e 0 < |x − a| < δ. 2. Diz-se que lim x→a f(x) = −∞, quando para todoB > 0, existe δ > 0 tal que f(x) < −B, se x ∈ D e 0 < |x − a| < δ. Exemplo 3.9. [1] lim x→1 1 (x − 1)2 = +∞. Como 1 (x − 1)2 > A, se (x − 1) 2 < 1 A , isto é, se |x − 1| < 1√ A , então para todo A > 0, existe δ = 1√ A > 0 tal que f(x) > A se 0 < |x − 1| < δ. [2] lim x→0 1 x2 = +∞. Como 1 x2 > B se |x| < 1√ B , então para todo B > 0, existe δ = 1√ B > 0 tal que f(x) > B se 0 < |x| < δ. Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim: Diz-se que lim x→a− f(x) = +∞, quando para todoA > 0, existe δ > 0 tal que f(x) > A se a − δ < x < a. Diz-se que lim x→a+ f(x) = −∞, quando para todo B > 0, existe δ > 0 tal que f(x) < −B se a < x < a + δ. 3.4. LIMITES INFINITOS 135 Proposição 3.6. Para todo número natural n, temos: 1. lim x→0+ 1 xn = +∞. 2. lim x→0− 1 xn = { +∞ se n é par −∞ se n é ímpar Proposição 3.7. Sejam f(x) e g(x) funções tais que lim x→a f(x) 6= 0 e lim x→a g(x) = 0. Então 1. lim x→a f(x) g(x) = +∞ se f(x) g(x) > 0 para valores de x próximos de a. 2. lim x→a f(x) g(x) = −∞ se f(x) g(x) < 0 para valores de x próximos de a. As provas das proposições são deixadas como exercícios. Exemplo 3.10. [1] Calcule lim x→1 3x − 2 (x − 1)2 . Como lim x→1 (3x − 2) = 1 e lim x→1 (x − 1)2 = 0, observando que se x > 23 , mas x 6= 1, então 3x−2(x−1)2 > 0 e aplicando o teorema, logo: lim x→1 3x − 2 (x − 1)2 = +∞. [2] Calcule lim x→2 2x − 5 (x − 2)2 . Como lim x→2 (2x − 5) = −1 e lim x→1 (x − 2)2 = 0, observando que se x < 52 , mas x 6= 2, então 2x−5 (x−2)2 < 0 e aplicando o teorema, temos: lim x→2 2x − 5 (x − 2)2 = −∞. Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exercício, defina os seguintes limites: lim x→+∞ f(x) = +∞, lim x→+∞ f(x) = −∞ e lim x→−∞ f(x) = +∞, lim x→−∞ f(x) = −∞. Corolário 3.3. Para funções racionais, temos: lim x→±∞ P (x) Q(x) =        ±∞ se n > m an bm se n = m 0 se n < m . Exemplo 3.11. [1] lim x→+∞ ( x5 + 3x3 + x + 1 ) . Como lim x→+∞ ( 1 + 3 x2 + 1 x4 + 1 x5 ) = 1; temos, lim x→+∞ ( x5 + 3x3 + x + 1 ) = lim x→+∞ x5 ( 1 + 3 x2 + 1 x4 + 1 x5 ) = lim x→+∞ x5 = +∞. [2] lim x→−∞ ( x5 + 3x3 + x + 1 ) . Como lim x→−∞ ( 1 + 3 x2 + 1 x4 + 1 x5 ) = 1; temos, 138 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES < π 2 , temos cos(θ) < θ sen(θ) < sec(θ), ou cos(θ) < sen(θ) θ < sec(θ) se 0 < θ < π 2 . Como lim θ→0+ cos(θ) = lim θ→0+ sec(θ) = 1, segue que lim θ→0+ sen(θ) θ = 1. Por ser sen(θ) θ uma função par: lim θ→0− sen(θ) θ = 1; logo, lim θ→0 sen(θ) θ = 1. 1 Figura 3.19: Gráfico da função f(x) = sen(x)x se x 6= 0 e f(0) = 1. [2] Segundo limite fundamental: lim x→±∞ ( 1 + 1 x )x Façamos uma tabela usando a função f(x) = ( 1 + 1 x )x x > 0 f(x) 101 2.59374 102 2.70481 103 2.71692 104 2.71815 x < 0 f(x) −101 2.86797 −102 2.73200 −103 2.71964 −104 2.71842 -4 -2 0 2 4 1 2 3 4 5 6 Figura 3.20: Gráfico de f(x) = ( 1 + 1 x )x para x 6= 0. É possível provar que: lim x→±∞ ( 1 + 1 x )x = e, 3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 