mecanica de fluidos

mecanica de fluidos

PFD - Ingeniería Térmica Ingeniería Energética

Mecánica de Fluidos

Introducción a los FluidosFundamentos de Hidrostática

Equilibrio y movimiento relativos

Flujo incompresible no viscoso

Dinámica de los fluidos perfectos

Desarrollo teórico de la lubriocación hidromecánica

Semejanza hidrodinámica y análisis dimensional

Teoría elemental de la capa límite bidimensional

Flijo viscoso incompresible

Cálculo de

tuberías Golpe de arieteFlujo compresible

Tablas de Fanno

Orificios y vertederosTeorema del impulso

Índice Principal - Mecánica de Fluidos http://personales.ya.com/universal/TermoWeb/MecanicaFluidos/index.html [24/07/2003 1:08:5]

Pedro Fernández Díez

I.1.- PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Los fluidos son agregaciones de moléculas, muy separadas en los gases y próximas en los líquidos, siendo la distancia entre las moléculas mucho mayor que el diámetro molecular, no estando fijas en una red, sino que se mueven libremente.

Un fluido se denomina medio continuo, cuando la variación de sus propiedades es tan suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo.

En Mecánica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias, de las que se derivan todas las demás, a saber, masa, longitud, tiempo y temperatura. Las propiedades de los fluidos más interesantes son, a) La isotropía, por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones.

b) La movilidad, por cuanto carecen de forma propia, por lo que se amoldan a la del recipiente que los contiene; a un esfuerzo infinitamente pequeño le corresponde una deformación infinitamente grande. c) La viscosidad, que constituye una resistencia a la deformación, la cual no sigue las leyes del rozamiento entre sólidos, siendo las tensiones proporcionales, en forma aproximada, a las velocidades de las deformaciones; esta Ley fue formulada por Newton, que decía que, cuando las capas de un líquido deslizan entre sí, la resistencia al movimiento depende del gradiente de la velocidad dv/dx, y de la superficie,

F = h S dv dx siendo h la constante de proporcionalidad; ahora bien, la velocidad va variando progresivamente de capa en capa, y no bruscamente. Si la velocidad relativa de desplazamiento es nula, la tensión también lo será. d) La compresibilidad, según la cual, para cualquier esfuerzo a que se someta al fluido, su volumen prácticamente no varía. Así, para el caso del agua, por cada kg/cm2 que aumente su presión, se comprime 1/20.0 de su volumen. Para los fluidos compresibles, el volumen especifico será función de la presión y de la temperatura, siendo complicadas las expresiones que ligan estas variables.

I.-1

Fig I.1.- Isotaquias de velocidades dv/dx

Fluido ideal

Fluido no newtoniano
Sustancias tixotrópicas

Fluido newtoniano Plástico ideal

Tensión de cortadura

Fig I.2.- Comportamiento de algunos fluidos

La expresión general de la compresibilidad k es,

Los fluidos perfectos tienen, a) Isotropía perfecta b) Movilidad perfecta c) Fluidez perfecta, es decir, ausencia de viscosidad d) Compresibilidad nula

De la ausencia de rozamiento en un fluido perfecto, resulta que, a) Toda deformación se efectuaría sin trabajo b) Todo elemento de un fluido, puede ejercer solamente esfuerzos normales sobre un elemento vecino, o sobre una pared próxima

En la Fig I.2 se representan las gráficas cartesianas de algunos de los diferentes tipos de fluidos, tomando como eje de ordenadas, dv/da, y como eje de abscisas el esfuerzo cortante.

En la Ley de Newton enunciada anteriormente, h es la viscosidad absoluta o coeficiente de

I.2.- VISCOSIDAD DINÁMICA Y CINEMÁTICA viscosidad dinámica; despejando este valor en dicha ecuación se tiene,

I.-2 h = FS dxdv = t dxdv siendo la relación FS, el rozamiento por unidad de superficie.

El rozamiento en los líquidos se corresponde con el esfuerzo cortante en los sólidos. Se sabe que, el esfuerzo cortante en los sólidos, origina a veces otros esfuerzos como los de tracción y compresión; lo equivalente en los líquidos es que originan variaciones de presión, de tal modo, que la presión media sobre un elemento considerado, puede verse afectada por una pequeña variación en más o en menos. A la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad del fluido se la conoce como viscosidad cinemática, n = h

Unidades.- El Poise es la viscosidad absoluta h o dinámica de un fluido en el cual, la fuerza de una dina actuando sobre una capa de 1 cm2 de superficie, le imprime una velocidad de 1 cm/seg a otra capa paralela a la misma superficie, situada a 1 cm de distancia.

En consecuencia se tiene,

Sistema cegesimal, 1 Poise = dinas. seg cm2

Sistema técnico, 1 U.T.M. = 98 PoisesÞ 1 Poise = 198

La viscosidad dinámica del agua a 20°C es igual a 0,01 Poises, 1 Centipoise.

La viscosidad cinemática se define en la forma, n = h r , siendo r la densidad.

El coeficiente de viscosidad cinemática n del agua para 0°C y 760 m de presión es,

mientras que a 20°C es de 0,01 Stokes o un Centistoke.

I.3.- MEDIDA DE LA VISCOSIDAD

VISCOSÍMETRO ABSOLUTO CALIBRADO.- Mediante un viscosímetro absoluto calibrado, se determina el tiempo de derrame del volumen constante de líquido cuya viscosidad se desea conocer.

Si el derrame es debido a la acción de su propio peso, se determina la viscosidad cinemática. Si el derrame es debido a una diferencia de presión, se determina la viscosidad dinámica.

El fluido circula a temperatura constante, bajo una diferencia de presión también constante, a través de dos tubos capilares calibrados, Fig I.3.a.

El capilar A se mantiene a temperatura constante; el líquido fluye a través del capilar, desde la bureta graduada cilíndrica B al embudo E, por rebosamiento del tubo grueso C. En el instante t, si la diferencia de nivel del líquido en los dos tubos comunicantes B y C es h, la

I.-3 diferencia de presión que rige el flujo es, g h = r g h. El volumen de líquido dV que fluye durante el tiempo dt viene dado por la expresión, dV = Q dt = p (p0- p1) R4

8 h l dt = p h r g R4 8 h l dt siendo R el radio del capilar, l la longitud del mismo y Q el caudal de fluido que circula.

Llamando V al volumen que ha fluido entre los instantes t1 y t2 correspondientes a los niveles h1 y h2, y dado que la bureta graduada es cilíndrica, se tiene,

- dVdh = V

ÞdV = - V

dh = p h r g R4

8 h l dt

h1- h2 dhh

= p r g R4

dtÞ V

= p r g R4

8 h l (t2- t1) por lo que la viscosidad cinemática es,

n = h

8 l V ln h1 h2 que permite hacer una medida absoluta de la viscosidad cinemática, lo cual comporta la determinación de todas las magnitudes que intervienen en la expresión anterior. También es fundamental definir la temperatura para determinar el estado del fluido.

VISCOSÍMETRO EMPÍRICO.- El viscosímetro empírico se basa en el derrame de líquidos por un pequeño orificio calibrado, Fig I.3.b. Aplicando la ecuación de Poiseuille se puede medir la viscosidad del líquido conociendo su densidad y el tiempo que tardaría en pasar entre dos graduaciones fijas del tubo graduado A y B, conociendo la viscosidad de un líquido patrón n' con el que se le compara, su densidad y el tiempo que tardaría en pasar entre los mismos puntos. Según la ecuación de Poiseuille,

Q = p Dp R4

8 h l

= 2 p D p

= Volumen

Tiempo seg )

El volumen del líquido a medir es,

V = 2 p D p

= Dp = g h = g (h"- h') = r g h = 2 p r g h

El volumen del líquido patrón, es,

V = 2 p D p'

)4 t' h = Dp' = g' h = r' g h = 2 p r' g h

Dividiéndolas miembro a miembro resulta:

I.-4 h h"

M Fig I.3.- Viscosímetros

1 = r t h' r' t' h Þ h r t

Þ n n ' = t t'

La cubeta M tiene que ser lo suficientemente grande como para que el aumento de nivel en la misma sea despreciable; ademas, acelera el paso del líquido por la pipeta, evitando la formación de gotas a la salida por tensión superficial. Para calcular la variación de la presión se toma un valor medio en alturas. Las viscosidades medidas con estos aparatos oscilan entre 0,01 y 15 Poises, oscilando el tiempo de paso entre 70 y 700 segundos.

VISCOSÍMETRO DE CILINDROS COAXIALES.- Para dar una primera definición de la viscosi- dad basta con medir la fuerza necesaria para desplazar, en su plano, una placa plana paralelamente a otra, pero las dificultades prácticas que comportaría la realización de dicha medida, hace

Si se hace girar el cilindro exterior alrededor de su eje a velocidad constante, el cilindro interior tiende a girar en el mismo sentido, por lo que si se desea mantenerlo inmóvil, es necesario ejercer sobre él un par M en sentido inverso al del movimiento del cilindro exterior.

Fig I.4.- Viscosímetro de cilindros coaxiales

En régimen permanente, este par resistente C debe equilibrar el par motor que provoca la rotación del cilindro exterior, ya que no existe ninguna aceleración de la masa del fluido a la cual se apliquen los dos pares; la determinación del par C permite determinar la medida absoluta de la viscosidad del fluido.

