3 - Retas e Planos

3 - Retas e Planos

Planos e Retas

Uma abordagem exploratória das Uma abordagem exploratória das Equações do Plano e da Reta

Anliy Natsuyo Nashi moto Sargeant

José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins

três pontos não colineares

Na geometria, um plano é determinado se são dados: C uma reta e um ponto fora desta reta duas retas não coincidentes e que se intercepta m e m u m único ponto(duasretas distintas,concorrentes).

u ma direção nor mal (vetor perpendicular ao plano) e u m ponto desse plano.

r t

No plano a equação geral de uma reta é 0ax by c+ + =

Equação Geral do Plano

No espaço um plano é o conjunto dos pontos (, , )P x yz= que satisfazem a equação

Existe u ma analogia entre u ma reta no plano e u m plano no espaço. No plano, a equação de u ma reta é deter minada se fore m dados suainclinação e u m de seus pontos. No espaço, a inclinação de u m plano é caracterizada por u m vetor perpendicular a ele, cha mado vetor nor mal ao plano e a equação de u m plano é deter minada se são dados u m vetor nor mal e u m de seus pontos.

Exemplo 1:

Sabemos que: •dois pontos determinam a equação de uma reta;

Sejam

Analoga mente,

•três pontos não colineares determinam a equação de um plano; pontos não colineares. A equação do plano que conté m esses pontos pode ser definida por u m siste malinear ho mogêneo

Sejam ( ) a b c d a b c d a b c d

a b c d b c b c c d fazendo

,c α= te mos:

para qualquer valor real que atribuí mos a α (exceto αigual a zero), ire mos obter u ma equação do plano que conté m os pontos

Verificação:

assim,Portanto,

Verificação:

•Se

•Se •Se

No entanto, co m essestrês pontos( P1 , P2 e P3 não colineares), pode mos deter minar a equação do plano pi, que os conté m, de outra maneira:

Deter minando as co mponentes do vetor , conhecere mos os coeficientes a, be c da equação do plano :

antes, vamos determinar as componentes dos vetores 1 3 1 2 eP P

retornando a relação:

para deter minar d e conhecer a equação geral do plano pi, basta substituir mos as coordenadas de u m dos três pontos do plano, quejá conhece mos, e m(I):

deste modo, podemos escrever:

Logo,

Proposição: A equação geral de u m plano π que passa por u m ponto ete m vetor nor mal é em que 0ax by cz d+ + + =

Se é a direção nor mal de u m plano pi que passa pelo ponto u m ponto pertence a pi se, e so mentese, o vetor é ortogonal a o que equivale a,

P ,n

De monstração:

Pela proposição, sabemos que:

então, considerando que

P P P x yz x y z

sendotemos:

0ax by cz d+ + + = Equação geral do plano pi

Exe mplo 2: Encontre a equação do plano π que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor ( )

Exe mplo 3: Encontre a equação do plano pi que passa pelos i i

determinando as componentes dos vetores : 1 2 1 3 eP P

determinando as componentes do vetor:
determinando as componentes do vetor:

n n

assim, a equação do plano pipode ser escrita como:

escolhendo o pontoencontramos d:

Logo, a equação geral do plano pique passa pelos pontos multiplicando toda a equação por 8 4 4 2 8

Pararesolver este proble ma pode mos usar o seguinte corolário:

Retornando ao Exemplo 3 : Encontre a equação do plano pique passa pelos pontos

Seja m e

Estes vetores são coplanares(isto é, são paralelos a u m mes mo

Estes vetores são coplanares(isto é, são paralelos a u m mes mo plano)se, e apenas se, det 0 u u u u v w v v v w w w e ainda, ofato de que este resultado é usado para verificar se quatro pontos são coplanares. Veja mos:

Seja

precisamos determinar as componentes dos vetor

P P P x yz x yz

assi m, x y z x y x z z y x y z+ + − = multiplicando toda a equação 8 dados três pontos , e (não colineares) de u m plano, qualquer ponto deste plano pode ser deter minado se são considerados:

Ou Seja,

três vetores, e

e que os vetores , e são coplanares se, e so mentese

(produto misto)

Equações Para métricas

Considere mos:

•um ponto,

•um plano pi; ( )

, ,P x y z= tal que

•os vetores: ( ) v v v v w w w w tais que e não seja m paralelos e que

U m ponto pertence a pi se, e so mente se, o vetor é u ma co mbinaçãolinear de e , ouseja, se existe m escalareste stais que

0 Combinação Linear

Equação vetorial do plano pi.

Logo, u m ponto pertence a pi se, e so mente se, ( )

, ,P x y z= Logo, u m ponto pertence a pi se, e so mente se, satisfaz as equações x x vt ws y y vt w s z z vt w s x x vt ws y y vt w s z z vt w s

Equações para métricas do plano pi

Exe mplo 4: Pode mos obter equações para métricas do plano do Exe mplo 2 usando ofato de que ele passa pelo ponto e é paralelo aos vetores

. Assi m, x t s y t s z t s x t s y t s z s

Exe mplo 5: Encontre as equações para métricas do plano

Para encontrar mos as equações para métricas deste plano pode mos proceder co mo no caso de siste mas lineares e considerar as variáveis y e zlivres:

.y s= Assi m, x t s

.y s= Assi m, x t s= − − e, portanto, y s z t são equações para métricas do plano. Destas equações obte mos que os vetores e que são paralelos ao plano.

Equações Para métricas

Considere mos: •um reta r;

•um ponto,

, ,P x y z= tal que

•um vetor

•um ponto qualquer do espaço x y

Neste caso:

isto é,

P tv=

Equação vetorial de r.

escrevendo (I) em termos de suas componentes

Logo, a reta r pode ser descrita co mo sendo o conjunto dos pontos tais que x x at y y bt z z ct x x at y y bt z z ct

Equações para métricas de u ma reta r, que passa por u m ponto e é paralela ao vetor O vetor é cha mado vetor diretor daretar.

Exe mplo 6: As seguintes equações são equações para métricas de u mareta . r x t r y t z t

(a)Calcule dois pontos e um vetor diretor der
(b) Verifique see

pertence m

Equações na forma Simétrica

Considere mos agora u ma reta dada por suas equações para métricas x x at r y y bt z z ct

sendonão-nulos

, ea b c

calculandonas três equações, obtemos

Logo, c c c

Exemplo 7: Dada as equações mostre que elas representam uma reta, e dê um ponto e um vetor diretor da mesma.

Exe mplo 8: Encontre as equações para métricas dareta que passa pelos pontos e r

Exe mplo 9: Encontre as equações para métricas da reta r, interseção dos planos

1 pi

2 pi

Se n pi⊥ e

,r pi pi= ∩ ou seja,

, ;r pi pi⊂ então,

e como, pois é vetor diretor de r, então

, ,v n n⊥ isto é,

Precisa mos de u m ponto da reta r. pode mos encontrá-lo considerando ofato de que u m ponto co mu m aos planos pi1 e pi ta mbé m é u m ponto dareta r.

x y z x y z

Co mo a mbos os planos passa m pela orige m, ou seja, co mo se trata de u m siste ma ho mogêneo, então o ponto pertence aretar. Logo, x t y t z t x t y t z

Exe mplo 10: Ache as equações para métricas da reta que intercepta asretas x t r y t z e é perpendicular a ambas.

y r x z−

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