139 onde e ≃ 2.71828... é o número de Euler. A prova direta desta propriedade poderá ser encon- trada na bibliografia intermediária ou avançada. [3] Terceiro limite fundamental. Seja a ∈ R, a > 0, a 6= 1, então: lim x→0 (ax − 1 x ) = ln(a) Em particular, e é a única base da exponencial tal que: lim x→0 (ex − 1 x ) = ln(e) = 1 Veja o próximo exemplo, item [7]. Exemplo 3.13. [1] Calcule lim x→0 tg(x) x . lim x→0 tg(x) x = lim x→0 ( sen(x) x cos(x) ) = lim x→0 (sen(x) x ) lim x→0 ( 1 cos(x) ) = 1. [2] Calcule lim x→0 sen(2x) sen(3x) . lim x→0 sen(2x) sen(3x) = 2 3 lim x→0 ( sen(2x) 2x ) lim x→0 ( 3x sen(3x) ) = 2 3 . [3] Calcule lim x→0 ( 1 + x ) 1 x . Seja x = 1t ; se x → 0 então t → ±∞; logo: lim x→0 ( 1 + x ) 1 x = lim t→±∞ ( 1 + 1 t )t = e. [4] Calcule lim x→±∞ ( 1 + b x )x, onde b é um número real. Seja xb = t, então: limx→±∞ ( 1 + b x )x = ( lim t→±∞ ( 1 + 1 t )t)b = eb. [5] Calcule lim x→±∞ ( 1 + 1 x + b )x, onde b é um número real. Seja x + b = t, então: lim x→±∞ ( 1 + 1 x + b )x = lim t→±∞ ( 1 + 1 t )t−b = e. [6] Sabemos que se uma quantia A0 é investida a uma taxa r de juros compostos, capitalizados m vezes ao ano, o saldo A(t), após t anos é dado por A(t) = A0 (1 + rm) mt. Se os juros forem capitalizados continuamente, o saldo deverá ser: A(t) = lim m→+∞ A0 ( 1 + r m )mt = A0 lim m→+∞ (( 1 + r m )m)t = A0 e rt. [7] Calcule lim x→±∞ (x + 2 x − 1 )x+b, onde b é um número real. lim x→±∞ (x + 2 x − 1 )x+b = lim x→±∞ ( 1 + 3 x − 1 )x lim x→±∞ ( 1 + 3 x − 1 )b = e3. [8] Verifique que lim x→0 ax − 1 x = ln(a). 140 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Seja t = ax − 1; então ln(ax) = ln(t+1); logo x ln(a) = ln(t+1) e x = ln(t + 1) ln(a) . Quando x → 0 temos que t → 0 e: lim x→0 ax − 1 x = lim t→0 t ln(t + 1) ln(a) = ln(a) lim t→0 1 1 t ln(t + 1) = ln(a) lim t→0 1 ln((1 + t) 1 t ) = ln(a). [9] Calcule lim x→0 ax − bx x , onde a, b > 0 e a, b 6= 1. lim x→0 ax − bx x = lim x→0 ax − 1 + 1 − bx x = lim x→0 (ax − 1 x − b x − 1 x ) = ln(a) − ln(b) = ln (a b ) . [10] Se 2a + 2a−1 = 192 e lim x→+∞ (1 + a x )ax = L, determine ln(L). Primeiramente, note que L = ea 2 ; então, ln(L) = a2. Por outro lado 2a + 2a−1 = 3 × 2a−1; logo, 3 × 2a−1 = 192, donde 2a−1 = 26 e a = 7. Portanto, ln(L) = 49. 3.7 Assíntotas Definição 3.5. A reta y = b é uma assíntota horizontal ao gráfico da função y = f(x) se pelo menos uma das seguintes afirmações é verdadeira: lim x→+∞ f(x) = b ou lim x→−∞ f(x) = b. Exemplo 3.14. [1] Esbocemos o gráfico da função logística: L(t) = A 1 + B e−Ct onde A, B, C ∈ R. Dom(L) = R e a curva passa por (0, A 1 + B ). Por outro lado lim t→+∞ L(t) = A; logo, y = A é uma assíntota horizontal. Por outro lado lim t→−∞ L(t) = 0; logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. No caso em queL = L(t) descreve o crescimento de uma população, o valorA é dito valor limite da população e corresponde ao númeromáximo de indivíduos que um ecossistemapode suportar. x y Figura 3.21: Gráfico da função logística. [2] A função f(x) = sech(x) possui uma assíntota horizontal y = 0. 