Baixe 3 - Retas e Planos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Agrícola, somente na Docsity! Planos e Retas Uma abordagem exploratória das Equações do Plano e da Reta Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins Na geometria, um plano é determinado se são dados: três pontos não colineares C A B uma reta e um ponto fora desta reta r A B C ( ), ,n a b c= Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos. No espaço, a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor perpendicular a ele, chamado vetor normal ao plano e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor normal e um de seus pontos. π P • 0P • i Exemplo 1: Sabemos que: • dois pontos determinam a equação de uma reta; Sejam Analogamente, • três pontos não colineares determinam a equação de um plano; ( )1, 2,3 ,P = ( )1, 4,1P = e ( )2,8, 4P = − pontos não colineares. A equação do plano que contém esses pontos pode ser definida por um sistema linear homogêneo 1 2 3 2 3 0 4 0 2 8 4 0 a b c d a b c d a b c d + + + =  + + + =  + − + = 1 2 3 1 0 1 4 1 1 0 2 8 4 1 0        −  1 2 3 1 0 0 2 2 0 0 0 4 10 1 0     −   − −  1 2 3 1 0 0 2 2 0 0     −  2 3 0 2 2 0 a b c d b c + + + =  − = = − → ' 2 2 1L L L = − → ' 3 3 12L L L ∼ ∼∼ 0 0 6 1 0 − −  6 0c d  − − = = − → '' ' ' 3 3 22L L L fazendo ,c α= temos: • em (iii): α− − =6 0d ⇒ α= −6d • em (ii): α− =2 2 0b ⇒ α=b α=a• em (i): α α α+ + − =2 3 6 0a ⇒ Determinando as componentes do vetor , conheceremos os coeficientes a, b e c da equação do plano : n ( ): 0ax by cz dπ + + + = 1 3 1 2n PP PP= ∧ antes, vamos determinar as componentes dos vetores 1 3 1 2ePP PP ( )I ( ) ( ) ( )1 3 3 1 2,8, 4 1,2,3 1,6, 7PP P P= − = − − = − ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1,4,1 1,2,3 0,2, 2PP P P= − = − = − retornando a relação :( )I ( ) ( )1,6, 7 0,2, 2n = − ∧ − 1 6 7 0 2 2 −    −  6 7 1 7 1 6 det , det ,det 2 2 0 2 0 2 n  − −      = −       − −       ⇒ ( )2,2,2n = para determinar d e conhecer a equação geral do plano π, basta substituirmos as coordenadas de um dos três pontos do plano, que já conhecemos, em (II): deste modo, podemos escrever: : 2 2 2 0x y z dπ + + + = ( )II 2 2 2 0x y z d+ + + = Logo, 2 1 2 2 2 3 0d⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ 12d = − : 2 2 2 12 0x y zπ + + − = : 6 0x y zπ + + − = ou Proposição: A equação geral de um plano π que passa por um ponto e tem vetor normal é 0ax by cz d+ + + = ( )0 0 0 0, ,P x y z= ( ), ,n a b c= em que ( )0 0 0 .d ax by cz= − + + Exemplo 2: Encontre a equação do plano π que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor( ) 0 1,1, 2P = − ( )4,2,3 .n = Exemplo 3: Encontre a equação do plano π que passa pelos pontos 1 2 3 1 1 1 1 ,0,0 , 0, ,0 e 0, , . 2 2 2 2 P P P       = = = −            1 2 1 3n PP PP= ∧ π 1P • 3 P • 2P • i i determinando as componentes dos vetores : 1 2 1 3ePP PP 1 2 2 1 1 1 1 1 0, ,0 ,0,0 , ,0 2 2 2 2 PP P P       = − = − = −            1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 0, , ,0,0 , , 2 2 2 2 2 2 PP P P       = − = − − = − −            determinando as componentes do vetor :n 1 2 1 3n PP PP= ∧ 1 1 1 1 1 , ,0 , , 2 2 2 2 2 n     = − ∧ − −        ⇒ 1 1 0 2 2 1 1 1 2 2 2   −     − −    Para resolver este problema podemos usar o seguinte corolário: Retornando ao Exemplo 3: Encontre a equação do plano π que passa pelos pontos 2 3 1 1 1 0, ,0 e 0, , . 