I.-5

En el fluido, la velocidad angular varía progresivamente de 0 a, 2 p n, a lo largo de los radios de los cilindros, siendo n el número de revoluciones por minuto del cilindro exterior.

Si se consideran dos circunferencias concéntricas, de radios r y, r + dr, en las que el fluido se mueve con velocidades angulares respectivas, w y w + dw, y si se toman dos partículas de fluido cuyos centros respectivos están sobre estas dos circunferencias, en el instante t, puntos A y B sobre el mismo radio; durante el tiempo dt, si la partícula que estaba en A pasa a A', la partícula que estaba en B pasará a B'.

La partícula cuya velocidad angular sea mayor, está mas lejos que el punto B'', situado sobre el radio que pasa por A; el deslizamiento durante el tiempo dt de la partícula exterior, en relación a la partícula interior, está representado por B”B’ y la diferencia de velocidades en el deslizamiento del espesor de la lámina fluida que contiene las partículas es, B'dt = (r + dr) dw. El gradiente de esta velocidad relativa siguiendo el radio es, despreciando los términos de segun- do orden, r dwdr.

La tensión tangencial en el líquido es, t = Froz

= h dv dr = h r dw dr

El par M es el mismo a lo largo del radio r, ya que debe también equilibrar, en régimen permanente, el par motor C, por lo que, M = C.

Si la longitud vertical de los dos cilindros en contacto con el líquido es L, el momento de las fuerzas de viscosidad respecto al eje es,

M = F r = (2 p r L t) r = 2 p r3L h dwdr ; M = C ; dw = C dr 2 p r3L h

La integración de la ecuación anterior, permite obtener la velocidad angular, que queda en la forma,

w = - C 4 p r2L h + Cte =

Para, r = ri ; w = 0

Cte = C

4 p ri2L h

= - C 4 p r2L h + C

4 p ri2L h

= C 4 p L h (1

Para, r = r2, w = p n30, siendo n el número de rpm del cilindro exterior por lo que despejando la viscosidad h se obtiene, h = C

4 p L w {1

2 p2 L n {1

El cálculo precedente no tiene en cuenta la existencia de las secciones rectas inferiores de los cilindros, por lo que suele introducirse un término correctivo que introduce el fondo circular, de forma que, aproximadamente, se pueda considerar que el fondo se comporta como una altura suplementaria h, quedando la expresión de la viscosidad en la forma,

I.-6 h = 15 C

En este método, la determinación de h se limita a realizar una serie de medidas geométricas

(r1, r2, L), cinemáticas n y mecánicas C. Es evidente que además, la temperatura y la presión del fluido tienen que ser conocidas y medidas.

El aparato debe estar situado en un recinto a temperatura regulable, de forma que se pueda mantener fija en el transcurso de la medida.

Por convenio internacional, existen unidades basadas en el tiempo que tarda el líquido en pasar a través de un orificio perfectamente calibrado.

En Europa se utilizan los grados Engler. En USA se utilizan los segundos Saybold. En Inglaterra se utilizan los segundos Reedwood.

Los grados Engler se obtienen dividiendo el tiempo de vaciado del líquido problema a través del orificio calibrado y el tiempo que tardaría por el mismo orificio un líquido patrón, agua destilada, efectuando ambas mediciones a la misma temperatura; en consecuencia,

Et° = t tagua siendo las temperaturas más usuales para realizar estas mediciones de 20°C, 50°C 100°C.

Los segundos Saybold se obtienen midiendo el tiempo que 60 cm3 de fluido tardaran en circular por un orificio calibrado siendo las temperaturas más usuales de 70°F, 100°F, 130°F y 210°F.

Los segundos Reedwood se obtienen midiendo el tiempo que 50 cm3 de líquido tardarían en circu- lar por un orificio calibrado, siendo las temperaturas mas usuales de 70°F, 100°F, 140°F y 200°F.

Los coeficientes de viscosidad de los aceites lubricantes se expresan en unidades arbitrarias; en

USA se utiliza el número S.A.E., iniciales de Society of Automotive Engineers. A 130°F, la viscosidad de algunos aceites es,

SAE 20, ““ 230 y 330 “
SAE 30, ““ 360 y 430 “

SAE 10, esta comprendida entre 160 y 220 centipoises

I.4.- INFLUENCIA DE LA PRESIÓN Y TEMPERATURA EN LA VISCOSIDAD

Para temperaturas elevadas, la viscosidad de los líquidos es muy pequeña; para un valor de temperatura tendiendo a infinito, se corresponde con un valor cero de la viscosidad. La ecuación que liga la temperatura con la viscosidad es de la forma, Fig I.5,

log ht h 0

T - T0 ; ht = h0 10 siendo h0, C y T0 valores característicos para cada líquido. I.-7 h h

T T Fig I.5.- Influencia de la presión y la temperatura en la viscosidad

Para líquidos, la variación de la viscosidad con la presión viene dada por, hp= h0 ap con h0 y a parámetros característicos para cada líquido.

Para los gases, la ley de dependencia entre la viscosidad y la temperatura, se puede expresar bastante bien por la formula de Sutherland, de la forma,

hT= h0

1 + C T en la que los valores de h0 y C vienen dados en la Tabla I.1 y sirven para valores de T comprendi- dos entre 100°K y 1500°K. Por lo que respecta a las presiones, la viscosidad depende de ellas según la expresión, hp = h0 (1 + b p) conociéndose pocas experiencias que permitan calcular b.

Algunos valores de b son,

Para el CO2 a 25ºC. b = 7470.10-6 Para el benzol a 20ºCb = 930.10-6

Para el aguab = 17.10-6

Tabla I.1.- Valores de C y h0 de la fórmula de Sutherland Fluido C

Se observa que cuando la temperatura del fluido aumenta, la influencia de la presión disminuye. I.-8

I.5.- INDICE DE VISCOSIDAD

Para definir el índice de viscosidad se parte de dos tipos de aceite patrón, a) Un aceite parafínico al que se asigna el índice 100 (Pen-silvania) b) Un aceite asfáltico al que se asigna índice 0 (Gulf Coast)

Mezclando estos aceites patrones en diferentes porcentajes, se obtienen otros índices comprendidos entre 0 y 100; el líquido problema se compara con el más próximo a uno de estos indices, obteniéndose de esta forma el indice del líquido problema.

V.I. (Viscosity index) = 100 ABAC = 100 L - n L - H , si, nfi L ; V.I. = 0 nfi H ; V.I. = 100ì í

Fig I.6.- Indice de viscosidad

Fig I.7.- Viscosidad del agua y de algunos líquidos derivados del petróleo I.-9

VISCOSIDAD CINEMÁTICA A 210ºF VISCOSIDAD CINEMÁTICA A 210ºF VISCOSIDAD CINEMÁTICA A 210ºF VISCOSIDAD CINEMÁTICA A 210ºF VISCOSIDAD CINEMÁTICA A 210ºF
H L H L H L H L
8,063,72...108,86 8,0........63,72...108,86 9,0........76,35...135,17 9,0........76,35...135,17 10,0.......89,18...162,49 10,0.......89,18...162,49 1,0......102,54...191,85 1,0......102,54...191,85
8,1064,97...1,42 8,10........64,97...1,42 9,10........7,61...137,84 9,10........7,61...137,84 10,10.......90,46...165,36 10,10.......90,46...165,36 1,10......103,91...194,90 1,10......103,91...194,90
8,206,25...14,06 8,20........6,25...14,06 9,20........78,8...140,51 9,20........78,8...140,51 10,20.......91,81...168,30 10,20.......91,81...168,30 1,20......105,30...197,96 1,20......105,30...197,96
8,3067,50...16,65 8,30........67,50...16,65 9,30........80,18...143,28 9,30........80,18...143,28 10,30.......93,13...171,19 10,30.......93,13...171,19 1,30......106,72...201,15 1,30......106,72...201,15
8,4068,75...19,30 8,40........68,75...19,30 9,40........81,45...145,9 9,40........81,45...145,9 10,40.......94,46...174,07 10,40.......94,46...174,07 1,40......108,10...204,24 1,40......108,10...204,24
8,5070,04...121,92 8,50........70,04...121,92 9,50........82,71...148,69 9,50........82,71...148,69 10,50.......95,82...177,07 10,50.......95,82...177,07 1,50......109,49...207,34 1,50......109,49...207,34
8,6071,29...124,53 8,60........71,29...124,53 9,60........83,98...151,41 9,60........83,98...151,41 10,60.......97,15...179,98 10,60.......97,15...179,98 1,60......10,89...210,47 1,60......10,89...210,47
8,7072,54...127,15 8,70........72,54...127,15 9,70........85,26...154,15 9,70........85,26...154,15 10,70.......98,49...182,90 10,70.......98,49...182,90 1,70......12,27...213,60 1,70......12,27...213,60
8,8073,79...129,78 8,80........73,79...129,78 9,80........86,57...156,98 9,80........86,57...156,98 10,80.......9,82...185,85 10,80.......9,82...185,85 1,80......13,71...216,83 1,80......13,71...216,83
8,9075,09...132,51 8,90........75,09...132,51 9,90........87,85...159,72 9,90........87,85...159,72 10,90......101,20...188,87 10,90......101,20...188,87 1,90......15,1...219,981,90......15,1...219,98

Tabla I.2.- Valores de H y L para v a 210ºF

I.6.- TENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD

La diferencia entre las moléculas que están dentro de un líquido y las que están en la superficie es que, en las primeras, las fuerzas atractivas que actúan en el pequeño espacio en que se manifiestan, se contrarrestan, mientras que en las segundas no sucede lo mismo, por cuanto existirá una resultante R que se dirige hacia el seno del líquido, Fig I.8.