3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 143 k = 1 e f1(−1) < 0; então, lim x→−1+ f(x) = −∞ e lim x→−1− f(x) = +∞; logo x = 1 e x = −1 são assíntotas verticais. Por outro lado, lim x→±∞ f(x) = 1; logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. -4 -2 2 4 -2 -1 1 2 Figura 3.25: gráfico de y = x 2 x2−1 . 3.8 Continuidade de Funções A noção de continuidade em Matemática é a que utilizamos no dia a dia, isto é, onde não há interrupção ou, então, onde não existem partes separadas umas das outras. Nos parágrafos anteriores, estudamos o comportamento de uma função y = f(x) para valores de x próximos de um ponto a. Pode acontecer que o limite de f(x) quando x tende a a exista, mas que f não seja definida em a; ou ainda, pode acontecer que o limite seja diferente de f(a). Estudaremos, agora, uma classe especial de funções, onde se verifica que: lim x→a f(x) = f(a). Definição 3.7. Seja f uma função e a ∈ Dom(f), ondeDom(f) é um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos. f é dita contínua em a, se: 1. lim x→a f(x) existe. 2. lim x→a f(x) = f(a). Se f não verifica qualquer das condições da definição, f é dita descontínua em a. Exemplo 3.16. [1] Considere: f(x) =    x2 − 1 x − 1 se x 6= 1 1 se x = 1. Note queDom(f) = R, mas f não é contínua em 1. De fato, lim x→1 f(x) = lim x→1 (x + 1) = 2 6= f(1). Veja o desenho: 144 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 2 1 Figura 3.26: Observe que se redefinirmos a função, fazendo f(1) = 2, a função será contínua em todos os pontos de R. Verifique este fato. [2] Seja: uc(x) = { 1 se x ≥ c 0 se x < c. A função degrau unitário y = uc(x) não é contínua em c, pois não existe lim x→c uc(x). c 1 Figura 3.27: Função degrau unitário. Intuitivamente, a continuidade de uma função em um ponto indica que o gráfico da função não apresenta saltos nesse ponto (veja o desenho anterior). [3] f(x) = x2 − 1 x − 1 é uma função contínua em todo ponto de seu domínio. De fato f(x) = x + 1 se x 6= 1 e lim x→x0 f(x) = x0 + 1 = f(x0). [4] O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é dado por: φ(x) = { 2π σ ( √ x2 + a2 − x ) se x ≥ 0 2π σ (√ x2 + a2 + x ) se x < 0. a, σ > 0; φ é contínua em 0. De fato, como lim x→0− φ(x) = lim x→0+ φ(x) = 2π σ a, lim x→0 φ(x) existe e lim x→0 φ(x) = φ(0). Então, φ é contínua em 0. 3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 145 [5] Seja f(x) =      2x − 2 se x < −1 Ax + B se x ∈ [−1, 1] 5x + 7 se x > 1. Ache A e B tais que f seja uma função contínua em R. Os pontos problemáticos do domínio de f são x = −1 e x = 1. Utilizando a definição, f é contínua se:    lim x→−1− f(x) = lim x→−1+ f(x) lim x→1− f(x) = lim x→1+ f(x), que é equivalente ao sistema: { A − B = 4 A + B = 12; logo, A = 8 e B = 4. Então: f(x) =      2x − 2 se x < −1 8x + 4 se − 1 ≤ x ≤ 1 5x + 7 se x > 1. -3 -2 -1 1 2 3 -10 -5 5 10 15 20 Figura 