Séries de Potência

Séries de Potência

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Exercícios Complementares 3.4

3.4A Falso ou Verdadeiro? Justi que.

(a) se 1P n=0 jcnj Ø convergente, entªo n=0 cnxn Ø absolutamente convergente no intervalo [ 1;1];

(b) se uma sØrie de potŒncias Ø absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergŒncia, entªo ela tambØm converge absolutamente no outro extremo;

(c) se uma sØrie de potŒncias converge em um extremo de seu intervalo de convergŒncia e diverge no outro, entªo a convergŒncia naquele extremo Ø condicional;

(d) se R Ø o raio de convergŒncia de 1P cnxn; entªo p R Ø o raio de convergŒncia de

(e) se limn!1 npjcnj = L > 0; entªo a sØrie n=0 cn (x a)n tem raio de convergŒncia 1=L;

n=0 cn (x a)n tem raio de convergŒncia R > 0; entªo R tambØm Ø o raio de convergŒncia das sØries 1P

(g) uma sØrie de potŒncias 1P n=0 cnxn pode convergir apenas em dois valores de x:

(h) se R > 0 Ø o raio de convergŒncia da sØrie 1P n=0 cn (x a)n, entªo R Ø tambØm o raio de convergŒncia da sØrie 1P

(i) se limn!1 npjcnj = L > 0; entªo as sØries

convergŒncia 1=p L;

(j) Se 1P n=0 cnxn tem raio de convergŒncia 2 e n=0 dnxn tem raio de convergŒncia 3, entªo o raio de convergŒncia de 1P

3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergŒncia da sØrie de potŒncias:

SÉRIES E EQUAÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 19 n(lnn) (h)

pn (n) n=1 xn arctgn

3.4C Comece com a fórmula 1 n=0 xn, vÆlida para jxj < 1; e represente cada funçªo por uma sØrie de potŒncias de x: Em cada caso determine raio e o intervalo de convergŒncia.

(a) 1

(e) 1

3.4D. Represente a funçªo f (x) = ep x por uma sØrie de potŒncias de x.

3.4E Use a sØrie de ex dada em (3.8) e calcule o valor da soma 1P

3.4F Use uma expansªo em sØrie de potŒncias de x para 1

3.4G Encontre uma sØrie de potŒncias para representar a funçªo ex 1 x e, por derivaçªo termo a termo, prove que 1P

3.4H Encontre uma expansªo em sØrie de potŒncias de x para x2e x e, derivando o resultado, prove que 1P

3.4I Derive duas vŒzes, termo a termo, uma sØrie de potŒncias que representa a funçªo

20 SÉRIES DE POTNCIAS CAP. 3

3.4J Dado um nœmero inteiro positivo k, considere a k-Øsima funçªo de Bessel de 1a espØcie

3.4K Mostre que ln x = ln 2 + 1P

decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora.

3.4M Integrando termo a termo de 0 atØ x a sØrie de potŒncias de ln(1 t) dada no ex- ercício precedente, mostre que 1P

representaçªo Ø vÆlida?

3.4N Integrando de x = 0 atØ x = 1 uma sØrie de potŒncias que representa a funçªo xex, mostre que 1P

3.4O Desenvolva as funçıes f (x) = 1

3 2x em sØries de potŒncias de x, determine os respectivos intervalos de convergŒncia e em seguida obtenha sØries para representar

3.4P Com auxílio da sØrie de potŒncias de arctg x, mostre que:

SÉRIES E EQUAÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 21 e aproxime 4 usando os cinco primeiros termos da sØrie de arctg x, estimando o valor do erro.

3.4Q Se a probabilidade Pn de um fóton receptor absorver exatamente n fótons Ø dada por

3.4R Represente as integrais Z x0

t dt e t dt por sØries de potŒncias de x, in- dicando o intervalo de convergŒncia de cada uma delas. Em cada caso o integrando em t = 0 Ø de nido pelo limite quando t ! 0:

3.4S Usando uma sØrie de potŒncias adequada, aproxime cada integral dada abaixo com 4

casas decimais:(a)

(b) senx

x dx:

n=2 nxn 2, de nida para jxj < 1: Integrando duas vezes, sucessivamente, esta sØrie de 0 atØ x, identi que a funçªo f como sendo 2 x

3.4U Identi que a funçªo de nida pela sØrie 1P

3.4V Falha na derivaçªo termo a termo. Mostre que a sØrie 1P n2 converge absoluta- mente em qualquer x e, ainda assim, a sØrie de derivadas diverge quando x = 2n :

Exercícios Complementares 3.6

3.6A Represente as seguintes funçıes em sØries de potŒncias de x:

3.6B Em estatística a funçªo E (x) = 2p Z x e t2 dt recebe o nome de Funçªo Erro. Encontre

2 SÉRIES DE POTNCIAS CAP. 3 a SØrie de Maclaurin da funçªo E (x):

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