Por lo tanto, si se quiere aumentar la superficie libre del líquido, será a expensas de llevar moléculas del mismo, a dicha superficie, tomándolas del interior del líquido, lo cual requiere un consumo de energía. para poder evaluar el consumo de energía por unidad de superficie aumentada, que se conoce como tensión superficial, se forma una laminilla jabonosa que al aplicarla un esfuerzo F avanzará una cierta longitud l, Fig I.9, obteniéndose así un trabajo equivalente al necesario para llevar moléculas a la superficie; cualquiera que sea el grado de estiramiento la fuerza aplicada F sera siempre constante, en contra de lo que ocurre con una membrana, que sigue la ley de Hooke.

El trabajo realizado es proporcional a DS, siendo la constante de proporcionalidad la tensión

Trabajo: F l = s = F 2 a Þ F = 2 a s = 2 a s l = DS s siendo s la tensión superficial, que es una fuerza por unidad de longitud perpendicular a la fuerza F, ó también, el trabajo realizado por unidad de superficie, al aumentar la superficie.

El aumento de superficie se consigue al aplicar la fuerza F, ya que la lámina al estar formada por un volumen de líquido limitado por dos capas superficiales cuyo espesor es de algunas molécu- las, al aplicar la fuerza F habrá moléculas de este volumen de líquido que se desplazaran hacia las capas superficiales.

Fig I.8.- Fuerzas de tensión superficialFig I.9.- Esquema para la determinación del trabajo

I.-10

El conjunto de fenómenos que vienen ligados a la tensión superficial se conocen como efectos de superficie. Ampliando los efectos de superficie a láminas que separan una pared sólida y un líquido, o una pared solida y un gas, tendremos los fenómenos de capilaridad.

Si llamamos, s1, tensión superficial entre sólido y líquido s3, tensión superficial entre vapor y sólido a , el ángulo de contacto o ángulo de capilaridad fa, la fuerza adherente o fuerza de atracción entre la porción aislada y la pared resulta: Fig I.10, fa = s2 sen a ; s3 - s1 = s2 cos a ; tg a = fa

A su vez,

sen a = fa

; cos a = s3 - s1

; fa

Fig I.10.- Parámetros de capilaridadFig I.1.- Altura alcanzada en un capilar

por tensión superficial por lo que,

tg2 a

) = fa 2 sen2 a

Como conclusión se puede decir que, cuando,

(s3 - s1) > 0, s3 > s1Þtg a es (+),el líquido moja (s3 - s1) < 0, s3 < s1Þtg a es (-),el líquido no moja

I.7.- ALTURA ALCANZADA POR UN LIQUIDO EN EL INTERIOR DE UN TUBO DE PEQUEÑO DIÁMETRO

La columna líquida (ABCD) estará en equilibrio bajo la acción de su propio peso y de la compo-

nente vertical de la fuerza de tensión superficial, que actúa sobre la circunferencia de intersección

I.-1 de la columna líquida con el tubo, Fig I.1. A partir de la componente vertical F se obtiene el de h,

F = 2 p r s cos a = p r2 g h Þ h = 2 s cos a r g siendo s el coeficiente de tensión superficial, h la altura alcanzada por el líquido en el interior del capilar, que es directamente proporcional al coeficiente de tensión superficial, y está en razón inversa de la densidad del líquido r y del radio del tubo r.

Si a está muy próximo a 0, Fig I.1, la expresión anterior permite medir el coeficiente de tensión superficial s, s = h r r g

Si admitimos que el menisco tiene forma esférica de radio R, el valor de la presión interior será, h g = p = 2 s cos ar = 2 s R que es una depresión, para cuando el menisco tenga forma cóncava, y una sobrepresión para cuando tenga forma convexa.

Tabla I.3.- Valores del coeficiente de tensión superficial s, dinas/cm

Líquido Tensión superficial Líquido Tensión superficial dinas/cm dinas/cm

Mercurio en aire523Aceite lubricante35,7-38,7 Mercurio en agua401Aceite crudo23,8-38,7 Mercurio en vacío495Benzol29,4 Agua 72,5 Petróleo 26 Glicerina 30 Alcohol etílico 2 Aceite de ricino36,4Tetracloruro de carbono27,2

I.-12

Dentro de los líquidos en reposo, solamente es posible una forma de tensión, la de compresión,

I.1.- TEOREMAS HIDROSTÁTICOS es decir, la presión hidrostática, de la que se derivan las siguientes propiedades, a) En un fluido en reposo, la presión en un punto cualquiera es normal a la superficie sobre la cual se ejerce. En efecto, si se supone que no es normal, deberá tener una dirección cualquiera; si la fuerza no perpendicular a la superficie es F, se puede descomponer en dos, una paralela a la superficie, y otra normal. La fuerza paralela hace que las capas de fluido deslicen unas sobre otras, (fuerzas de viscosidad), en contra del principio de que en Hidrostática la viscosidad es nula, Fig I.1.

Por lo tanto,

- r

F 1= 0, (Fuerza de viscosidad) ; r F 1= 0 ; r

F = r

F 1+ r F 2 ; r

F = r F 2 luego tiene que ser perpendicular.

b) En un fluido en reposo, la presión en un punto cualquiera es la misma sobre todo elemento de superfi- cie, cualquiera sea la dirección de aquella, es decir, la presión no depende del ángulo de inclinación de la superficie sobre la que actúa.

Si por un punto A del fluido se hacen pasar tres planos que formen un sistema ortogonal S1, S2 y S3, Fig I.2, y un cuarto plano infinitamente próximo al punto A, y perpendicular a la dirección de la presión escogida en A, y se aplican las ecuaciones mecánicas de equilibrio, SF= 0, sobre los tres ejes elegidos, y teniendo en cuenta las siguientes observaciones,

I.-13

Fig I.1.- Presión en un fluido en reposo

Fig I.2.- Presión en un punto

- La presión p forma ángulos con los ejes cartesianos elegidos.

- Sobre cada cara S1, S2 y S3 se ejercen las presiones p1 , p2 , p3 - El peso de la masa líquida G contenida en el tetraedro formado por los cuatro planos, pasa por el c.d.g.

del tetraedro se obtienen los siguientes resultados:

Proyección sobre Ax, p1 S1+ 0 + 0 - p S cos a - G cos a' = 0 Proyección sobre Ay, p2 S2+ 0 + 0 - p S cos b - G cos b' = 0

Proyección sobre Az, p3 S3+ 0 + 0 - p S cos g - G cos g' = 0 y como el cuarto plano S está muy próximo al punto A, al tomar límites el valor de G tiende a cero, por lo que se tiene, p1 S1= P S cos a p2 S2= P S cos b p3 S3= p S cos g

, y como

S1= S cos a

S2= S cos b

S3= S cos g

Þp1= p2= p3= p

por lo que la presión no es una función vectorial, por cuanto es la misma para cualquier dirección, pero diferente en cada punto. Por lo tanto,

dz

Esta propiedad de la presión hidrostática para líquidos en reposo, se cumple también para líquidos no viscosos en movimiento. Sin embargo, para líquidos viscosos en movimiento, surgen tensiones tangenciales, por lo que la presión hidromecánica, en rigor, no posee la propiedad indicada.

I.-14

Vamos a obtener las ecuaciones diferenciales del equilibrio de un líquido en el caso más gene-

I.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO DE UNA MASA LIQUIDA ral, cuando sobre el mismo actúe no solo la fuerza de gravedad, sino también otras fuerzas de masa.

Consideraremos en un líquido en reposo, un punto cualquiera M de coordenadas x, y, z, y presión p; en el líquido de densidad r, tomamos un volumen elemental en forma de paralelepípedo con sus aristas paralelas a los ejes de coordenadas, e iguales respectivamente a dx, dy y dz, en el que el punto M es uno de sus vértices, Fig I.3.

Fig I.3

Al examinar las condiciones de equilibrio del volumen elegido, representamos por F(X,Y,Z) a la resultante de las fuerzas exteriores por unidad de masa, por lo que las fuerzas que actúan sobre el volumen escogido según las direcciones de los ejes de coordenadas serán iguales a estas componentes multiplicadas por la masa del volumen elegido.