3.28: A continuidade também pode ser expressa em função de ε e δ. De fato, lim x→a f(x) = f(a) significa que: para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, se x ∈ Dom(f) e |x − a| < δ, então |f(x) − f(a)| < ε. Em outras palavras, f é contínua em a quando para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε) desde que x ∈ (a − δ, a + δ) ∩ Dom(f). Proposição 3.8. Sejam f e g funções contínuas no ponto a. Então: 1. αf + β g são contínuas em a, para todo α, β ∈ R. 2. f g é contínua em a. 3. f g é contínua em a, se a ∈ Dom (f g ) . As provas destas propriedades decorrem imediatamente das definições. 148 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Prova: Im(f) ⊂ Dom(g). Como g é contínua em b = f(a), para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que se y ∈ Im(f) e |y − b| < δ1, então |g(y) − g(b)| < ε. Por outro lado f é contínua em a; logo, existe δ2 > 0 tal que se x ∈ Dom(f) e |x − a| < δ2, então |f(x) − f(a)| = |f(x) − b| < δ1. Logo, se x ∈ Dom(f) ∩ (a − δ2, a + δ2), |g(f(x)) − g(f(a))| < ε. Exemplo 3.19. [1] A função h(x) = |x2+2x+1| é uma função contínua emR, pois h é a composta das seguintes funções: f(x) = x2 + 2x + 1 e g(x) = |x|; ambas funções são contínuas em R. (Verifique !). [2] A função h(x) = ex 2+5x+2 é contínua. (Verifique !). [3] A função h(x) = sen (x6 − x2 x2 + 4 ) é contínua. (Verifique !). O teorema seguinte estabelece que com hipóteses adequadas, uma função f , definida num intervalo fechado [a, b], assume todos os valores entre f(a) e f(b); em outras palavras, para que f passe de f(a) a f(b) tem que passar por todos os valores intermediários. A definição anterior de continuidade foi feita considerando como domínios intervalos abertos ou reunião de intervalos abertos; então necessitamos da seguinte definição: Definição 3.9. Seja f : [a, b] → R; f é contínua em [a, b] se: 1. f é contínua em (a, b). 2. lim x→a+ f(x) existe e lim x→a+ f(x) = f(a). 3. lim x→b− f(x) existe e lim x→b− f(x) = f(b). As condições 2 e 3, são chamadas continuidades laterais, à direita e à esquerda, respectiva- mente. Teorema 3.5. (do Valor Intermediário) Se f : [a, b] → R é uma função contínua em [a, b] e f(a) < d < f(b) ou f(b) < d < f(a), então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d. Para a prova, veja [TA], [RC] ou [WR]. Exemplo 3.20. Seja f : [−1, 1] → R tal que f(x) = x3 − cos(πx) + 1; então f assume o valor 3 2 . De fato f é contínua e 1 = f(−1) < 3 2 < f(1) = 3; logo, do teorema, temos que existe c ∈ (−1, 1) tal que f(c) = 3 2 . 