Vetores no Plano e no Espaço

Vetores no Plano e no Espaço

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ˆ angulo at´ e que coincida co m o eixo 푦. Se os dedos da m˜ ao direita aponta m na direc ˜ ao do se mi- eixo 푥 positivo defor ma que o se mi- eixo 푦 positivo esteja dolado da palma da m˜ ao, ent˜ ao o polegar aponta nosentido dose mi- eixo푧 positivo. Cada par de eixos deter mina u m planocha mado de plano coordenado. Portanto ostrˆ es planoscoordenadoss˜ ao: 푥푦, 푦푧 e 푥푧.

Acada ponto 푃 no espac o associa mos u mterno de n´ u meros(푥,푦,푧), cha mado de coordenadas do ponto 푃 co mosegue.

∙Trace u mareta paralela ao eixo푧, passando por 푃;

∙ Aintersec ˜ ao dareta paralela ao eixo 푧, passando por 푃, co m o plano 푥푦 ´ e o ponto 푃′ . As coordenadas de 푃′

, (푥,푦), no siste ma de coordenadas 푥푦 s˜ ao as duas primeirascoordenadas de 푃.

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 159

Figura 3. 8: A so ma de dois vetores no plano

훼푣 2

A multiplicac ˜ ao devetor por es- calar no plano

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160 Vetore s no Plano e no Espac o

∙ Aterceira coordenada´ eigualao co mprimento do segmento 푃 푃′ , se 푃 estiver acima do plano

푥푦 e aoco mprimento dosegmento 푃 푃′ co m osinalnegativo, se 푃 estiver abaixo do plano 푥푦.

Ascoordenadas de u m ponto 푃 s˜ ao deter minadasta mb´ e m da maneira dada aseguir.

∙ Passetrˆ es planos por 푃 paralelos aos planoscoordenados.

∙ Aintersec ˜ ao do plano paralelo ao plano 푥푦, passando por 푃, co m o eixo푧 deter mina acoorde- nada 푧.

∙ Aintersec ˜ ao do plano paralelo ao plano 푥푧, passando por 푃, co m o eixo 푦 deter mina acoorde- nada 푦

∙ Aintersec ˜ ao do plano paralelo ao plano 푦푧, passando por 푃, co m o eixo 푥 deter mina acoorde- nada 푥.

Agora, esta mos prontos para utilizar mos u m siste ma de coordenadas cartesianasta mb´ e m nas operac ˜ oes de vetores no espac o. Seja 푉 u m vetor no espac o. Co mo no caso de vetores do plano, definimos as co mponentes de 푉 co mo sendo as coordenadas(푣1 ,푣2

,푣3 ) do ponto finaldorepre- sentante de 푉 quete m pontoinicial na orige m. Ta mb´ e m va mosidentificar o vetor co m as suas co mponentes eva mos escrever simples mente

Assim, as coordenadas de u m ponto 푃 s˜ aoiguais as co mponentes do vetor

− → 푂푃 que vai da orige m dosiste ma decoordenadas ao ponto 푃. Em particular, ovetor nulo, ¯ 0 =(0,0,0). Assimco mo fize mos para vetores no plano, para vetores no espac o a so ma de vetores e a multiplicac ˜ ao de vetor por escalar pode m serrealizadas e mter mos dasco mponentes.

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 161

, 푤3 ), ent˜ ao a adic ˜ ao de 푉 co m 푊 ´ e dada por

,푣3 ) e 훼´ e u m escalar, ent˜ ao a multiplicac ˜ ao de 푉 por 훼´ e dada por

Quandou mvetor 푉 est´ arepresentadoporu msegmentoorientadoco mpontoinicialforadaorige m

,푧2 ), ent˜ ao asco mponentes do vetor 푉 s˜ ao dadas por

Portanto, as co mponentes de 푉 s˜ ao obtidas subtraindo- se as coordenadas do ponto 푄(extre mi- dade)das do ponto 푃(orige m). O mes mose aplica avetores no plano.

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162 Vetore s no Plano e no Espac o

Exe mplo 3. 2. As co mponentes do vetor 푉 que te m u m representante co m pontoinicial 푃 =

Observac ˜ ao. Ovetor ´ e“livre”, ele n˜ aote m posic ˜ ao fixa, ao contr´ ario do ponto e do segmento orien- tado. Por exe mplo, o vetor 푉 = ( −5/2,3/2,1/2), no exe mplo acima, estavarepresentado por u m segmento orientado co m a orige m no ponto 푃 = (5/2,1,2). Mas, poderia serrepresentado por u m segmento orientadocujo pontoinicialpoderia estar e m qualquer outro ponto.

Um vetor no espac o 푉 = (푣1 ,푣2

,푣3 ) podeta mb´ e m ser escrito na notac ˜ ao matricialco mo u ma matrizlinha ou co mo u ma matriz coluna:

Estas notac ˜ oes pode m serjustificadas pelofato de que as operac ˜ oes matriciais

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 163

훼푣1 훼푣2 훼푣 produze m os mes mosresultados que as operac ˜ oesvetoriais

O mes mo vale, naturalmente, para vetores no plano.

No teore ma seguinte enuncia mos as propriedades maisimportantes da so ma de vetores e multiplicac ˜ ao de vetores por escalar.

Teore ma 3. 1. Seja m 푈, 푉 e 푊 vetores e 훼 e 훽 escalares. S˜ ao v´ alidas asseguintes propriedades:

De monstra c ˜ ao. Segue direta mente das propriedades da ´ algebra matricial(Teore ma 1. 1na p´ agina

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164 Vetore s no Plano e no Espac o

Exe mplo 3. 3. Seja u mtriˆ angulo 퐴퐵 퐶 e seja m 푀 e 푁 os pontos m´ edios de 퐴퐶 e 퐵 퐶, respectiva- mente. Va mos provar que 푀 푁 ´ e paralelo a 퐴퐵 ete m co mprimentoiguala metade do co mprimento de 퐴퐵 .

Deve mos provar que

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