La presión p es función de las coordenadas (x, y, z) del punto M; al pasar del punto M, por ejemplo, al punto N, cambia sólo la coordenada x, en una magnitud infinitesimal dx, por lo que teniendo en cuenta el Teorema de la Media, la presión en el punto N es, pN = p + ¶p ¶ x dx

Aplicando la ecuación de equilibrio al paralelepípedo en los tres ejes de coordenadas Fi= 0å , y teniendo en cuenta una masa unidad, r dx dy dz = 1,y que no existe rozamiento entre los filetes del líquido, por lo que no hay viscosidad, h = 0, se obtiene:

p dz dy - (p + ¶p ¶ x dx) dz dy + r X dx dy dz = 0 p dx dz - (p + ¶p ¶ y dy) dx dz + r X dx dy dz = 0 p dx dy - (p + ¶p ¶ z dz) dx dy + r X dx dy dz = 0

Dividiendo estas ecuaciones por la masa del paralelepípedo y reduciendo el paralelepípedo al punto de partida M, es decir, pasando al límite haciendo tender dx, dy, dz a cero, se obtienen las

I.-15 ecuaciones de equilibrio del líquido, referidas al punto M, r X = ¶ p

; r Y = ¶ p

¶y ; r Z =

Para el uso práctico, resulta cómodo utilizar una ecuación equivalente a estas, que no con-

que se conocen como ecuaciones diferenciales de la Hidrostática. tenga derivadas parciales; para ello, si las multiplicamos respectivamente por dx, dy y dz, y las sumamos, se obtiene,

es decir, dpr = (X dx + Y dy + Z dz) que expresa la variación de la presión en función de las coordenadas (x, y, z) para el caso mas general de equilibrio del líquido. El segundo miembro de la ecuación representa el trabajo por unidad de masa realizado por las fuerzas exteriores, al trasladar a la unidad de masa del líquido, de un punto a otro.

El trabajo elemental realizado será de la forma, dT = r

F dr l = F dl cos a

Como la expresión algebraica de dicho producto escalar es el producto de las componentes F

(X,Y,Z) y dl(dx,dy,dz), se puede poner, dT = r

F dr l = X dx + Y dy + Z dz ; T =

X dx + Y dy + Z dz que confirma lo dicho anteriormente.

Superficies de nivel.- Una superficie de nivel es el conjunto de puntos en los que se tiene el mismo trabajo por unidad de masa, es decir, el mismo potencial. Las superficies potenciales tienen la siguiente ecuación,

T = T(x,y,z) = Cte ; dT = X dx + Y dy + Z dz = 0 y como,

I.-16

Fig I.4 dpr = (X dx + Y dy + Z dz) = 0 Þ dp = 0 ; p = Cte las superficies de nivel son superficies de igual presión, pero se desconoce si serán planas o no, mientras no se apliquen las condiciones del problema a la expresión,

X dx + Y dy + Z dz = 0

Equilibrio de líquidos.- Si se supone que las fuerzas exteriores quedan reducidas únicamente a la gravedad, es decir,

F(X,Y,Z) = F(0,0,-g) el valor de la presión es, r = X dx + Y dy + Z dz = - g dz Þ dp = - r g dz ; p = p0- g ò r dz ya que r puede ser variable, siendo p0 la presión existente sobre el plano, z = z0 Si el fluido es incompresible, r = Cte, por lo que,

p = p0- r g (z - z0) = p0- g (z - z0)Þ z +

g = z0+ p0g

= Cte siendo, g = r g, el peso específico del mismo.

Como, z - z0, es el volumen de un cilindro de base unidad, y altura, z - z0, se puede enunciar que la diferencia de presiones existente entre dos puntos de una masa líquida (o fluido en general), en equilibrio, es igual al peso de una columna líquida (o fluida), cuya altura sea igual al desnivel existente entre dichos puntos, y base la unidad de superficie. Para este caso, la ecuación diferencial de las superficies de nivel es, g dz = 0 ; dz = 0 ; z = Cte que son planos horizontales, siendo la superficie libre una de las superficies de nivel.

Si, z = 0, y, p0= patm, se puede poner, p = patm + g z0 es decir, la presión en un punto cualquiera de una masa líquida es proporcional a su distancia a la superficie libre y a su densidad, verificándose esta ecuación independientemente del área del fondo del recipiente y de la forma del mismo.

A la expresión,

I.-17 Fig I.5 z + p g = Cte se la conoce como ecuación fundamental de la estática de líquidos.

Ecuación de estado.- La ecuación de estado es función de las variables, r, p, T, y caracteriza la compresibilidad del líquido, siendo su ecuación de la forma, f(r, p, T) = 0 y para el caso de una transformación isotérmica, muy corriente en Mecánica de Fluidos, f(r, p) = 0

Los líquidos oponen una gran resistencia a la reducción de su volumen, por lo que son poco compresibles; como el factor de compresibilidad k es de la forma, k = - 1v (dvdp)T y para, T = Cte, k = - 1v dvdp = 1e ; dvv = - k dp = - 1e siendo e el módulo de elasticidad del líquido, observándose que un incremento infinitesimal de volumen dv, se corresponde con una disminución infinitesimal de la presión dp.

Como la masa considerada es constante, v r = Cte, resulta, r dv + v dr = 0 ; dv v = -

= - 1 e dp ; - 1 e dp = - dr

p + Cte; r = C ep

ln r = 1e e = C ep k y como para un líquido incompresible, k = 0, resulta, r = Cte, como ecuación de estado. Altura piezométrica, plano de carga y carga en un punto.- La ecuación, z + p g = z0 + p0 g

= H = Cte determina un plano llamado Plano hidrostático de carga, situado a la altura, p0/g, sobre la superficie libre del líquido z0, pudiendo ser p0 la presión atmosférica o no, pero siempre la existente en z0. Dicha ecuación puede leerse como que, en todo punto de una masa líquida en equilibrio isotérmico, la suma de la altura sobre un plano de comparación y de la representativa de la presión, es constante, siendo la constante el plano de carga.

Para cada punto de dicha masa líquida, p/g, varía y se conoce como altura piezométrica, o altura representativa de la presión, mientras que a la expresión,

I.-18 z + p g = H se la conoce como nivel piezométrico, que puede ponerse también en la forma, p = (H - z) g que dice que en un punto cualquiera de un líquido, la presión es la que existiría si se suprimiese la atmosfera, ó la correspondiente a z0, y el nivel del líquido fuese el plano de carga.

Se define la carga en un punto de un fluido, como la distancia existente entre este punto y el plano de carga.

El plano de carga absoluto tiene en cuenta la presión correspondiente a z0, mientras que el plano de carga relativo no; así se tiene, Fig I.6,

Presión absoluta - 1 atm = Presión relativa ; p - 1 = pr

Fig I.6.- Representación gráfica de la ecuación de la Estática de Fluidos

En general,

- pr

= patm

La altura de ascenso de un fluido en un piezómetro, tal como se muestra en la Fig I.7, es,

Resulta evidente que, si sobre la superficie libre de un fluido en reposo actúa la presión atmosférica, el valor de la altura piezométrica para cualquier punto del volumen estudiado del líquido, será igual a la profundidad a que esté situado ese punto.

hp= p - patmg

= pmanométrica g

A 1 atmosfera técnica le corresponden,

mediante la cual se puede medir la presión en líquidos y gases.

h = p

= 10 m.c.a; h =

I.-19

Si la presión absoluta en el fluido es menor que la atmosférica, se dice entonces que tiene lugar una depresión, de valor igual a la diferencia de presiones entre la atmosférica y la absoluta, es decir,

pvacío = patm - p ; hvacío = patm - p

Para medir la presión de un fluido en condiciones de Laboratorio se utilizan, ademas de los piezómetros, distintos tipos de manómetros, como veremos mas adelante.

APLICACIÓN A LÍQUIDOS PESADOS EN SUPERFICIE LIBRE.- Sea un líquido pesado sobre cuya superficie libre actúa la presión atmosférica. Según ésta venga dada en valores relativos o absolutos, el plano de carga coincidirá con la superficie libre, o no, Fig I.8.

En efecto, como la ecuación que liga las profundidades con la altura piezométrica viene dada por la ecuación, z + p g = Cte y la ecuación de las superficies de nivel, o superficies de igual presión, z = K Al determinar las constantes, que van a depender de las condiciones del problema, se tiene,

Para: z = h ; p = patm ; h + patm g = Cte ; h = K

obteniéndose, z + p g = h + patm g

; z = h que da a entender que, el plano de carga relativo coincide con la superficie libre; ademas, sobre cualquier punto de esta superficie, la presión valdrá siempre lo mismo, cero, si es presión relativa, y patm si se trata de presión absoluta.

a) La diferencia de presiones entre dos puntos cualesquiera de un líquido en reposo, es igual al peso de una columna líquida de altura h’ y sección unidad, Fig I.9.

; p2- p1 = g (z1- z2) = g h'

Es lo mismo considerar presiones absolutas que relativas; en efecto, p2- p1 = (pr2 + patm) - (pr1

+ patm) = pr2 - pr1

= g (z1- z2) = g h'

I.-20

Fig I.7.- Tubo piezométrico Fig I.8 b) Diferencia de presiones entre un punto y la superficie libre.- En este caso, p1 = patm ; p2 = p, por lo que, p - patm = pr = g h’, es decir, la presión relativa en un punto cualquiera del líquido será igual al peso de la columna líquida de altura h’ y sección unidad que gravita sobre él, Fig I.10.

entre dos puntosFig I.10.- Diferencia de presiones entre un

Fig I.9.- Diferencia de presiones punto y el plano de carga

Como p = patm+ g h' = g (patmg + h') = g (L + h') = g ha la presión absoluta en un punto del líquido será igual al peso de una columna líquida de altura ha y sección unidad, contada desde el punto al plano de carga absoluto, pudiendo imaginar que se ha llenado de líquido la parte comprendida entre los dos planos de carga.