3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 149 -1.0 -0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 1.5 Figura 3.32: Corolário 3.6. Seja f : [a, b] → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) e f(b) tem sinais opostos, ou seja f(a) f(b) < 0, então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0. a c c b c Figura 3.33: Aplicações Este resultado pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio de grau ímpar. De fato, seja f(x) = xn + a1 x n−1 + ....... + an−1 x + an uma função polinomial de grau n ímpar, ai ∈ R. Para os x 6= 0, escrevemos: f(x) = xn [ 1 + a1 x + ....... + an xn ] . Como lim x→±∞ [ 1 + a1 x + ....... + an xn ] = 1; então, lim x→+∞ f(x) = +∞ e lim x→−∞ f(x) = −∞, pois, n é ímpar. Logo, existem x1 < x2 tais que f(x1) < 0 e f(x2) > 0. f é contínua no intervalo [x1, x2]; pelo corolário, existe c ∈ (x1, x2) tal que f(c) = 0. Se n é par, a conclusão é falsa. O polinômio f(x) = x2 + 1 não possui raízes reais. Exemplo 3.21. [1] A equação x3 − 4x + 2 = 0 possui 3 raízes reais distintas. 150 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES De fato, a função f(x) = x3 − 4x + 2 é contínua em R; logo, é contínua em qualquer intervalo fechado. Considere: x1 x2 f(x1) · f(x2) Conclusão -3 -2 -26 Existe c1 ∈ (−3,−2) tal que f(c1) = 0. 1 0 -2 Existe c1 ∈ (0, 1) tal que f(c2) = 0. 1 2 -2 Existe c3 ∈ (1, 2) tal que f(c3) = 0. -1-2 1 2 2 Figura 3.34: Exemplo [1] [2] A equação 2x ln(x2 + 1) + x3 log6(e−x) − 1 20 = 0 possui pelo menos 4 raízes reais distintas no intervalo [−1, 2]. De fato, a função f(x) = 2x ln(x2 + 1) + x3 log6(e−x) − 1 20 é contínua em [−1, 2] e f(−1) ≃ −0.26, f(−0.5) ≃ 0.072, f(0) = −0.05, f(0.5) ≃ 0.23 e f(2) ≃ −8.57; então: x1 x2 f(x1) · f(x2) Conclusão −1 −0.5 −0.019 Existe c1 ∈ (−1,−0.5) tal que f(c1) = 0. −0.5 0 −0.003 Existe c1 ∈ (−0.5, 0) tal que f(c2) = 0. 0 0.5 −0.011 Existe c3 ∈ (0, 0.5) tal que f(c3) = 0. 0.5 2 −0.586 Existe c4 ∈ (0.5, 2) tal que f(c4) = 0. -1 1 2 Figura 3.35: Exemplo [2] 3.9. EXERCÍCIOS 153 (c) lim x→3 x2 − 9 x2 − 3x (d) lim x→1 2x2 − 3x + 1 x − 1 (e) lim x→0 x2 − a2 x2 + 2 ax + a2 (f) lim x→0 x6 + 2 10x7 − 2 (g) lim x→2 2 − x 2 − √ 2x (h) lim h→0 (t + h)2 − t2 h (i) lim x→1 x4 − 1 3x2 − 4x + 1 (j) lim x→2 8 − x3 x2 − 2x (k) lim x→−1 x + 1√ 6x2 + 3 + 3x (l) lim x→0 √ 9 + 5x + 4x2 − 3 x (m) lim x→0 √ x + 4 − 2 x (n) lim x→7 2 − √ x − 3 x2 − 49 (o) lim x→1 x4 + x3 − x − 1 x2 − 1 (p) lim x→−2 x + 2√ x + 2 (q) lim x→0 1 √ cos2(x) + 1 − 1 (r) lim x→a √ x −√a√ x2 − a2 (s) lim x→a √ x −√a + √x − a√ x2 − a2 (t) lim x→1 x2 − x 2x2 + 5x − 7 (u) lim x→−2 x3 + 8√ x + 2 5. Calcule os seguintes limites laterais: (a) lim x→0± √ 1 − cos(2x) x (b) lim x→0± cos( π x ) (c) lim x→0± [[x]] 6. Verifique se os seguintes limites existem: (a) lim x→1 x3 − 1 |x − 1| (b) lim x→3 |x − 3| (c) lim x→1 x2 − 3x + 2 x − 1 (d) lim x→5 x3 − 6x2 + 6x − 5 x2 − 5x (e) lim x→−4 x2 + 3x − 4 x3 + 4x2 − 3x − 12 (f) lim x→8 x − 8 3 √ x − 2 (g) lim x→0 (cos(x) − [[sen(x)]]) (h) lim x→0 (sen(x) − [[cos(x)]]) (i) lim x→0+ x a ∣ ∣ b x ∣ ∣ (j) lim x→0+ [[ x a ]] 7. Calcule os seguintes limites no infinito: (a) lim x→+∞ 2x3 + 5x + 1 x4 + 5x3 + 3 (b) lim x→+∞ 3x4 − 2√ x8 + 3x + 4 (c) lim x→−∞ x2 − 2x + 3 3x2 + x + 1 (d) lim x→+∞ x x2 + 3x + 1 (e) lim x→+∞ √ x2 + 1 3x + 2 (f) lim x→−∞ √ x2 + 1 3x + 2 154 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (g) lim x→+∞ √ x + 3 √ x x2 + 