Física I - Trabalho e Energia

Física I - Trabalho e Energia

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Unidade IVTrabalho e Energia

1. Situando a Temática

Vimos que a partir das leis de Newton podemos estudar o movimento de qualquer objeto, que não seja nem quântico e nem relativístico. No entanto, alguns problemas de mecânica podem ser resolvidos mais facilmente, em alguns casos unicamente, utilizando a energia do sistema. Assim, nesta seção nós introduziremos o conceito de energia e estabeleceremos alguns resultados para a solução de problemas em mecânica.

2. Problematizando a Temática

Nossa primeira dificuldade é justamente encontrar uma definição “fechada” para a energia. Certamente você já ouviu falar de “muitas energias”; energia elétrica, energia nuclear, energia térmica, etc. Entretanto, como seria a definição técnica que contemple todas estas coisas simultaneamente. Por causa destas dificuldades, vamos nos concentrar no ponto de vista da dinâmica.

A energia aparece de muitas formas diferentes, e por isso o conceito de energia de um sistema se torna muito amplo e difícil de precisar. Tecnicamente, a energia é uma grandeza escalar que está associada a uma dada configuração do sistema. Quando o sistema evolui de uma configuração para outra, sua energia muda. Como ponto de partida, podemos pensar que a energia é um número que está associado a uma configuração possível para um sistema composto de um ou mais objetos. Desta forma, quando uma força atua sobre o sistema fazendo com que ele seja acelerado, o número (energia) associado ao sistema muda. É essa variação que nos ajudará no estudo de alguns problemas que têm soluções complicadas quando tratados apenas com as leis de Newton. Neste capítulo vamos nos ater a uma única forma de energia: energia mecânica.

3. Energia Cinética

A energia cinética é a energia associada ao movimento de um cor- po. Quando um objeto de massa m se move com velocidade v→ , dizemos que ele possui uma energia cinética, K, definida como:

mvK=(energia cinética) (4.1)

onde v = | v → |. Desta forma, quanto maior for a velocidade do corpo e/ou sua massa, maior será a sua energia cinética. Devemos notar que a energia cinética de um objeto não tem um valor absoluto, uma vez que ela depende da velocidade e a velocidade depende do referencial. Desta forma, um corpo pode ter energia cinética nula quando medida no sistema de referência S e assumir um outro valor qualquer no referencial S. Entretanto, isto não será um obstáculo para a solução dos nossos problemas pois nós estaremos interessados nas variações da energia do sistema quando este evolui de uma configuração A para uma configuração B. No SI, qualquer forma de energia será medida em joules (J) . Assim, a partir da Eq. (7.1) definimos: 21 smkgJjoule /⋅==

Como exemplo, um automóvel de 1000 kg (1 tonelada) viajando a 30 m/s (108 km/h) terá uma energia cinética de 1000 kg × (30 m/s)2 = 9 × 105 J.

4. Trabalho Realizado Por Uma Força

O conceito de trabalho realizado por uma força está, de muitas maneiras, ligado a ações do dia-a-dia, como levantar um objeto ou arrastar um móvel. Fisicamente falando, quando um agente externo aplica uma força sobre um sistema ele promove uma transferência de energia para o sistema. Chamaremos essa transferência de energia de trabalho. Diremos então que este agente, ou esta força, realizou um trabalho sobre o sistema. Matemati- camente, o trabalho realizado por uma força F → que atua sobre uma partícula durante um intervalo de tempo dt é definido como:

rdFdW r ⋅= (trabalho realizado por uma força) (4.2) onde dr → = r → (t + dt) – r → (t) é o deslocamento da partícula no intervalo de tempo dt (Fig. 4.1) e dW é o trabalho infinitesimal realizado pela força durante esse intervalo de tempo infinitesimal.

Quando uma força F → atua sobre um corpo durante um intervalo de tempo macroscópico ∆t = tfinal – tinicial e a partícula se desloca desde uma po-

sição inicial A determinada pelo vetor posição rA→ , até uma posição final B, determinada pelo vetor posição rB→ , então o trabalho deverá ser calculado co- mo uma soma das infinitas contribuições da Eq. (4.2), ao longo da trajetória.