I.3.- LÍQUIDOS SUPERPUESTOS

Para el caso de diversos líquidos inmiscibles y superpuestos, tal como se indica en la Fig I.1, para una misma vertical se tiene, p1 = patm + g1 h1

pn = p n-1 + gn h n

Sumándolas, se encuentra, p1 + p2 + p3 +...+ pn = patm + p1 + p2 +...+ pn-1 + g1 h1 + g2 h2 +...+ gn hn pn = patm + g1 h1 + g2 h2 +...+ gn hn que dice que la presión en un punto es igual a la atmosférica más la suma de los productos de los pesos específicos respectivos, en columnas líquidas, correspondientes a cada uno de ellos.

De lo anterior se deduce el siguiente Teorema, La superficie de separación entre dos líquidos de densidades diferentes es horizontal.

I.-21

Fig I.1.- Líquidos superpuestos Fig I.12

En efecto, si se supone de entrada que no es horizontal, tal como se muestra en la Fig I.12: Como las presiones pA y pB han de ser iguales, resulta, pA= pB ; pA= pC + g1 h' + g2 h pB= pC + g1 h* + g2 h"ì í î g1 h' + g2 h = g1 h* + g2 h" Þ g1 (h' - h*) = g2 (h" - h) Dado que,

h + h' = h" + h* ;h' - h* = h" - h Þ (h" - h) (g1- g2) = 0

y como g1„ g2 Þ h"= h la superficie de separación entre dos líquidos de pesos específicos diferentes, es horizontal.

PRINCIPIO DE PASCAL.- Si sobre la porción plana de la superficie libre de un líquido, se ejerce una cierta presión, esta se transmite integra y por igual en todas direcciones. En efecto, supongamos los puntos de la masa de un líquido A y B, Fig I.13, para los que se cumple, pB- pA= g h

A su vez, los puntos A y B habrán experimentado cambios en su presión, de forma que ésta se incrementa en DpB y DpA; así se tiene,

pB- pA+ DpB- DpA= g hÞ g h + DpB- DpA= g h Þ DpB= DpA

(pB+ DpB) - (pA+ DpA) = g h y por lo tanto, si la presión de un punto A se incrementa en un cierto valor, la presión de otro punto B quedará asimismo incrementada en el mismo valor. En una prensa hidráulica, Fig I.14, se cumple,

; p2= F2

I.-2

Fig I.13 Fig I.14.- Prensa hidráulica que es la relación existente entre las fuerzas aplicadas y las secciones de los émbolos correspondientes.

I.9.- MEDIDA DE PRESIONES MEDIDA DE PRESIONES.- A continuación exponemos algunos dispositivos utilizados en Labo- ratorio para la medida de presiones, como los tubos piezométricos y los manómetros de líquido y mecánicos.

Tubo piezométrico.- El tubo piezométrico es un tubo transparente de cristal o plástico, recto, o

Este orificio, para líquidos en reposo, no requiere un cuidado especial, pero para fluidos en
Si la toma manométrica se practica en una tubería grande, es preferible una forma anular

con un codo, cuyo diámetro no debe ser superior a 5 m, para evitar las correcciones por menisco (capilaridad). Este tubo se conecta al punto en que se quiere medir la presión, practicando cuidadosamente en la pared del recipiente o tubería un orificio, llamado orificio piezométrico. movimiento hay que tomar una serie de precauciones para evitar se produzcan perturbaciones que transformarían parte de la energía de presión, en energía dinámica, falseándose así la medida; el tubo ha de terminar perpendicular a la corriente. que permita la obtención de la altura piezométrica media con mayor precisión, Fig I.16.

Fig I.15.- Tubo piezométricoFig I.16.- Conexión al tubo piezométrico

Los tubos piezométricos deben reunir una serie de condiciones y limitaciones, a) Tienen que ser de gran precisión b) Deben ser cómodos, ya que no necesitan líquido manométrico dando la presión en m. de columna del líquido que se quiere medir c) Solo sirven para medir presiones pequeñas, ya que, por ejemplo, una presión de 0,2 Atm, utilizando agua, requeriría un tubo piezométrico de 2 m.

I.-23

Manómetros de líquido.- En estos manómetros se emplean gran variedad de líquidos, como, a) agua, b) alcohol, c) mercurio, etc. El agua y el alcohol, a veces, se colorean para facilitar la lectura y la fotografía de los ensayos.

Barómetro de cubeta.- Encima del mercurio se hace un vacío, p=0. Una escala graduada, cuyo cero se hace coincidir antes de hacer la lectura con el nivel del mercurio en la cubeta, permite leer la altura Dh, que es la presión atmosférica patm en m de mercurio. En efecto, aplicando la ecuación de la Estática de Fluidos a los puntos 1 y 2, se obtiene, g Hg

+ z1 = p2 g Hg + z2 siendo, p1 = 0 ; z1 = Dh ; p2 = patm ; z2 = 0 Þ Dh = patm g Hg ; patm = gHg Dh en la que, patm viene en kg/m2, gHg = 13.600, kg/m3, y Dh en metros Para, 1 atm = 104 kg/m2 = 13.600 kg/m3, Dh = 735,1 m de mercurio para el aire seco

Fig I.17.- Barómetro de cubetaFig I.18.- Barómetro en U

Barómetro en U.- La presión barométrica calculada por el método anterior, patm = gHg Dh, requie- re, en medidas de precisión, algunas correcciones, como, a) En la parte superior, aunque se haya eliminado el aire, no existe el vacío, por cuanto el mer- curio se evapora y la presión p no es igual a 0, sino igual a ps que es la presión de saturación del vapor de mercurio, la cual depende de la temperatura. b) La densidad r depende de la temperatura del mercurio. c) Como la fuerza de la gravedad varía de un lugar a otro, hay que emplear rigurosamente la expresión, patm= g gs gHg Dh = rHg g Dh en la que se ha considerado, g Hg = r Hg gs, siendo gs la aceleración standard, y g la aceleración local de la gravedad, que varía con la latitud y con la altitud.

I.-24

Fig I.19.- Manómetros de líquidos para presiones relativas

Manómetro de líquido para presiones relativas.- Mide presiones relativas, positivas o negativas, Fig

I.19.a.b; se elige como líquido manométrico uno de g adecuada a las presiones, para cuya medición se destina el manómetro, pudiéndose poner,

Figura (a) , pa= pb+ g Dh - g' l

Figura (b) , pa= pb- g Dh - g' l

Vacuómetro de líquido para presiones absolutas.- Sirve para medir presiones de líquidos, empleando un líquido manométrico no miscible, o de gases, Fig I.20. El desnivel creado en la columna del manómetro es Dh. La lectura de los manómetros se basa en la ecuación z + p

= Cte ; z2 + p2 g = z1 + p1

Si el punto 2 está más bajo que el 1, su presión será igual a la del punto 1, más el peso de la columna líquida (1-2). Si el punto 2 está más alto que el 1, su presión será la del punto 1, menos la columna de líquido.

En éste vacuómetro, en 1 reina el vacío, luego, p1= 0; las demás presiones son,

p2= p1+ g Dh = g Dh; p3= p2= g Dh
p4= p3- g' l = g Dh - g' l ;p5= p4= g Dh - g' l

Hemos dividido el fluido en una serie de secciones correspondientes a los cambios de densidad; prácticamente se escribe una sola ecuación, partiendo del punto 1 y sumándole o restándole los términos, g Dh, con signo (+) ó (-), hasta llegar, en nuestro caso, al punto 5, es decir, p5= 0 + g Dh - g' l = g Dh - g' l

Si el fluido es un gas, en la mayoría de los casos se desprecian los sumandos, g’l, quedando como ecuación, p5 = g Dh = pa

I.-25

Fig I.21.- Manómetro de mercurioFig I.2.- Manómetro diferencial

Fig I.20.- Vacuómetro de líquido para presiones absolutas

Manómetro de mercurio instalado en tubería de agua.- El valor de la presión pa viene dado por la expresión, Fig I.21,

pa= pb+ gHg Dh - gagua ló pa= patm+ gHg Dh - gagua l

Manómetro diferencial.- Mide la diferencia de presiones entre dos puntos; de acuerdo con la Fig I.2 se puede poner, p1= p2- g' (h0+ Dh) + gHg Dh + g' h0= p2+ gHg Dh - g' Dh = p2+ Dh (gHg- g')

= Dh ( g Hg

Para el caso en que el fluido cuya presión se desea medir fuese un gas, se puede despreciar el valor de g' frente al de gHg en las ecuaciones anteriores.

Micromanómetro de tubo inclinado.- El líquido manométrico suele ser alcohol; se utiliza para medir con precisión pequeñas presiones en gases, y aunque el fluido manométrico sea alcohol, suele estar graduado en m de columna de agua.

La ventaja de este manómetro es la amplificación que se obtiene de la lectura l, al dividir Dh por, sen a.

I.-26

Fig I.23.- Micromanómetro de tubo inclinado l sen a = Dh ; l = Dh sen a ; pa= patm+ g Dh ; pr= g Dh = g l sen a

Micromanómetro que utiliza dos líquidos inmiscibles.- La inmiscibilidad corresponde a uno en otro, y en el líquido cuya diferencia de presiones se va a medir. En uno de estos líquidos se produce una gran diferencia de altura R para pequeñas diferencias de presiones.