3 (h) lim x→+∞ (x − √ x2 + 1) (i) lim x→−∞ 3 √ x x2 + 3 (j) lim x→+∞ 3 √ x3 + 2x − 1√ x2 + x + 1 (k) lim x→+∞ ( √ x + 1 − √ x + 3) (l) lim x→+∞ x5 + 1 x6 + 1 (m) lim x→+∞ x3 + x + 1 3 √ x9 + 1 (n) lim x→+∞ √ x4 + 2 x3 (o) lim x→+∞ √ x2 x3 + 5 (p) lim x→+∞ √ x − 1√ x2 − 1 (q) lim x→+∞ 2x2 − x + 3 x3 + 1 (r) lim x→+∞ 3 √ x2 + 8 x2 + x (s) lim x→+∞ 4x x2 − 4x + 3 (t) lim x→+∞ 3x4 + x + 1 x4 − 5 (u) lim x→−∞ x5 + x4 + 1 x6 + x3 + 1 (v) lim x→−∞ x9 + 1 x9 + x6 + x4 + 1 (w) lim x→+∞ 2x + 11√ x2 + 1 (x) lim x→−∞ 6 − 7x (2x + 3)4 8. Calcule os seguintes limites infinitos: (a) lim x→+∞ x3 + 3x + 1 2x2 + x + 1 (b) lim x→2+ x2 + 3x x2 − 4 (c) lim x→1+ x3 − 1 x2 − 2x + 1 (d) lim x→+∞ (5 − 4x + x2 − x5) (e) lim x→−∞ 5x3 − 6x + 1 6x2 + x + 1 (f) lim x→+∞ m √ x (g) lim x→3+ 5 3 − x (h) lim x→0+ 2x + 1 x (i) lim x→1+ 2x + 3 x2 − 1 (j) lim x→1− 2x + 3 x2 − 1 (k) lim x→3+ x2 − 3x x2 − 6x + 9 (l) lim x→2+ x2 − 4 x2 − 4x + 4 (m) lim x→0+ sen(x) x3 − x2 (n) lim x→0+ ln(x) x (o) lim x→0 ln(|x|) (p) lim x→0 tg(x) x3 (q) lim x→π 2 + tg(x) (r) lim x→0 |x| x3 sen(x) (s) lim x→ 2 3 + x2 4 − 9x2 (t) lim x→0+ √ x − 1√ x (u) lim x→1+ x − 1√ x − 1 (v) lim x→ 3 5 − 1 5x − 3 9. Se f(x) = 3x − 5 e g(x) = x 2 − 2 3 , calcule: (a) lim x→1 (f + g)(x) (b) lim x→1 (g − f)(x) (c) lim x→1 (g f)(x) (d) lim x→1 (f g ) (x) (e) lim x→1 ( g f ) (x) (f) lim x→1 (f f)(x) (g) lim x→2 (f ◦ g)(x) (h) lim x→2 (g ◦ f)(x) (i) lim x→− 3 2 (f ◦ g ◦ f)(x) (j) lim x→2 ln(|f(x)|) (k) lim x→ 4 3 cos ( g(x) f(x) ) (l) lim x→0 x sen ( 1 g(x) ) (m) lim x→0 x tg ( 1 g(x) ) (n) lim x→0 x cotg ( 1 g(x) ) 3.9. EXERCÍCIOS 155 10. Calcule os seguintes limites: (a) lim x→0 sen(3x) x (b) lim x→0 x2 sen(x) (c) lim x→0 tg(3x) sen(4x) (d) lim x→π 2 1 − sen(x) 2x − π (e) lim x→π sen(x) x − π (f) lim x→+∞ x sen( 1 x ) (g) lim x→0 x − tg(x) x + tg(x) (h) lim x→+∞ (1 + 2 x )x+1 (i) lim x→0 ( 1 + 1 2x )x (j) lim x→0 (1 + 2x) 1 x (k) lim x→0 e2x − 1 x (l) lim x→0 ex 2 − 1 x (m) lim x→0 5x − 1 x (n) lim x→0 3x − 1 x2 (o) lim x→0 eax − ebx sen(ax) − sen(bx) , a, b 6= 0 (p) lim x→0 x cos2(x) (q) lim x→0 tg2(x) x2 sec(x) (r) lim x→+∞ (1 − 4 x )x+4 (s) lim x→−∞ (1 − 1 x )x 11. Calcule lim x→a f(x) − f(a) x − a e limt→0 f(t + a) − f(a) t , se: (a) f(x) = x2, a = 2 (b) f(x) = x2 + 1, a = 2 (c) f(x) = 3x2 − x, a = 0 (d) f(x) = |x|2, a = 2 (e) f(x) = √ x, a = 1 (f) f(x) = x (1 − x), a = 1 (g) f(x) = cos(x), a = π (h) f(x) = (x − 3)2, a = 1 (i) f(x) = ln(x), a = 1 (j) f(x) = e2x, a = 0 12. Se |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|2, para todo x, y ∈ R, verifique que: lim x→a f(x) − f(a) x − a = 0. 13. Verifique que lim x→+∞ ( √ x + √ x − √ x − √ x) = 1. 14. No problema 51 do capítulo II, foi visto que o custo para remover x% de resíduos tóxicos num aterro é dado por S(x) = 0.8x 100 − x , 0 < x < 100. (a) Calcule lim x→100− S(x). (b) Interprete o resultado obtido. 