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Exemplo 7.9

(i)Se d

(i) Se d

então 1

(iv) Se d

(v) Se d então 1

Observação Pelos exemplos acima, temos:

Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para diferenciação.

Propriedades da integral indefinida

Algumas integrais imediatas Daremos a seguir algumas fórmulas de integrais simples e imediatas.

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(i)

(v) exdx ex C0. (vi) sen xd x < cos x C0 . (vii) cos xd x sen x C0 . (viii) tg xd x ln sec x C0 . (ix) cotg xd x ln sen x C0 . (x) sec xd u ln sec x tg x C0 . (xi) cosec xd x ln cosec x < cotg x C0 . (xii) sec x tg xd x sec x C0 . (xiii) cosec x cotg xd x < cosec x C0 . (xiv) sec2 xd x tg x C0 .

(xv) cosec2xd x < cotg x C0 .

(xvi) dx

a arc tg

(xvii) dx ln x < a

(xviii) dx

(xix) dx

(x) dx arc sen

Módulo 2

(xxi) dx

a arc sec

Observação Apesar de que não estudarmos as funções inversas trigonométricas, mas nas integrais (xvi), (x) e (xi) as respostas das integrais é em termos de funções inversas. Estas integrais foram colocadas aqui, apenas para cumprir a tabela. Para conhecimento do leitor: arc tg x tg<1x , arc sen x sen<1x earcsecx sec<1x.

Usando as propriedades da integral e a tabela de integrais imediatas, vamos calcular, através de alguns exemplos, a integral de funções.

Exemplo 7.10Calcular

=7

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Como a soma C1 + C2 escreve C1 + C2

C e vem

Portanto,

Atenção: Sempre que você tiver uma soma de duas ou mais integrais LQGHÀQLGDV HVFUHYD DSHQDV uma constante para indicar a soma das várias constantes de integração.

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Exemplo 7.11Calcular

Resolução: Das propriedades da integral, vem

onde utilizamos os resultados da Tabela (v), (i) e (vii), respectivamente.

Portanto,

Exemplo 7.12 Calcular

4ex < sen x cos2 x

Resolução: Aplicando as propriedades da integral e como cos2 x cosx.cosx, vem

4ex < sen x cos2 x

= 4 ex0 dx < sen x cosx = cos x

Módulo 2

Portanto,

4 ex < sen x cos2 x

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Logo,

Portanto, a função custo total é

Módulo 2

Exercícios propostos – 1

1)Determinar a função primitiva F(x) da funçãof(x), onde a) f(x) 5x2 7x 2.

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