Fig I.24.- Micromanómetro de líquidos inmiscibles

Cuando la presión en C sea ligeramente superior a la presión en D el menisco se moverá, tal

El líquido más denso, inicialmente ocupa la parte inferior del tubo en U, hasta la línea (o-o); entonces se añade el líquido menos denso en las dos ramas de la U llenándose los depósitos hasta la línea (1-1). El líquido cuyas diferencias de presiones se van a medir ocupa el espacio situado encima de (1-1). como se indica en la Fig I.24; el volumen de líquido desplazado en cada depósito, igualará al desplazamiento en el tubo en U, por lo que,

W Dy = R2 a siendo W la sección transversal del deposito y a la sección transversal del tubo en U. A partir de C se puede escribir la ecuación manométrica en la siguiente forma,

I.-27 pD = pC + (k1+ Dy) g1 + (k2- Dy + R2) g2 - R g3 - (k2+ Dy - R2) g2 - (k1- Dy) g1 = = pC + 2 Dy g1 + (- Dy + R2 + R2 - Dy) g2 - R g3 = pC + 2 Dy g1 + (R - 2 Dy) g2 - R g3

Dy = R a

2 W ; pD = pC + R {aW g1 + g2 (1 - aW ) - g3} Þ pC- pD = R {g3- g2 (1 - aW

) - g1 aW que es la diferencia de presiones entre los puntos C y D.

I.-28

I.1.- EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE SE TRASLADAN

Hasta ahora se ha considerado, para el cálculo de superficies de nivel y de presión en un punto interior de un fluido, que éste se encontraba en reposo, o bien, que podía estar en movimiento uniforme, sin ninguna aceleración.

Sin embargo, cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo en su totalidad, y por lo tanto, con completa libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y se hace mover a este recipiente con un movimiento acelerado o retardado, se observa que el líquido va tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla sometido el sistema.

Para su estudio supondremos un depósito prismático con una cierta cantidad de líquido; una partícula del mismo estará sometida a dos tipos de fuerzas, tal como se indica en la Fig I.1, es decir, la fuerza debida a la aceleración del movimiento y la fuerza debida a la aceleración de la gravedad. Ambas fuerzas se pueden proyectar sobre los ejes, obteniéndose,

X = å Xi= 0 - a = - a

Y = å Yi= 0 - 0 = 0

Z = å Zi= - g + 0 = - g

Fig I.1.- Equilibrio relativo de un líquido que se traslada I.-29 en las que se ha supuesto masa unidad. Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones fundamentales, se tiene, dp

= - a dx - g dz ;

r p r = - a dx - g dz + K

- a dx - g dz = 0 ;a x + g z = K'

que es la presión existente en un punto de coordenadas (x,y,z), y, que es la ecuación de las superficies de nivel,

Para su resolución se tienen que determinar los valores de K y K'. La expresión,

- a x - g z = K’ es la ecuación algebraica de un plano, oblicuo respecto el anterior, que determina una nueva forma de distribución del fluido dentro del recipiente; para fluidos perfectos, se llega a la conclusión de que el volumen primitivo y el final, son iguales, por cuanto la parte de fluido que ha sido desplazada hacia arriba, es igual a la que ha sido desplazada hacia abajo, respecto a la superficie libre inicial horizontal del líquido, correspondiéndose el punto de intersección de ambas superficies con la mitad de la superficie libre del fluido.

Para calcular las constantes K y K’ se tendrá en cuenta que para, x = l , y = 0 , z = h resulta, p = patm, y sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones anteriores, resulta, patmr = - a l - g h + K ; K = patmr

+ a l + g h ; K' = - a l - g h por lo que, r = - a x - g z + patmr

+ a l + g h = a (l - x) + g (h - z) + patm r

- a x - g z = - a l - g h ; a (l - x) + g (h - z) = 0 quedando así determinadas la presión en cualquier punto y las superficies de nivel.

Cálculo del ángulo que forma la nueva superficie libre con la inicial, paralela al eje Ox.- La ecuación del plano que forma ángulos, a, b, g, con los coordenados es, x cos a + y cos b + z cos g = Cte I.-30 cos a

= cos b

= cos g

Cte D = L = 1 cos a = A

; cos b = B

; cos g = C que son los cosenos directores de dicho plano, que es la superficie de nivel final.

Fig I.2 La ecuación del plano de la superficie de nivel es, a (l - x) + g (h - z) = 0 ; a x + g z - a l - g h = 0 e identificándola con, A x + B y + C z + D = 0 , resulta, a = A 0 = B g = C

, por lo que, - a l - g h = D cos a = ± a

; sen a = 1 - cos2 a = 1 - a2

= g tg a = g

; tg b = 0 ; tg g = ± a

Teniendo en cuenta la Fig I.2, tg j = m - m'

1 + m m

; j = 90° Þ 1 + m m' = 0 a g = tg q ; tg q tg a = ± 1 ; tg q = 1

± tg a por lo que la resultante de las componentes de las fuerzas que actúan sobre el líquido, es perpendicular a la superficie de nivel final.

I.2.- EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE GIRAN ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL

Supongamos un recipiente cilíndrico, vertical, que está lleno de un determinado líquido hasta una cierta altura h; si se hace girar dicho cilindro alrededor de un eje vertical, la superficie libre del fluido cambiará de forma. El problema consiste en determinar la forma que adoptará la superficie libre, y la presión en

I.-31 cada punto del líquido, cuando el cilindro que lo contiene gire alrededor de su propio eje.

Para los cálculos supondremos un sistema cartesiano de forma que el eje de giro coincida con el eje z, y la base del cilindro esté contenida en el plano (x,y). Al girar el recipiente con una cierta velocidad angular w, cada uno de los puntos del líquido estará sometido a la acción de dos fuerzas, la centrífuga, r w2, y la gravedad, - g, como se indica en la Fig I.3. Las componentes de la resultante de estas fuerzas son,

X = å Xi= x w2

Y = å Yi= y w2

Z = å Zi= - g que sustituidas en las ecuaciones fundamentales, teniendo en cuenta que, m = 1, dp r = x w2 dx + y w2 dy - g dz ; x w2 dx + y w2 dy - g dz = 0

Fig I.3.- Equilibrio relativo de líquidos que giran alrededor de un eje vertical e integradas, permiten calcular la presión en cada punto del líquido, y la forma de la superficie de nivel,

- g z + K; w2 x2

2 - g z = K'

La ecuación de la superficie de nivel es una parábola, ya que su discriminante, A33 = 0, cuando se la corta, por ejemplo, por el plano, y = 0; en general es un paraboloide de revolución de eje vertical, que coincide con el eje del cilindro. Para calcular las constantes de integración K y K’ tomamos un punto de la superficie de nivel, por ejemplo, el (0, 0, z0) que soporta exactamente la presión atmosférica.

Para el punto C, se tiene, x = 0, y = 0, z = z0, p = patm

I.-32

= - g z0+ KÞ K = patmr
+ g z0; K' = - g z0

patmr luego,

2 - g z + patmr

+ g z0 que permite calcular la presión en cualquier punto del líquido. La ecuación de las superficies de nivel es,

2 - g z + g z0= 0

Para determinar el valor de z0, se considera que el volumen del fluido es el mismo si está en movimiento, como si está en reposo, es decir,

Vinicial= Vfinal ;

Vinic.= p R2 h

Vfin= ò 2 p x z dx

Vfinal = ò 2 p x z dx =

Para, y = 0

) dx =

p R2 h = ò 2 p x z dx = p z0 R2+ p w2 R4

Þz0= h - w2 R2

y sustituida en las ecuaciones de presión y superficie de nivel, permite obtener,

p = patm + r w2

2 y2- r g (z - h + w2 R2 4 g )

La altura máxima H que alcanza el líquido dentro del recipiente es,

Punto H, x = R , y = 0 , z = H , p = patm Sustituyendo estos valores en la ecuación de la superficie de nivel, se obtiene,

2 R2 + 0 - g (H - h + w2 R2 4 g) = 0 ; w2 R2 4 - g (H - h) = 0 ; H = h + w2 R2 4 g

I.-3 que es la altura máxima H alcanzada por el líquido y que, teniendo presente el valor deducido para z0, permite afirmar que el líquido asciende tanto como desciende, a partir del nivel inicial.

I.3.- MOVIMIENTO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE GIRAN ALREDEDOR DE UN EJE HORIZONTAL

Supongamos un recipiente cilíndrico con el eje horizontal, que le haremos coincidir con el eje Oy,

Fig I.4, que está lleno de líquido hasta una cierta altura; se hace girar dicho cilindro alrededor del eje Oy, y se observa que la superficie libre del líquido cambia de posición y de forma.

Fig I.4.- Superficie de nivel de líquidos que giran alrededor de un eje horizontal

En primer lugar vamos a analizar la forma y presión en cada punto, en el supuesto de masa unidad; las componentes de las fuerzas resultantes son,

X = å Xi= x w2

Y = å Yi= 0

Z = å Zi= - g + z w2 valores que sustituidos en las ecuaciones generales permiten obtener, dp r = x w2 dx + (- g + z w2) dz ; x w2 dx + (- g + z w2) dz = 0 r = w2 x2 2 + (- g z + w2 z2 2

) + K ; w2 x2 2 + (- g z + w2 z2 2 ) = K'

que es la ecuación de una circunferencia, Fig I.4. I.-34

(x - a)2+ (z - b)2= r2Þ x2+ z2- 2 a x + a2- 2 b z + b2= r2

Las coordenadas del centro se obtienen comparándola con la ecuación, en la forma, a = 0 ; b = g w2

El valor del radio es,

Para hallar su punto inferior z0 tendremos en cuenta que, b - r = g w2 - r = z0 y, para determinar los puntos de corte de las dos circunferencias, la del depósito y la de la superficie de nivel, z + 2 K´

w2Þ R2= 2
w2 (g z + K'); z = R2 w2

- K' g

Como resultado de lo anteriormente visto, se demuestra que, a) Para, w = 0, el radio de la superficie de nivel es (¥) b) Para, w = ¥, las superficies de nivel toman la forma de circunferencias concéntricas con el centro de la sección transversal del recipiente.