15. Suponha que 2000 reais são investidos a uma taxa de juros anual de 6% e os juros são capitalizados continuamente. (a) Qual é o saldo ao final de 10 anos? E de 50 anos? 158 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 24. Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real: (a) x3 + x2 − 4x − 15 = 0 (b) cos(x) − x = 0 (c) sen(x) − x + 1 = 0 (d) 2x + x2 = 0 (e) x5 − x3 + x2 = 0 (f) x7 + x5 + 1 = 0 25. Seja f(x) = 1 − x sen (1 x ) , x 6= 0. Como escolher o valor de f(0), para que a função f seja contínua em x = 0? 26. Sendo f(x) = arctg ( 1 x − 2 ) , x 6= 2, é possível escolher o valor de f(2) tal que a função f seja contínua em x = 2? 27. Determine f(0) de modo que as seguintes funções sejam contínuas em x = 0: (a) f(x) = 1 − cos(x) x2 ; (b) f(x) = x ln(x + 1) − x ln(x − 1); c) f(x) = x cotg(x). 28. A função sinal de x é definida por: sgn(x) =      1 se x > 0 0 se x = 0 −1 se x < 0. Verifique se f(x) = sgn(x) e g(x) = x sgn(x) são funções contínuas. 29. Dê um exemplo de duas funções descontínuas cuja soma seja contínua. 30. Verifique que a equação x = tg(x) tem uma infinidade de raízes reais. 31. Seja f(x) = x3 4 − sen(π x)+ 3. A função f atinge o valor 7 3 no intervalo [−2, 2]? Justifique sua resposta. 32. Uma esfera oca de raio R está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade de um campo elétrico E(x) num ponto P localizado a x unidades do centro da esfera é determinada pela função: E(x) =        0 se 0 < x < R 1 3x2 se x = R x−2 se x > R. Verifique se a função E = E(x) é contínua. Esboce o gráfico de E. 3.9. EXERCÍCIOS 159 33. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada e, é definida por: H(t) = { 0 se t < 0 1 se t ≥ 0 (a) Discuta a contínuidade de f(t) = H(t2 + 1) e de g(t) = H(sen(π t)). Esboce os respec- tivos gráficos em [−5, 5]. (b) A função R(t) = c t H(t) (c > 0) é chamada rampa e representa o crescimento gradual na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de R e esboce seu gráfico para c = 1, 2, 3. (c) Verifique que uc(t) = H(t − c). (d) Se h(t) = { f(t) se 0 ≤ t < c g(t) se t ≥ c , verifique que h(t) = (1 − uc(t)) f(t) + uc(t) g(t). 34. A aceleração devida a gravidade G varia com a altitude em relação à superfície terreste. G é função de r (a distância ao centro da terra) e, é dada por: G(r) = { g M r R3 se r < R g M r2 se r ≥ R, onde R é o raio da terra,M a massa da terra e g a constante gravitacional. Verifique se G é contínua. Esboce o gráfico de G. 35. Seja f : [0, 1] −→ [0, 1] contínua. Verifique que existe x0 ∈ [0, 1] tal que f(x0) = x0. 36. Sejam f, g : [a, b] −→ R contínuas tais que f(a) < g(a) e f(b) > g(b). Verifique que existe x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = g(x0). 37. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função: f(t) = { t2 + 7 se t < 5 −8t + 72 se 5 ≤ t. Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em algummomento entre t = 1 e t = 7. 38. Verifique que a função f : R −→ R definida por f(x) = x 3 4 − sen(π x) + 3 assume o valor 4 3 . 160 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES