Vetores no Plano e no Espaço

Vetores no Plano e no Espaço

(Parte 1 de 6)

Ca pıtulo 3 Vetores no Plano e no Espac o

Muitas grandezasf´ ısicas, co mo velocidade, forc a, desloca mento eimpulso, para sere m co mple- ta menteidentificadas, precisa m, al´ e m da magnitude, da direc ˜ ao e do sentido. Estas grandezas s˜ ao cha madas gra ndezas vetoriais ou simples mente vetore s.

Geo metrica mente, vetoress˜ aorepresentados por segmentos(dere tas)orientados(segmentos deretasco m u msentido de percurso)no plano ou no espac o. Aponta daseta dosegmento orientado

´ e cha mada ponto final ou extre midade e o outro ponto extre mo ´ e cha mado de pontoinicial ou orige m do segmento orientado.

Segmentos orientados co m mes ma direc ˜ ao, mes mo sentido e mes mo co mprimentorepresenta m o mes mo vetor. Adirec ˜ ao, osentido e oco mprimento dovetor s˜ ao definidosco mosendo a direc ˜ ao, o sentido e oco mprimento de qualquer u m dossegmentos orientados que orepresenta m.

Estefato´ e an´ alogo ao que ocorre co m os n´ u merosracionais e asfrac ˜ oes. Duasfrac ˜ oesrepre-

Figura 3. 1: Segmentos orientadosrepresentando o mes movetor Marc o 2010 ReginaldoJ. Santos

152 Vetore s no Plano e no Espac o senta m o mes mo n´ u meroracionalse o nu merador e o deno minador de cada u ma delas estivere m na mes ma proporc ˜ ao. Por exe mplo, asfrac ˜ oes 1/2, 2/4 e 3/6representa m o mes mo n´ u meroracio- nal. Adefinic ˜ ao deigualdade de vetoresta mb´ e m ´ e an´ aloga aigualdade de n´ u merosracionais. Dois n´ u merosracionais 푎/ 푏 e 푐/푑 s˜ aoiguais, quando 푎푑 = 푏푐. Dize mos que dois vetores s˜ aoiguais se eles possue m o mes mo co mprimento, a mes ma direc ˜ ao e o mes mo sentido.

Na Figura 3. 1te mos 4segmentos orientados, co m origens e m pontos diferentes, querepresenta m o mes mo vetor, ou seja, s˜ ao considerados co mo vetoresiguais, pois possue m a mes ma direc ˜ ao, mes mosentido e o mes moco mprimento.

Se o pontoinicialde u mrepresentante de u m vetor 푉 ´ e 퐴 e o ponto final´ e 퐵, ent˜ ao escreve mos

3. 1 So ma de Vetores e Multiplicac ˜ ao por Escalar

Aso ma, 푉 + 푊, de dois vetores 푉 e 푊 ´ e deter minada daseguintefor ma:

∙to me u m segmento orientado querepresenta 푉;

∙to me u m segmento orientado querepresenta 푊, co m orige m na extre midade de 푉;

∙ovetor 푉 + 푊 ´ erepresentado pelosegmento orientado quevaida orige m de 푉 at´ e a extre mi- dade de 푊.

Da Figura 3. 2, deduzimos que aso ma devetores´ e co mutativa, ou seja,

Matrizes Vetores e Geo metria Anal´ ıtica Marc o 2010

3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 153

Marc o 2010 ReginaldoJ. Santos

154 Vetore s no Plano e no Espac o para quaisquer vetores 푉 e 푊. Observa mosta mb´ e m que a so ma 푉 + 푊 est´ a na diagonal do paralelogra mo deter minado por 푉 e 푊, quando est˜ aorepresentadosco m a mes ma orige m.

Figura 3. 3, deduzimos que aso ma devetores´ e associativa, ou seja, para quaisquer vetores 푉, 푊 e 푈.

Ovetor quete m asua orige m coincidindoco m asua extre midade´ e cha mado vetor nulo e deno- tado por ¯

0. Segue ent˜ ao, que paratodo vetor 푉.

Para qualquer vetor 푉, o sim´ etrico de 푉, denotado por −푉, ´ e o vetor quete m mes mo co mpri- mento, mes ma direc ˜ ao e sentido contr´ ario ao de 푉. Segue ent˜ ao, que

Definimos a difere nc a 푊 menos 푉, por 푊 −푉 = 푊 +( −푉).