I.4.- MOVIMIENTO RELATIVO DE LÍQUIDOS CON VELOCIDAD TANGENCIAL CONSTANTE SOBRE UN EJE VERTICAL

Cuando se estudia la forma que adoptará la superficie libre de un río o un canal, al circular por una curva, se observa que deja de ser horizontal, para convertirse en una superficie curva, Fig I.5, por cuanto en el momento en que el agua pasa por dicha curva, estará sometida a un giro alrededor de un eje vertical, por lo que aparecerán unas fuerzas centrífugas que, al actuar sobre cada uno de los puntos de la masa fluida, harán variar la presión en cada punto del mismo, modificándose, como consecuencia directa de ello, la superficie libre del líquido.

Asimismo habrá que tener en cuenta que, la velocidad de cada una de las partículas del líquido será diferente según se encuentre situada en la parte interior de la curva o en su parte exterior. Las componentes de las fuerzas que actúan en un instante determinado son,

I.-35

X = å Xi= u2

Y = å Yi= 0

Z = å Zi= - g por lo que la ecuación de las superficies de nivel es, u2 x dx - g dz = 0 ; u2 ln x - g z = K

Fig I.5.- Equilibrio relativo de líquidos con velocidad tangencial constante alrededor de un eje vertical

K = u2 ln R1 Sustituyendo en la anterior,

u2 ln x - g z = u2 ln R1 ;u2 ln x

= g z zmáx= u2 g ln R2

APLICACIÓN.- Sea un canal de sección rectangular, Fig I.6, por el que circula agua, inicial- mente hasta una altura h. El problema que se plantea es el de determinar la elevación del nivel del

Aplicando las expresiones deducidas anteriormente, y tomando unos ejes coordenados de

agua en la curva, sobre la pared exterior del canal. forma que el radio que anteriormente se consideraba como incógnita, coincida ahora sobre el eje Ox, y trasladando dicho eje Ox para que pase por el fondo del canal, la ecuación de la superficie libre del fluido viene dada por, z = z0+ u2 g ln x e igualando la sección del tramo recto, con la que determina el fluido al circular, teniendo como perfil el dado por la curva anterior, se podrá poner,

I.-36

Fig I.6.- Equilibrio relativo del giro del agua en un canal rectangular

(R2- R1) h = ò z dx = ò (z0 + u g ln x

R1 ) dx = ò ln x dx = x ln x - x =

g (R2 ln R2 R1

Despejando h se obtiene,

El punto más alto de la curva se obtiene para, x = R2, z = H, en la forma,

= z0 = h - hm = h - u2 g

R2 - R1 ln R2 R1 - 1) =

= h - hm + u2 g ln R2 R1 = h - u2 g (R1 R2 - R1 ln R2 R1 - 1)

I.5.- ESFUERZO EJERCIDO POR UN LIQUIDO SOBRE UNA PARED PLANA SUMERGIDA

Sea una superficie plana sumergida en un fluido S, Fig I.7, que forma un cierto ángulo a con la superficie libre del mismo, que para el caso de un fluido en reposo es horizontal.

Considerando un elemento muy pequeño de dicha superficie plana, dw; la presión que soporta este punto es,

p = g h = g x sen aÞ

g = x sen a que es la ecuación de una recta, deduciéndose de ello que la presión p varía proporcionalmente con la distancia.

En dw actúa una fuerza diferencial debida a las presiones, dF, de valor,

dF = p dw = g x sen a dw; F = g sen a ò

x dw

I.-37 en la que, ò x dw = S xG, es la expresión correspondiente al momento estático, por lo que,

F = g S xG sen a = g S hG= pG S , con , hG= xG sen a , y , pG= g hG siendo pG la presión en el centro de gravedad de la sección.

Fig I.7.- Pared plana sumergida

Al punto de aplicación de esta fuerza se le denomina centro de presión, c.d.p.; para su determinación haremos la siguiente consideración,

El esfuerzo total ejercido sobre la superficie S estará aplicado sobre un punto x1 de la misma superficie plana, llamado centro de presión Para encontrar su situación, tomamos momentos respecto el punto O, y se obtiene,

F x1= ò x dF = ò x (x g sen a dw) = g sen a ò x2 dw = ò x2 dw = Iyy' = g sen a Iyy'

g sen a S xG x1= g sen a Iyy'; Iyy'= S xG x1

y como, F = g sen a S xG, resulta, Aplicando el Teorema de Steiner,

Iyy'= IGyy' + S xG2 = S xG x1 y despejando x1 que determina el punto de aplicación de la resultante de las presiones sobre la superficie plana, resulta,

S xG + xG en la que IG es el m.d.i. de la superficie plana respecto al eje horizontal que pasa por su c.d.g.

La magnitud definida por IGyy'

S xG es siempre positiva, lo que supone que el centro de presión es- tará siempre por debajo del centro de gravedad de la superficie. I.-38

Para determinar gráficamente el c.d.p. se construye un cilindro cuya sección recta es la propia superficie S, Fig I.8, con sus generatrices normales a esta sección, cilindro que es cortado por la superficie libre. Se determina el c.d.g. de este cilindro de líquido y su proyección sobre la superficie plana S será el c.d.p. de la misma.

Fig I.8.- Centro de presión

I.6.- ESFUERZO EJERCIDO POR UN LIQUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE ALABEADA SUMERGIDA

Supongamos una superficie alabeada sumergida en un líquido, a la que para mayor comodidad vamos a intersectar por un plano cualquiera (x,z) como se muestra en la Fig I.9. Sobre cada elemento de esta superficie dw actúa una fuerza normal, de la forma, dF = p dw = g z dw que se puede descomponer en dos, una vertical dV y otra horizontal dH, de forma que, dF = dV + dH

Fig I.9.- Pared alabeada sumergida El esfuerzo horizontal H es,

dH = dF cos a = g z dw cos a = g z dSyzÞ H = g ò

z dSyz

I.-39 siendo dSyz la proyección de la superficie alabeada elemental, sobre un plano vertical.

Como, ò z dSyz= Syz zG, es la expresión del momento estático con, pG= g zG, resulta:

H = g zG Syz = pG Syz siendo pG la presión en el centro de gravedad, se puede poner, Para determinar el punto de aplicación de la fuerza H, consideramos que sobre la curva inter- sección actúa dicha fuerza, que es la misma que actuaría sobre una superficie vertical que fuese la proyección de dicha superficie o curva intersección equivalente, sobre el plano (y,z).

Tomando momentos respecto al eje (x-x), se tiene,

H z1= ò dH z = ò g z dSyz = g ò z2 dSyz = g Iyy'

Mediante el Teorema de Steiner,

Iyy'= IGyy' + Syz zG2=

H z1g

= (g zG Syz) z1 g = zG Syz z1 por lo que,

IGyy' + Syz zG zG Syz

= IGyy' zG Syz + zG que está por debajo del centro de gravedad de la superficie. Para calcular el esfuerzo vertical V se tiene, dV = dF sen a = g z dw sen a = dSxy = dw sen a = g z dSxy = g dw siendo dw el volumen de líquido que hay sobre el elemento de superficie considerado. Integrándola, resulta, ò dV = g ò

dW; V = g W

siendo W el volumen de líquido comprendido por la superficie curva y las verticales que pasan por sus extremos.

El punto de aplicación del esfuerzo vertical V se determina tomando momentos, de acuerdo con la Fig I.9,

x dV; x1=

V x1 = ò ò x dV ò g x dW

I.-40 que es la expresión que se corresponde con la coordenada x del centro de gravedad del volumen abarcado por la pared curva y las verticales en sus extremos.

Corolario.- Si se supone una superficie cerrada sumergida en un fluido en general, el esfuerzo horizontal sobre (ABC) vale, Fig I.10,

HABC = pG SABC

El esfuerzo horizontal sobre (ADC) es, HADC = pG SADC

Como, SABC = SADC, por cuanto las proyecciones del mismo cuerpo sobre un mismo plano son iguales, resulta que, HABC = HADC, en valor absoluto, y de signo contrario, por lo que la resultante H horizontal será nula.

Fig I.10.- Esfuerzos sobre una superficie cerrada sumergida en un fluido El esfuerzo vertical sobre (MDN) vale,

VMDN= - g WMDN en donde WMDN es el volumen abarcado por la curva (MDN) y las ordenadas verticales de sus extremos; en la misma forma, el esfuerzo vertical sobre (MBN), es,

VMBN= g WMBN En consecuencia, la resultante vertical V es,

V = - VMDN + VMBN = - g WMDN+ g WMBN = g (WMBN- WMDN) = - g W siendo W el volumen limitado por la superficie cerrada. En resumen, sobre la superficie cerrada sumergida actúa, solamente, una fuerza tal como la,

-r V , igual y opuesta al peso del fluido desalojado por ésta.