2 2 2 P P     = = −        1 1 ,0,0 , 2 P   =     Sejam e Estes vetores são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo 1 2 3 ,u u i u j u k= + + 1 2 3v v i v j v k= + + 1 2 3 .w w i w j w k= + + plano) se, e apenas se, ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 det 0 u u u u v w v v v w w w     ∧ ⋅ = =      e ainda, o fato de que este resultado é usado para verificar se quatro pontos são coplanares. Vejamos: π 1P • 3 P • 2P • ( , , )P x y z• = Seja ( )1 1 2 1 3 0, n PP PP PP⋅ ∧ = precisamos determinar as componentes dos vetor 1 1 2 1 3, e :PP PP PP 1 3 1 1 1 , , 2 2 2 PP   = − −    1 2 1 1 , ,0 2 2 PP   = −    ( )1 1 1 1 , , ,0,0 , , 2 2 PP P P x y z x y z     = − = − = −        e ( )1 1 2 1 3 0,PP PP PP⋅ ∧ = assim, 1 2 1 1 det 0 0 2 2 1 1 1 2 2 2 x y z   −     − =      − −    1 1 2 2 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 x y z x y   − −     − − =      − − − −    ⇒ 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 4 4 4 x z z y      − ⋅ ⋅ + + − − + − =          1 1 1 1 0 4 4 2 8 x y z+ + − = multiplicando toda a equação 8 2 2 4 1 0x y z+ + − = Equações Paramétricas Consideremos: • um plano π; • um ponto , ( )0 0 0 0, ,P x y z= tal que 0 ;P π∈ • os vetores: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , , , , v v v v w w w w =   =  tais que e não sejam paralelos e que v w [ ], // .v w π Um ponto pertence a π se, e somente se, o vetor é uma combinação linear de e , ou seja, se existem escalares t e s tais que ( ), ,P x y z= ( )0 0 0 0, ,P P x x y y z z= − − − v w 0P P tv sw= + 0 Combinação Linear P P P tv swπ∈ ⇔ = + 0P P tv sw= + Equação vetorial do plano π. ( )0 0 0 1 2 3 1 2 3, , ( , , ) ( , , )x x y y z z t v v v s w w w− − − = + ( )0 0 0 1 2 3 1 2 3, , ( , , ) ( , , )x x y y z z v t v t v t w s w s w s− − − = + Logo, um ponto pertence a π se, e somente se,( ), ,P x y z= satisfaz as equações 0 1 1 0 2 2 0 3 3 x x v t w s y y v t w s z z v t w s − = +  − = +  − = + ∼ 0 1 1 0 2 2 0 3 3 x x v t w s y y v t w s z z v t w s = + +  = + +  = + + para ,t s ∈ Equações paramétricas do plano π Exemplo 4: Podemos obter equações paramétricas do plano do Exemplo 2 usando o fato de que ele passa pelo ponto e é paralelo aos vetores . Assim, 1 1 ,0,0 2 P   =     1 2 1 3 1 1 1 1 1 , ,0 e , , 2 2 2 2 2 PP PP     = − = − −        1 1 1 2 2 2 1 1 0 2 2 1 0 0 2 x t s y t s z t s  = − −   = + −   = + ⋅ + ∼ 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 x t s y t s z s  = − −   = −   = para ,t s ∈ ( )0 //P r P P v∈ ⇔ − Neste caso: ou 0 //P r P P v∈ ⇔ isto é, 0P P tv= ( )I ⇓ P P tv− = P P tv= + 0 ⇒ 0 Equação vetorial de r. escrevendo (I) em termos de suas componentes 0P P tv= ( )0 , ,P P t a b c− = ( ) ( )0 0 0, , , , ( , , )x y z x y z ta tb tc− = ( )0 0 0, , ( , , )x x y y z z at bt ct− − − = Logo, a reta r pode ser descrita como sendo o conjunto dos pontos tais que( ), ,P x y z= 0 0 0 x x at y y bt z z ct − =  − =  − = 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +  = +  = + ∼ para t ∈ Equações paramétricas de uma reta r, que passa por um ponto e é paralela ao vetor O vetor é chamado vetor diretor da reta r. ( )0 0 0 0, ,P x y z= ( ), , .v a b c= v Exemplo 6: As seguintes equações são equações paramétricas de uma reta .r 2 3 : 1 2 10 x t r y t z t = +  = − +  = − (a) Calcule dois pontos e um vetor diretor de . r (b) Verifique se e pertencem 7 19 ,0, 2 2 P   =     ( )5,1,8Q = .r Exemplo 9: Encontre as equações paramétricas da reta r, interseção dos planos 1 2 : 2 4 0 : 2 2 0 x y z x y z π π − + + = − + = r 1n 1n 2n 1π 2π 2n v Se 1 1,n π⊥ 2 2n π⊥ e ( )1 2 ,r π π= ∩ ou seja, [ ]1 2, ;r π π⊂ então, [ ]1 2,r n n⊥ e como , pois é vetor diretor de r, então //r v v [ ]1 2, ,v n n⊥ isto é, 1 2v n n= ∧ ( ) ( )2,1,4 2, 1,2v = − ∧ − 2 1 4−    − Precisamos de um ponto da reta r. podemos encontrá-lo considerando o fato de que um ponto comum aos planos π1 e π2 também é um ponto da reta r. 1 4 2 4 2 1 det , det ,det 1 2 2 2 2 1 v  − −      = −       − −       2 1 2  ( )6,12,0v = 2 4 0 2 2 0 x y z x y z − + + =  − + = Como ambos os planos passam pela origem, ou seja, como se trata de um sistema homogêneo, então o ponto pertence a reta r. Logo, ( )0 0,0,0P = 0 6 0 12 0 0 x t y t z t = +  = +  = + 6 12 0 x t y t z =  =  = para t ∈∼