Vetores no Plano e no Espaço

Vetores no Plano e no Espaço

(Parte 3 de 6)

Agora, a partir dafigura acimate mos que

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166 Vetore s no Plano e no Espac o

Co mo 푀 ´ e ponto m´ edio de 퐴퐶 e 푁 ´ e ponto m´ edio de 퐵 퐶, ent˜ ao

Logo,

Exe mplo 3. 4. Dados quatro pontos 퐴, 퐵, 퐶 e 푋tais que − → 퐴푋 = 휆 − → 퐴퐵 , va mos escrever − → 퐶 푋 co mo co mbinac ˜ aolinear de

퐶 퐵, isto´ e, co mo u ma so ma de m´ ultiplos escalares de

퐴퐵 , ent˜ ao osvetores

퐴퐵 s˜ ao paralelos e portanto o ponto 푋 s´ o pode estar nareta definida por 퐴 e 퐵. Va mos desenh´ a-lo entre 퐴 e 퐵, masisto n˜ ao vairepresentar nenhu ma restric ˜ ao.

Ovetor quevaide 퐶 para 푋, podeser escritoco mo u maso ma de u m vetor quevaide 퐶 para 퐴 co m u m vetor quevaide 퐴 para 푋,

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 167

Agora, por hip´ otese

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168 Vetore s no Plano e no Espac o

Observe que:

Exe mplo 3. 5. Va mos mostrar, usandovetores, queoponto m´ ediodeu msegmentoqueuneospontos

Oponto 푀 ´ e o ponto m´ edio de 퐴퐵 se, e so mente se,

퐴퐵 . Ent˜ ao, aplicando o exe mplo anterior(co m o ponto 퐶 sendo a orige m 푂), − →

− → 푂 퐵. Co mo as coordenadas de u m ponto s˜ aoiguais as co mponentes do vetor que vaida orige m at´ e aquele ponto, segue- se que

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 169

Exercıcios Nu m´ ericos(respostas na p´ agina 585)

3. 1. 1. Deter mine o ponto 퐶talque

3. 1. 2. Umareta no planote m equac ˜ ao 푦 = 2푥 + 1. Deter mine u m vetor paralelo a estareta.

3. 1. 3. Deter mine u ma equac ˜ ao para areta no plano que´ e paralela ao vetor 푉 =(2,3) e passa pelo

3. 1. 5. Deter mine os vetores 푋 e 푌 tais que

3. 1. 6. Deter mine ascoordenadas da extre midade dosegmento orientado querepresenta ovetor 푉 =

3. 1. 7. Quais s˜ ao as coordenadas do ponto 푃′

, sim´ etrico do ponto 푃 =(1,0,3) e mrelac ˜ ao ao ponto

´ etalque ovetor

3. 1. 8. Verifique se os pontos dados a seguir s˜ ao colineare s, isto´ e, pertence m a u ma mes mareta:

talque 퐴, 퐵, 퐶 e 퐷 seja m v´ erticesconsecutivos de u m paralelogra mo.

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170 Vetore s no Plano e no Espac o

3. 1. 10. Verifique se o vetor 푈 ´ e co mbinac ˜ aolinear(so ma de m´ ultiplos escalares)de 푉 e 푊:

3. 1. 1. Verifiquese´ e u m paralelogra mo o quadril´ atero dev´ ertices(n˜ ao necessaria menteconsecutivos)

Exercıcios usando o MATLAB Ⓡ

>> V=[v1,v2,v3] cria u m vetor V, usando as co mponentes nu m´ ericas v1, v2, v3. Por

>> V+W ´ e a so ma de V e W;>> V-W ´ e a diferenc a V menos W;>> num*V ´ e o produto dovetor V pelo escalar num;

>> subs(expr,x,num) substituix por num na express˜ ao expr;

>> solve(expr) deter mina a soluc ˜ ao da equac ˜ ao expr=0;

Co mandos gr´ aficos do pacote GAAL:

>> desvet(P,V) desenha ovetor V co m orige m no ponto P e >> desvet(V) desenha ovetor V co m orige m no ponto 푂 =(0,0,0).

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 171

>> po([P1;P2;...;Pn]) desenha os pontos P1, P2,, Pn.

>> lineseg(P1,P2,’cor’) desenha o segmento dereta P1P2. >> tex(P,’texto’) coloca o texto no ponto P.

>> axissreescala os eixos co m a mes ma escala. >> eixos desenha os eixos coordenados.

>> box desenha u ma caixa e m volta da figura. >> rotafaz u marotac ˜ ao e mtorno do eixo 푧.

>> zoom3(fator) a mplifica aregi˜ ao pelo fator.

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