Física I - Movimento de Rotação

Física I - Movimento de Rotação

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Unidade VIMovimento de Rotação

1. Situando a Temática

Já dissemos que a partir das leis de Newton podemos estudar o movimento de qualquer corpo do ponto de vista da mecânica clássica. Também já estudamos um pouco da cinemática da rotação; o movimento circular uniforme. Agora, a partir das leis de Newton, estudaremos o movimento circular com aceleração angular e a dinâmica da rotação.

No estudo da dinâmica da rotação definiremos novas grandezas como o torque e o momento de inércia. Além disso, encontraremos resultados análogos para a rotação, àqueles do movimento de translação.

2. Problematizando a Temática

O primeiro problema é definir um movimento de rotação. Temos duas possibilidades que nos interessam aqui: Primeiro, o movimento de um corpo que está apenas girando; como um disco do rei Roberto Carlos num toca-discos. Segundo, o movimento de um corpo que além de girar está também se deslocando; como o de uma roda de um automóvel. O primeiro caso é chamado de rotação pura. É um movimento de rotação onde pelo menos um ponto permanece em repouso. O segundo caso é chamado de rolamento. Movimentos quaisquer de rotação e translação combinados, como um bastão arremessado para cima, não serão estudados aqui.

3. Cinemática da Rotação

Na seção I.7.2 estudamos o movimento circular uniforme. Nesta seção estudaremos o movimento circular com aceleração.

Vimos que a aceleração de uma partícula mede a taxa de variação de sua velocidade com o tempo. No caso do movimento angular, nós estamos interessados na variação da velocidade angular. Se a velocidade angular de um corpo sofre uma variação ∆ω num intervalo de tempo ∆t, definimos aceleração angular média como:

=αmédia(aceleração angular média) (6.1)

Lembrando que ∆ω = ω(t + ∆t) – ω(t).

Quando ∆t → 0, encontramos a aceleração angular instantânea, que mede a variação da velocidade de uma partícula num intervalo de tempo infinitesimal:

dtdt t lim0 (aceleração angular instantânea) (6.2)

Na Eq. 2.35 encontramos v = R ω, que é a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular. Se nós derivarmos a Eq. 2.35 com relação ao tempo, obtemos:

d R

Isto relaciona a componente da aceleração linear que é tangente à trajetória (que faz v mudar) com a aceleração angular (que faz ω mudar). A componente radial da aceleração muda a direção e o sentido do vetor v→ , mas não o seu módulo.

Para um movimento circular com aceleração angular constante, valem as equações do movimento uniformemente variado, i.e.,

inicial2 final

4. Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia

Para calcular a energia cinética de rotação, usaremos a definição dada na Eq. 4.1;

Vamos considerar então um sistema formado por n partículas, todas girando com a mesma velocidade angular ω, em torno de um eixo. Estamos fazendo as velocidades angulares iguais para simular um corpo rígido. Assim, a energia cinética do sistema será:

Substituindo o resultado da Eq. 4.35a em (6.5), encontramos,

onde mi é a massa da i-ésima partícula e ri o raio do círculo que ela descreve.. Como estamos fazendon21ω=⋅⋅⋅=ω=ω, então

Rotação) de Ciética Energia(2 1 rmrmrmK

A quantidade

é chamada de momento de inércia e faz o papel de massa no movimento de rotação. O momento de inércia mede o quanto é difícil fazer variar a velocidade angular de um corpo em torno de um dado eixo de rotação.

Para uma distribuição contínua de massa, o momento de inércia é calculado como:

∫= volume

2rdmI(distribuição contínua de massa) (6.9)

Esta relação dá o momento de inércia de um corpo rígido.

Note que o momento de inércia (Eq. 6.8 e 6.9) depende da massa e mais “fortemente” de como a massa está distribuída em relação a um dado eixo de rotação.

A Fig. 6.1 exemplifica a dependência do momento de inércia em relação à distribuição da massa. Na verdade, a distribuição da massa não muda. A haste, homogênea, tem uma distribuição única. O que muda é o eixo de rotação em torno do qual ela está girando. Assim, quando falamos em momento de inércia, temos que precisar o eixo de rotação, em torno do qual o corpo está girando.

Para calcularmos um momento de inércia, temos que proceder de forma análoga ao que foi feito para o centro de massa.

Problema Resolvido 6.1

Quatro partículas são colocadas uma em cada canto de um quadrado, como mostra a Fig. 6.2. Considere que elas estejam ligadas por hastes de massas desprezíveis de 2 m de comprimento. Se M = 2 kg, qual o valor do momento de inércia do sistema em relação a um eixo de rotação que passa pelo ponto A, perpendicularmente ao plano da figura.

SOLUÇÃO: Na definição (6.8), o raio do círculo ri é a distância da i-ésima partícula ao eixo de rotação. Assim,

DD2 CC2 BB2 A

Observe que a massa que está “em cima” do eixo (rA = 0) de rotação não contribui para o momento de inércia.

TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS Para uma distribuição contínua de massa, é preciso resolver a inte- gral da Eq. 6.9. Entretanto, muitos momentos de inércia são calculados em relação a um eixo que passa pelo centro de massa do corpo e em seguida são tabelados.

Uma vez conhecido o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, podemos usar o teorema dos eixos paralelos para calcular o momento de inércia em relação a outro eixo:

CMAMHII+=(teorema dos eixos paralelos) (6.10)

Onde:

ICM = Momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa.

H = Distância entre os dois eixos.

IA = é o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto A, paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa.

Problema Resolvido 6.2

Determine o momento de inércia de uma haste homogênea de massa M e comprimento L (Fig. 6.3) que gira em torno de um eixo (a) que passa pelo seu centro de massa (CM), perpendicularmente a ela e (b) que passa por uma das extremidades. SOLUÇÃO: (a) Na definição (6.9), o raio do círculo r é a distância do elemento de massa dm ao eixo de rotação. Assim,

ML xL dx L

M xdmxI haste

(b) Em relação a um eixo que passa pela extremidade, a única mudança em relação aos cálculos feitos no item (a) são os limites de integração;

ML xL dx L

M xdmxI

L haste

Este resultado também pode ser obtido por meio do teorema dos eixos paralelos:

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