Vetores no Plano e no Espaço

Vetores no Plano e no Espaço

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Adistˆ ancia entre dois pontos 푃 =(푥1 ,푦1

,푧2 ) ´ eigual` a nor ma do vetor de 푃 a 푄´ e dada por

Analoga mente, a distˆ ancia entre dois pontos 푃 = (푥1 ,푦1 ) e 푄 = (푥2 ,푦2 ) no plano ´ eigual` a nor ma dovetor − →

푃 푄, que´ e dada por

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182 Vetore s no Plano e no Espac o

Figura 3. 14: A nor ma de u m vetor 푉 no plano x y

Figura 3. 15: A nor ma de u m vetor 푉 no espac o

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3. 2 Produtos de Vetore s 183

,푣3 ) e 훼 ´ e u m escalar, ent˜ ao da definic ˜ ao da multiplicac ˜ ao de vetor por escalar e da nor ma de u m vetor segue- se que

Dado u m vetor 푉 n˜ ao nulo, o vetor

´ e u m vetor unit´ ario na dire c ˜ ao de 푉, pois por( 3. 5), te mos que

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184 Vetore s no Plano e no Espac o

Exe mplo 3. 7. Um vetor unit´ ario na direc ˜ ao dovetor 푉 =(1, −2,3)´ e o vetor

Oˆ angulo entre dois vetores n˜ ao nulos, 푉 e 푊, ´ e definido peloˆ angulo 휃 deter minado por 푉 e 푊 quesatisfaz 0 ≤휃 ≤휋, quando eles est˜ aorepresentadosco m a mes ma orige m( Figura 3. 16).

Quando oˆ angulo휃 entre doisvetores 푉 e 푊 ´

), ou u m deles´ e ovetor nulo, dize mos que os vetores 푉 e 푊 s˜ ao ortogonais ou perp endiculare s entre si.

Va mos definir, agora, u m produto entre dois vetores, cujoresultado´ e u m escalar. Porisso ele ´ e cha mado produto escalar. Este produtote m aplicac ˜ ao, por exe mplo, e m F´ ısica: otrabalhorealizado por u maforc a´ e o produto escalar do vetorforc a pelo vetor desloca mento, quando aforc a aplicada´ e constante.

Definic ˜ ao 3. 1. Oproduto escalar ouintern o de dois vetores 푉 e 푊 ´ e definido por

0, se 푉 ou 푊 ´ e o vetor nulo, e m que 휃´ e o ˆ angulo entre eles.

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3. 2 Produtos de Vetore s 185

Quando os vetores s˜ ao dados e mter mos das suas co mponentes n˜ ao sabe mos direta mente o

ˆ angulo entre eles. Porisso, precisa mos de u mafor ma decalcular o produto escalar que n˜ ao necessite doˆ angulo entre os vetores.

Se 푉 e 푊 s˜ ao dois vetores n˜ ao nulos e 휃´ e o ˆ angulo entre eles, ent˜ ao pelaleidoscossenos,

Assim,

J´ ate mos ent˜ ao u maf´ or mula paracalcular o produto escalar que n˜ ao depende direta mente doˆ angulo entre eles. Substituindo- se as coordenadas dos vetores e m( 3. 6)obte mos u ma express˜ ao mais sim- ples para o c´ alculo do produtointerno.

Por exe mplo, se 푉 =(푣1 ,푣2

, 푤3 ) s˜ ao vetores no espac o, ent˜ ao substituindo-

푖 e 푤 s˜ aocancelados e obte mos

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186 Vetore s no Plano e no Espac o

Angulo entre doisvetores, agudo(` a esquerda)e obtuso(` a direita) angulofor mado porrepresentantes de 푉, 푊 e 푉 − 푊. `

Aesquerda oˆ angulo entre 푉 e 푊 ´ e agudo e` a direita´ e obtuso.

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3. 2 Produtos de Vetore s 187

Teore ma 3. 2. Oproduto escalar ouinterno, 푉 ⋅ 푊, entre dois vetores´ e dado por

, 푤3 ) s˜ ao vetores no espac o.

Pode mos usar o

Teore ma 3. 2para deter minar oˆ angulo entre dois vetores n˜ ao nulos, 푉 e 푊. O cosseno doˆ angulo entre 푉 e 푊 ´ e, ent˜ ao, dado por co s휃 = 푉⋅ 푊

Se 푉 e 푊 s˜ ao vetores n˜ ao nulos e 휃´ e o ˆ angulo entre eles, ent˜ ao

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188 Vetore s no Plano e no Espac o

Exe mplo 3. 9. Va mos deter minar o ˆ angulo entre u ma diagonalde u m cubo e u ma de suas arestas.

Figura 3. 18). Uma diagonaldocubo´ erepresen- tada pelovetor 퐷 dado por

Ent˜ ao oˆ angulo entre 퐷 e 푉1 satisfaz co s휃 = ou seja,

휃 = arcco s(

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