BAr r

F BA rdFW

Como trabalho realizado por uma força corresponde à transferência de algum tipo de energia de um sistema para outro, ele será medido em unidades de energia que no SI é o joule (J).

5. Trabalho Realizado Por Uma Força Constante

Quando a força que atua sobre o corpo é constante, então a integral em (3.2) pode ser resolvida facilmente como:

dF rFrrF rdFrdFW r r r r r r onde d → é o vetor deslocamento do objeto da posição A para a posição B.

Vamos considerar como exemplo a força gravitacional exercida pela

Terra sobre outras massas. Próximo da superfície a força gravitacional, ou peso, pode ser considerada constante. Nestas condições o trabalho realizado pelo peso sobre um corpo de massa m que vai de uma posição A até uma posição B, por uma trajetória qualquer (Fig. 4.2), será dado por:

AB y r r ymg yymgdymg kdzjdyidxjmg rdPW r r

ou r r ymg kzjyixjmg rPrrP rdP rdPW r r r r r r

Este resultado é exatamente o mesmo que:

ymg kzjyixjmg dPrPW

Problema Resolvido 4.1

Um bloco de 10 kg, sustentado por uma força horizontal de 50 N (Fig. 4.3), desce desde A até B com velocidade constante de 2 m/s. (a) Qual o trabalho realizado pela força F no trecho AB? (b) Qual o trabalho realizado pelo peso no trecho AB? (c) Qual o trabalho total realizado pela força de atrito no trecho AB? (d) Qual o valor da força de atrito dinâmica? (Use g = 10 m/s2) SOLUÇÃO: Como as forças são constantes, calcularemos os trabalhos fazendo, simplesmente, o produto da força pelo deslocamento. Assim,

(a) O trabalho realizado pela força F → é dado por:

rFrFW r

(b) O trabalho realizado pela força P → é dado por:

rPrPW r

(c) O trabalho realizado pela força de atrito fd

→ será obtido a partir do teorema do Trabalho-Energia:

AB (fat)

AB total ABKWWWW∆=++=

Como o bloco se desloca com velocidade constante, a variação da energia cinética é nula. Então,

O trabalho realizado pela força de atrito é escrito como:

W f

6. Trabalho Realizado Por Uma Força Variável

Nem sempre as forças que atuam num sistema são constantes. No mundo real, as forças resultantes que atuam sobre os sistemas físicos rara- mente são constantes. Elas podem variar com o tempo e com a posição, F → =

F → (x,y,z,t). Neste primeiro curso de física, as forças que variam com o tempo não serão abordadas. Consideraremos apenas as forças que variam com a posição.

O exemplo mais simples de força variável é o de uma força que varia linearmente em uma única direção. Uma força deste tipo é a força elástica de uma mola que satisfaz a lei de Hook, ou seja F →

= – k x i → onde x é o deslo-

camento em relação à posição de equilíbrio e k é a constante elástica da mola (Fig. 4.4). O sinal negativo indica que a força tem sentido contrário àquela da deformação x. Forças que se opõem às deformações são chamadas de forças restauradoras. Queremos calcular o trabalho realizado pela força elástica da mola sobre um bloco de massa m que vai da posição de equilíbrio xA = 0 até uma posição xB qualquer. Além da força da mola, outras forças atuam sobre o bloco. Neste exemplo em particular devemos ter ao menos uma força de con- tato entre o bloco e a superfície. Então, da Eq. 4.3 podemos calcular o traba- lho realizado pela força F → m exercida pela mola;

BAB x x x mF BA xkxxkkxdx kdzjdyidxikxrdFW

∫∫ r

Assim ao distendermos ou comprimirmos uma mola em uma distância x, em relação à sua posição de equilíbrio, o trabalho realizado pela força elástica da mola será:

O sinal negativo indica que a mola se opõe às deformações.

7. Teorema do Trabalho Energia

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