Vetores no Plano e no Espaço

Vetores no Plano e no Espaço

(Parte 6 de 6)

3. 2 Produtos de Vetore s 189 x y

Figura 3. 18: ˆ Angulo entre a diagonalde u m cubo e u ma desuas arestas

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190 Vetore s no Plano e no Espac o

Teore ma 3. 3. Seja m 푈, 푉 e 푊 vetores e 훼 u m escalar. S˜ ao v´ alidas asseguintes propriedades:

(a)(co mutatividade)푈⋅푉 = 푉⋅푈;

De monstra c ˜ ao. Seja m 푈 =(푢1 , 푢2

´ e u maso ma de quadrados, porisso´ ese mpre maior ouigualazero e´ e zero se, e so mente se, todas as parcelas s˜ aoiguais a zero. ■

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3. 2 Produtos de Vetore s 191

3. 2. 2 Projec ˜ ao Ortogonal

Dados doisvetores 푉 e 푊 a projec ˜ ao ortogonalde 푉 sobre 푊 denotada por proj푊 푉

´ e o vetor que´ e paralelo a 푊talque 푉 −proj푊 푉 seja ortogonala 푊( Figura 3. 19).

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192 Vetore s no Plano e no Espac o

Proposic ˜ ao 3. 4. Seja 푊 u m vetor n˜ ao nulo. Ent˜ ao, a projec ˜ ao ortogonalde u m vetor 푉 e m 푊 ´ e dada por proj푊 푉 =

De monstra c ˜ ao. Seja m 푉1 = proj푊 푉 e 푉2 = 푉 −proj푊 푉. Co mo 푉

´ e paralelo a 푊, ent˜ ao

Assim,

Multiplicando- se escalar mente 푉2 por 푊 e usando o Teore ma 3. 3(d)obte mos

´ e ortogonala 푊, ent˜ ao 푉2 ⋅ 푊 = 0. Portanto, de( 3. 8)obte mos

Substituindo estevalor de 훼 na equac ˜ ao( 3. 7)segue- se oresultado. ■

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3. 2 Produtos de Vetore s 193

´ e paralelo a 푊 e 푉

´ e perpendicular a 푊( Figura 3. 19). Te mos que

푉1 = proj푊 푉 =

3. 2. 3 Produto Vetorial

Va mos, agora, definir u m produto entre dois vetores, cujoresultado ´ e u m vetor. Porisso, ele ´ e cha mado produto vetorial. Este produtote m aplicac ˜ ao, por exe mplo, e m F´ ısica: aforc a exercida sobre u ma part´ ıcula co m carga unit´ aria mergulhada nu m ca mpo magn´ etico unifor me ´ e o produto vetorialdovetor velocidade da part´ ıcula pelovetor ca mpo magn´ etico.

Definic ˜ ao 3. 2. Seja m 푉 e 푊 dois vetores no espac o. Definimos o produto vetorial, 푉 × 푊, co mo sendo o vetor co m asseguintescaracter´ ısticas:

(a)Te mco mprimento dado nu merica mente por ou seja, a nor ma de 푉 × 푊 ´ e nu merica menteiguala´ area do paralelogra mo deter minado por

푉 e 푊.

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194 Vetore s no Plano e no Espac o proj 푊 푉 푊 proj 푊 푉

Projec ˜ ao ortogonaldovetor 푉 sobre ovetor 푊

Figura 3. 20: ´ Area de u m paralelogra mo deter minado por doisvetores

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3. 2 Produtos de Vetore s 195

(b)Te m direc ˜ ao perpendicular a 푉 e a 푊.

(c)Te m o sentido dado pelaregra da m˜ ao direita(Figura 3. 21): Se o ˆ angulo entre 푉 e 푊 ´ e 휃, gira mos o vetor 푉 de u mˆ angulo 휃 at´ e que coincida co m 푊 e aco mpanha mos este movimento co m os dedos da m˜ ao direita, ent˜ ao o polegar vaiapontar nosentido de 푉 × 푊.

Dafor ma co mo definimos o produto vetorial´ e dif´ ıcil o seu c´ alculo, mas as propriedades que apresentare mos a seguir possibilitar˜ ao obter u maf´ or mula para o produto vetorial e mter mos das co mponentes dos vetores.

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