Principio de Arquímedes.- El peso de un cuerpo en el seno de un fluido no es el real, sino el aparen- te, ya que experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja, y que queda perfectamente expresado de acuerdo con el Corolario anterior.

I.-41

I.7.- FUERZAS HIDROSTÁTICAS EN LÍQUIDOS ESTRATIFICADOS

Las fórmulas anteriormente descritas para superficies sumergidas planas y curvas, son válidas, únicamente, para fluidos de densidad uniforme.

Si el fluido esta estratificado con diferentes densidades, no se puede obtener la solución general mediante una única formula, ya que la pendiente de la distribución lineal de presiones cambia de capa en capa. Sin embargo, las fórmulas conocidas se pueden aplicar por separado a cada capa, de modo que el procedimiento adecuado será el de calcular las fuerzas y momentos de cada una, y sumarlas posteriormente.

Si se considera la superficie plana de la Fig I.1, sumergida en una región fluida de dos capas, la distribución de presiones se hace más acusada al pasar de la primera capa a la segunda, que es de fluido mas denso.

La fuerza total sobre la placa no será igual a la presión en el c.d.g. por la superficie de la placa, sino que cada parte de ésta lo tiene que cumplir por separado, de forma que, sumando las dos contribuciones se obtenga el total, es decir,

Fi = å pGi Si

Por lo que respecta a la determinación del c.d.p. o centroide de la placa, hay que determinar en primer lugar el centro de presiones de cada Fi respecto al centroide de la parte respectiva, no respecto al de la placa completa.

El centro de presiones correspondiente a la fuerza total,

F = å Fi se obtiene sumando los momentos correspondientes respecto a un punto convenientemente elegido, que bien pudiera ser la superficie libre.

Fig I.1.- Superficie inmersa en una región fluida con dos capas

I.8.- ESTABILIDAD Y FLOTACIÓN

Los mismos Principios que hemos utilizado para calcular las fuerzas hidrostáticas sobre superficies, se pueden aplicar para el cálculo de la resultante sobre un cuerpo sumergido o sobre un

I.-42 cuerpo que flota. De todo ello se deducen las dos leyes de flotación que fueron enunciadas por Arquímedes, a) Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación igual al peso del fluido que desaloja. b) Un cuerpo que flota desaloja un volumen de fluido cuyo peso es el del cuerpo flotante

Supongamos un cuerpo sumergido; estará sometido a dos fuerzas de sentidos contrarios, una de ellas, el empuje, debido al Principio de Arquímedes; la otra, su propio peso.

En consecuencia, podrán suceder tres casos, según que el peso P sea mayor, igual o menor que el empuje E.

Si, P > E, el cuerpo se hunde P < E, el cuerpo flota

P = E, el cuerpo queda entre dos aguas, indiferente

Las condiciones de equilibrio en el seno del fluido son, a) Si el c.d.p. está encima del c.d.g., el equilibrio es estable b) Si el c.d.p. coincide con el c.d.g., el equilibrio es indiferente c) Si el c.d.p. está por debajo del c.d.g., el equilibrio es inestable, y espontáneamente se engendrará un par de fuerzas que le llevan a una posición aun más inestable

Para que un cuerpo flote es necesario que el peso del fluido que desaloja sea mayor que su propio peso. Veamos algunas definiciones, Fig I.12, que permiten comprender mejor este estudio,

Fig I.12.- Definiciones para el flotador

- Flotador, es el nombre que se da al cuerpo que flota - Flotación, es el nombre que se da a la parte sumergida

- El plano de flotación viene determinado por la intersección de la superficie del fluido con el flotador

- Carena, es el volumen de fluido desalojado por la flotación o parte sumergida.

I.-43

- Centro de carena, es el c.d.g. de la parte de fluido que desaloja el flotador. - Eje de flotación, es la línea que une el c.d.g. del flotador con el centro de carena c.d.c.

- Cabeceo, es el movimiento del flotador alrededor de su eje longitudinal

- Balanceo, es el movimiento del flotador alrededor de su eje transversal

CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN FLOTADOR.- Un cuerpo que flota puede encon- trarse en una situación estáticamente inestable; los ingenieros deben cuidar los diseños para impedir esta inestabilidad en la flotación, de forma que, para asegurar que una posición de equilibrio sea estable, se aplica una pequeña perturbación al flotador, y se observa si aparece un momento restaurador que lo lleve a la posición de equilibrio original.

Si esto sucede, el equilibrio será estable y en caso contrario, inestable. Este tipo de cálculos para cuerpos flotantes arbitrarios, constituye una especialidad propia de los ingenieros navales, por lo que aquí nos limitamos a exponer unos principios básicos del cálculo de la estabilidad estática.

Para una mejor comprensión del fenómeno, definimos el concepto de metacentro, como aquel punto que se halla en la intersección de la vertical que pasa por el centro de carena, y el plano de simetría del flotador.

Las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes vienen definidas por la posición del metacentro respecto al c.d.g. del flotador, Fig I.13.

Fig I.13.- Condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes

En efecto,

- Si el metacentro está por encima del c.d.g. el equilibrio es estable. - Si el metacentro está por debajo del c.d.g. el equilibrio es inestable, apareciendo un par de fuerzas sobre el flotador, que le llevan a una posición aun más inestable.

- Si el metacentro coincide con el c.d.g. el equilibrio es indiferente, no apareciendo ningún par de fuerzas sobre el flotador.

CALCULO DE LA DISTANCIA ENTRE EL METACENTRO Y EL c.d.g. DE UN FLOTADOR.- Si se supone un flotador, sobre un líquido, al que se hace girar un cierto ángulo infinitesimal, al producirse el giro, el centro de carena se desplaza de forma que el empuje E puede tender a desequilibrar aún mas al flotador.

I.-4

En consecuencia, aparecerán unos pares de fuerzas estabilizadoras, fest, que tienden a llevar al flotador a su posición de equilibrio inicial.

Fig I.14.- Distancia entre el metacentro y el c.d.g. de un flotador

El momento desequilibrador es,

M = E x = E l sen a = E (h + a) sen a El momento estabilizador M' es,

M' = ò 2 dfest y = ò 2 (y a dS g) y = ò

2 a g y2dS = g a Ixx'

Igualando dichos momentos se obtiene,

E (h + a) sen a = g a Ixx ; h + a = g a Ixx´

E sen a y como el ángulo a es muy pequeño, lim afi 0 sen a a fi 1 resulta finalmente, para valor de la distancia entre el centro de carena y el metacentro, h + a = g Ixx´

= Ixx´ siendo g el peso específico del fluido.

PERIODO DE OSCILACIÓN DE UN FLOTADOR..- Partiendo de la expresión, C = I w2 a, en la que C es,

C = m g h sen a = m g (r - a) sen a = m g (r - a) a el valor del período T de oscilación de un flotador es,

I.-45

T = 2 pw = C = I (2 pT)2a = m g (r - a) a = 2 p I m g (r - a) = RG2= Im

= 2 p RG g h

Aplicación.- Dado el prisma de la Fig I.15, que flota en un líquido de peso específico g, de sec- ción transversal cuadrada de lado l y peso específico g1, las condiciones de flotabilidad y estabilidad se calculan como sigue,

Empuje ascensional, E = L l c g

La condición de flotabilidad es,

P = E ; L l2 g1 = L l c g ; l g1 = c g ; g1g = c l

Las condiciones de estabilidad, requieren que h tiene que ser mayor que cero, es decir, h = Ixx'V - a > 0 ; Ixx'V > a ;

L l3

L l c = l2 12 c ; a = l - c 2 luego,

12 c > l - c2 ; l2 12 c - l - c2 > 0 ; l2 - 6 l c + 6 c2= 0

Fig I.15 por lo que la condición de estabilidad se produce para, c1l > 0,788 ; c2l

< 0,212

En efecto, podemos poner que,

I.-46

y haciendo, cl = x, resulta:

Fig I.16 cuya representación gráfica viene dada en la Fig I.16; en élla, sólo son válidos para el equilibrio estable, aquellos valores que la hagan mayor de cero, es decir, x = c l > 0,788 ; x = c l < 0,212

Los valores, 0,212 < x < 0,788, se corresponden con el equilibrio inestable.

I.-47

La Cinemática de Fluidos tiene una correspondencia biunívoca con el Primer Principio de la

IV.1.- CINEMÁTICA DE FLUIDOS Termodinámica aplicado a sistemas abiertos. En un fluido en movimiento, cada partícula posee una velocidad V que depende de la posición (x,y,z) de dicha partícula y del tiempo t, es decir,

V = f(x,y,z,t) y sus proyecciones sobre los tres ejes son función también de dichas variables, viniendo representadas por, u = u (x,y,z,t) v = v (x,y,z,t) w = w (x,y,z,t)

Se llama movimiento permanente o estacionario a aquel en que sus características, como la presión, velocidad, etc, son independientes del tiempo, es decir, son tan solo función de la posición (x,y,z) u = u (x,y,z)

La trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones ocupadas por una misma partícula, cuando varía el tiempo t. Si en un instante dado se asigna a cada punto un vector representando, la velocidad en dicho

IV.-49

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