EDO's de 1ª ordem

EDO's de 1ª ordem

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Capítulo 3 Edo’s de Primeira Ordem

3.1 Introdução

Neste capítulo estamos interessados em obter e analisar as soluções das edo’s de primeira ordem. Isto é, edo’s que podem ser escritas na forma:

Estudaremos vários métodos elementares de resolução de vários tipos especiais de edo’s de primeira ordem. Veremos a maioria dos métodos reduz o problema de obtenção de solução ao cálculo de primitivas. Sejam I ⊂ R e uma função H : I −→ R. Lembremos que uma primitiva de H em I é uma função G : I → R tal que G′(x) = H(x) para todo x ∈ I. Sendo G uma primitiva de F, sabemos que, para toda constante c, G(x) + c também é uma primitiva de H. A família das primitivas de H é denominada de integral indefinida de G e denotada por∫ H(x)dx = G(x) + c.

Isto é, Φ(x) = G(x) + c é solução geral da edo:

3.2 Edo’s de Variáveis Separáveis

Exemplo 18. Considere a seguinte edo:

onde α e V são constantes. Reescrevendo a equação (3.2), obtemos:

Integrando com respeito a t e usando (3.1), vemos que a solução geral da edo (3.2) é dada por

Vamos tentar generalizar o procedimento acima. O quê havia de especial nesta edo que nos permitiu determinarmos P?

Definição 9. Uma edo de primeira ordem é do tipo separável se é da forma:

Observação 5. Se a é tal que g(a) = 0, a função y(x) = a é solução da edo (3.3).

3.2.1 Obtenção de Soluções não Constantes

Discutiremos a resolução da edo (3.3), supondo que f eg estão definidas em intervalos abertos I e J, respectivamente, e que f é contínua em I e g′ é contínua em J.

Resolução: 1. Reescrevemos a equação, “separando as variáveis”:

2. ConsideremosumaprimitivaH(x)de 1 g(x) euma primitiva G(x) def(x).

Isto é: dH g(x) e dG

para obter a solução geral da edo (3.3) na forma implícita: H(g(y(x))) = G(x) + c.

Exemplo 19. dy

Inicialmente, vamos procurar soluções constantes. Observemos que y = 1 é raiz de g(y) = √y − 1 = 0. Logo y(x) = 1 é solução da edo. Para determinarmos as soluções não-constantes, separamos a variáveis e integramos:

e obtemos a solução geral da edo na forma implícita

Observe, que no caso da edo deste exemplo a solução constante y(x) = 1 não pode ser deduzida da solução geral. Logo y(x) = 1 é uma solução singular da edo .

Observação 6. Através de uma mudança na variável de integração, obtemos∫ 1

dx dx =

Método Prático: 1. Reescrevemos a equação, “separando as variáveis”:

2. Integramos os dois lados com respeito à variável independente∫ 1

3. Usamos a Observação 6∫ 1

E a solução é: ∫ 1

Exemplo 20. Considere a seguinte edo:

Resolução:

1y dy

x dx

x é a solução geral da edo .

Exemplo 21.

Resolução:

x dx ln|y| − y = −ln|x| − x + c; então ln|xy| + x − y = c é a solução geral da edo.

3.3 Edo’s de Primeira Ordem Linear

Definição 10. Uma edo de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma:

Se a função q(x) ≡ 0, dizemos que é uma edo de primeira ordem linear homogênea, caso contrário, linear não-homogênea.

Definição 1. Um fator integrante para uma edo é uma função µ(x,y) tal que a multiplicação da equação por µ(x,y) fornece uma equação em que cada lado pode ser identificado como uma derivada com respeito a x.

Com a ajuda de um fator integrante apropriado, há uma técnica padrão para resolver as chamadas edo’s de primeira ordem lineares.

Exemplo 2. dy dx + y

Vamos procurar um fator integrante que seja função somente de x.

Gostaríamos que o lado esquerdo fosse a derivada do produto µ(x)y. Ou seja, que ele fosse igual a:

dx y

Comparando termo a termo, o fator integrante, caso exista, deve satisfazer:

Resolvendo a equação de variáveis separáveis acima, temos:∫ 1

µ dµ =

obtemos: d

e integrando com respeito a x, temos

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