Vetores no Plano e no Espaço

Vetores no Plano e no Espaço

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3. 1. 13. Coloque e m duas vari´ aveis 푉 e 푊 doisvetores do plano ou do espac o aseu crit´ erio

(a) Use afunc ˜ ao ilsvw(V,W) para visualizar a so ma dos dois vetores.

(b) Coloque e m u ma vari´ avel a u m n´ u mero e use afunc ˜ ao ilav(a,V) para visualizar a multiplicac ˜ ao do vetor V pelo escalar a.

pararesolver os Exercıcios Nu m´ ericos a partir do Exerc´ ıcio 1. 3.

Exercıcios Te´ oricos

De monstre que osegmento que une os pontos m´ edios doslados n˜ ao paralelos de u mtrap´ ezio

´ e paralelo ` as bases, e sua medida ´ e a m´ edia aritm´ etica das medidas das bases. (Sugest˜ ao:

mostre que − →

− → 퐴퐵 + − → 퐷 퐶) e depois conclua que − →

푀 푁 ´ e u m m´ ultiplo escalar de

Revise o

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172 Vetore s no Plano e no Espac o

3. 1. 16. De monstre que as diagonais de u m paralelogra mo se corta m ao meio. (Sugest˜ ao: Seja m 푀 e

푁 os pontos m´ edios das duas diagonais do paralelogra mo. Mostre que ovetor conclua que 푀 = 푁.)

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 173

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174 Vetore s no Plano e no Espac o

3. 1. 17. Considere otriˆ angulo 퐴퐵 퐶 e seja m 푀 o ponto m´ edio de 퐵 퐶, 푁 o ponto m´ edio de 퐴퐶 e 푃 o ponto m´ edio de 퐴퐵 . Mostre que as medianas(os segmentos 퐴푀 , 퐵 푁 e 퐶 푃)se corta m nu m mes mo ponto que divide as medianas na proporc ˜ ao 2/3 e 1/3. (Sugest˜ ao: Seja m 퐺, 퐻 e퐼 os pontos definidos por − →

− → 퐶 푃. Mostre que conclua que 퐺 = 퐻 = 퐼.)

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 175

3. 1. 18. Seja m 퐴, 퐵 e 퐶 pontos quaisquer co m 퐴∕= 퐵. Prove que:

(a) Um ponto 푋 pertence areta deter minada por 퐴 e 퐵( − → 퐴푋 = 휆 − → 퐴퐵 )se, e so mente se,

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176 Vetore s no Plano e no Espac o

(b) Um ponto 푋 pertence aointerior do segmento 퐴퐵 ( − → 퐴푋 = 휆 − → 퐴퐵 , co m 0 < 휆 < 1)se, e so mente se,

(c) Um ponto 푋 ´ e u m pontointerior aotriˆ angulo 퐴퐵 퐶 ( e m que 퐴 ′

´ e u m pontointerior ao segmento 퐴퐶 e 퐵

´ einterior ao segmento 퐶 퐵)se, e so mente se,

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 177

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178 Vetore s no Plano e no Espac o x y

푦푥 x y

Figura 3. 10: Ascoordenadas de u m ponto no espac o

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3. 1 So ma de Vetore s e Multiplicac ˜ ao por Escalar 179 x y

Figura 3. 1: As co mponentes de u m vetor no espac o x y

As coordenadas de 푃 s˜ ao iguais asco mponentes de − → 푂푃

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180 Vetore s no Plano e no Espac o x y

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3. 2 Produtos de Vetore s 181

3. 2 Produtos de Vetores

3. 2. 1 Nor ma e Produto Escalar

J´ a vimos que o co mpri mento de u m vetor 푉 ´ e definido co mo sendo o co mprimento de qualquer u m dos segmentos orientados que orepresenta m. Oco mprimento do vetor 푉 ta mb´ e m ´ e cha mado de norm a de 푉 e´ e denotado(a)por∣∣푉∣∣. Segue do Teore ma de Pit´ agoras que a nor ma de u m vetor podeser calculada usando assuasco mponentes, por no caso e m que 푉 =(푣1 ,푣2 ) ´ e u m vetor no plano, e por no caso e m que 푉 =(푣1 ,푣2

,푣3 ) ´ e u m vetor no espac o(verifique usando as Figuras 3. 14e 3. 15).

Um vetor de nor maiguala 1´ echa mado vetor unit´ ari o.

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