Fatoração de Expressões - Cálculo

Fatoração de Expressões - Cálculo

Fatoração

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Quando a gente fatora uma expressão, na verdade, a gente esta transformando

esta expressão em fatores de uma multiplicação. Para conseguirmos isto utilizamos

algumas técnicas tais como:

1. Fator comum em evidência2. Agrupamento de termos semelhantes3. Diferença de dois quadrados4. Trinômio quadrado perfeito.5. Trinômio do segundo grau.

Achou alguns nomes acima complicados ? Não se preocupe! Vamos ver, a seguir,

um exemplo de cada uma destas técnicas utilizadas para a fatoração de uma expressão.

1. Fator comum em evidência (Continuação) :12x2 + 4x3 - 8x4 =4 (3x2 + 1x3 - 2x4)

Agora precisamos verificar se podemos dividir cada um dos termos que estão dentro dos parênteses,  por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso podemos notar que o fator x2 serve para dividir cada uma dos termos da expressão.Desta forma, escrevemos o x2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e dividimoscada um dos termos por ele. Veja como fica:

4x2 (3+ 1x - 2x2)

Lembrete: x4 / x3 = x (Divisão de

de mesmba base: repete a base e subtraios expoentes.Observe que se multiplicarmos o 4x2 pelos termos dentro dos parênteses iremos obtera expressão original 12x2 + 4x3 - 8x4. Desta forma, através da técnica de por o fator comum em evidência, da fatoração,  concluímos que 12x2 + 4x3 - 8x4 =  4x2 (3+ x - 2x2).

2. Agrupamento dos termos semelhantes: xy + xz + ay + az

Esta técnica de fatoração consiste em juntar os termos que são iguais e tentarcolocar algo em evidência como fizemos nos exemplos anteriores. Vejamos:vamos fatorar xy + xz + ay + az.

Primeiro a gente tenta ver os termos que têm partes iguais.  Neste caso o xy e xz têm algo igual: a letra x e, portanto, a gente pode por o x em evidência, que nem fizemos no exemplo anterior, e o y e o z dentro dos parênteses. Veja:xy + xz = x(y +z).Então até agora estamos assim: xy + xz + ay + az = x(y +z) + ay + az.

Segundo, a gente nota também que o ay e o az têm parte comum: a letra a. Entãofazemos a mesma coisa: ay + az = a (y + z).  Desta forma a expressão original xy + xz + ay + az é igual a x(y +z) + a (y + z). Finalmente notamos que (y + z) écomum a x e a, então fazemos novamente a mesma coisa. Colocamos o (y + z) emevidência e o x e o a dentro dos parênteses. Veja: (y + z) (x + a). Observe que se fizermos esta multiplicação obteremos a expressão original pois (y + z) (x + a) = xy + xz + ay + az.

3. Diferença de dois quadrados: x2 - y2

Esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela, nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo produto da soma pela diferença.Neste caso, percebemos que a expressão x2 - y2 é o resultado do desenvolvimentodo produto notável (x + y )( x - y ).

Então ao invés de escrevermos x2 - y2 simplesmente escrevemos os fatores(x + y )( x - y ) pois  x2 - y2 = (x + y )( x - y ).

4. Trinômio quadrado perfeito: x2 +2xy + y2 

Assim como o caso anterior, esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela,nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo a mais b ao quadrado.Neste caso, percebemos que a expressão x2 +2xy + y2 é o resultado do desenvolvimentodo produto notável (x + y )2.

Então ao invés de escrevermos x2 +2xy + y2  simplesmente escrevemos (x + y )2 poisx2 +2xy + y2 = (x + y )2.

5. Trinômio do segundo grau:  x2 +7x +12 

Nesta última técnica, procuramos identificar na expressão, um trinômio dosegundo grau. No exemplo acima, se observarmos atentamente, notaremosque -7 é a soma das raízes da equação e 12 é o produto destas raízes.Lembrete: Numa equação do segundo grau a soma das raízes é dada por-b/a e o produto é dado por c/a, sabendo-se que neste caso  a=1,  b=7,e c=12, fica fácil perceber que a Soma é -7/1=-7 e o Produto é 12/1 = 12.

Agora que sabemos a soma (-7) e o produto (12) calculamos por tentativa, dois número cuja soma seja -7 e o produto seja 12...é claro que os númerossão -3 e -4 pois (-3) + (-4) = -7 e (-3).(-4) = 12. Daí escrevemos os fatores(x - primeira raiz ).(x - segunda raiz) = (x - (-3).(x - (-4) = (x + 3) (x + 4). Note que efetuando a multiplicação dos fatores (x + 3) (x + 4) obteremosa expressão original x2 +7x +12.

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