Assim, a diferenc a 푉 − 푊 ´ e u m vetor queso mado a 푊 d´ a 푉, portanto elevaida extre midade de 푊 at´ e a extre midade de 푉, desde que 푉 e 푊 esteja mrepresentados por segmentos orientados co m a mes ma orige m.

A multiplicac ˜ ao de u m vetor 푉 por u m escalar 훼, 훼 푉, ´ e deter minada pelovetor que possuias seguintescaracter´ ısticas:

Matrizes Vetores e Geo metria Anal´ ıtica Marc o 2010

3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 155 e o vetor nulo, se 훼 = 0 ou 푉 = ¯ 0,

(b)casocontr´ ario, i. te m co mprimento∣훼∣vezes oco mprimento de 푉, i. a direc ˜ ao ´ e a mes ma de 푉 (nestecaso, dize mos que eless˜ ao para lelos), i. te m o mes mosentido de 푉, se 훼 > 0 e te m osentidocontr´ ario ao de 푉, se 훼 < 0.

As propriedades da multiplicac ˜ ao por escalar ser˜ ao apresentadas mais afrente. Se 푊 = 훼 푉, dize mos que 푊 ´ e u m multiplo escalar de 푉. ´

Ef´ acilver que dois vetores n˜ ao nulos s˜ ao paralelos

(ou colineare s)se, e so mente se, u m´ e u m m´ ultiplo escalar do outro.

As operac ˜ oesco mvetores pode mser definidas utilizando u m siste ma de coordenadasre tangu- lare s ou cartesianas. Em primeirolugar, va mos considerar os vetores no plano.

Seja 푉 u mvetor no plano. Definimos as co mponentes de 푉 co mosendo ascoordenadas(푣1 ,푣2 ) do ponto finaldorepresentante de 푉 quete m pontoinicialna orige m. Va mosidentificar o vetor co m assuasco mponentes eva mos escrever simples mente

Assim, as coordenadas de u m ponto 푃 s˜ aoiguais as co mponentes do vetor

− → 푂푃, que vai da orige m do siste ma de coordenadas ao ponto 푃. Em particular, o vetor nulo, ¯ 0 = (0,0). Emter mos das co mponentes, pode mosrealizarfacilmente as operac ˜ oes: so ma de vetores e multiplicac ˜ ao de vetor por escalar.

Marc o 2010 ReginaldoJ. Santos

156 Vetore s no Plano e no Espac o

Figura 3. 4: Adiferenc a 푉 − 푊

Multiplicac ˜ ao devetor por escalar

Matrizes Vetores e Geo metria Anal´ ıtica Marc o 2010

3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 157

Figura 3. 6: Asco mponentes dovetor 푉 no plano

As coordenadas de 푃 s˜ ao iguais asco mponentes de − → 푂푃

Marc o 2010 ReginaldoJ. Santos

158 Vetore s no Plano e no Espac o

∙ Co moilustrado na Figura 3. 8, a so ma de doisvetores 푉 =(푣1 ,푣2 ) e 푊 =( 푤1 , 푤2 ) ´ e dada por

∙ Co moilustrado na Figura 3. 9, a multiplicac ˜ ao de u m vetor 푉 = (푣1 ,푣2 ) por u m escalar 훼 ´ e dada por

Definimos as co mponentes de u m vetor noespac odefor ma an´ aloga a quefize mosco mvetores no plano. Va mosinicialmenteintroduzir u m siste ma de coordenadasre tangulare s no espac o. Para isto, escolhe mos u m ponto co mo orige m 푂 e co mo eixos coordenados, trˆ esretas orientadas(co m sentido de percurso definido), passando pela orige m, perpendiculares entre si, sendo u ma delas verticalorientada para cima. Estes ser˜ ao os eixos 푥,푦 e 푧. Oeixo 푧 ´ e o eixo vertical. Os eixos 푥 e 푦 s˜ ao horizontais e satisfaze m a seguinte propriedade. Suponha que gira mos o eixo 푥 pelo menor

(Parte 1 de 6)

Comentários