Noções basicas - Funções, sistemas e conjuntos

Noções basicas - Funções, sistemas e conjuntos

(Parte 3 de 11)

Uma tıpica situacao na qual se faz uso do Axioma da Escolha ocorre quando sao dados um conjunto X e uma relacao de equivalencia E em X e constroi-se um conjunto A ⊂ X tomando-se um representante de cada classe de equivalencia de X por E.

Nem sempre e possıvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via Axioma da Escolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situacao ocorre, tome-se o exemplo dado em (1.26), pagina 30 e construa-se um conjunto tomando um elemento de cada classe de equivalencia la descrita. Tal conjunto desempenha um papel na teoria da medida. Vide Capıtulo 23, pagina 1023, em particular a Secao 23.1.

• O produto Cartesiano de uma famılia arbitraria de conjuntos

Ja discutimos o conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos A e B: A × B e com ele introduzimos a nocao de funcao. De posse dessa nocao podemos, com vistas a uma generalizacao, apresentar uma outra visao do conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos, a saber, podemos dizer que A × B e o conjunto de todas as funcoes f : {1, 2} → A∪B tais que f(1) ∈ A e f(2) ∈ B. A ideia e dizer que cada par ordenado (a, b) com a ∈ A e b ∈ B e uma funcao onde o primeiro membro do par e a imagem de 1 (por ser o primeiro) e o segundo a imagem de 2 (por ser o segundo). Essa ideia permite definir produtos Cartesianos de um numero finito n de conjuntos A1, A2,...,An denotado por A1×A2×...×An

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 28/1507 como sendo o conjunto de todas as funcoes f : {1, 2,...,n} → n⋃

A funcao f tem, por assim dizer, o papel de ordenar os elementos de n⋃ j=1 Aj tomando-se sucessivamente um elemento de

cada Ai por vez. O produto Cartesiano A1 × A2 ×× An e assim entendido como o conjunto formado por todas as

enuplas ordenadas (a1,...,an) com ai ∈ Ai.

Essa ideia pode ser generalizada ainda mais. Sejam I um conjunto nao-vazio (nao necessariamente finito ou enumeravel) e Ai, i ∈ I, conjuntos nao-vazios indexados por elementos de I. Definimos entao o produto Cartesiano da famılia de conjuntos {Ai, i ∈ I}, denotado por ∏ i∈I Ai, como sendo o conjunto de todas as funcoes f : I → j∈I Aj tais que f(x) ∈ Ax para todo x ∈ I. O Axioma da Escolha (pagina 27) consiste na afirmacao (ou melhor dizendo, na suposicao, ja que se trata de um axioma) que × i∈I

Ai e nao-vazio. Em sımbolos

Se por ventura todos os conjuntos Ai forem identicos entao denota-se o produto Cartesiano acima por AI. Assim, AI denota o conjunto de todas as funcoes de I em A.

Desta forma N×N e N{1, 2} sao duas notacoes distintas para o mesmo objeto, que tambem e denotado simplesmente por N2, como se sabe. Genericamente Nd designa N{1,...,d} para d ∈ N, d > 0.

Ainda sobre a notacao, o produto Cartesiano × i∈I

Ai e tambem denotado por i∈I Ai. Um elemento de i∈I Ai ou

Ai sera denotado por × i∈I

(ai). Assim, se I = {1,, n} teremos
a1,, an)

• Comentario sobre a associatividade do produto Cartesiano

Dados tres conjuntos A1, A2 e A3 podemos, empregando as definicoes acima, definir os produtos Cartesianos A1 ≡

distintos. Existem, no entanto, mapeamentos canonicos bijetivos entre eles (encontre-os!) e, por essa razao, a distincao entre A1, A2 e A3 e frequentemente ignorada. Dessa forma, com um certo abuso de linguagem, produto Cartesiano e por vezes tomado como sendo associativo, ainda que, estritamente falando, nao o seja.

1.1.1.2 Relacoes de Compatibilidade e de Incompatibilidade Seja P um conjunto nao-vazio. Uma relacao C ⊂ P × P que satisfaca

1. Reflexividade: Para todo γ ∈ P vale (γ, γ) ∈ C. 2. Simetria: Se γ e γ′ sao tais que (γ, γ′) ∈ C, entao (γ′, γ) ∈ C, e dita ser uma relacao de compatibilidade ou tambem uma relacao de incompatibilidade5.

5Na linguagem comum, as palavras compatibilidade e incompatibilidade sao antonimos, mas enquanto relacoes, sao caracterizadas pelas mesmas propriedades e usar uma ou outra depende apenas do sentido positivo ou negativo que se deseja imprimir a relacao. Ilustremos isso com um exemplo. Se duas pessoas possuem uma aspiracao comum, podemos tanto dizer que essas pessoas sao compatıveis quanto incompatıveis. Diremos que sao compatıveis se a aspiracao comum puder ser satisfeita de modo nao conflituoso (por exemplo, se for a aspiracao pela vitoria de um mesmo time de futebol), mas diremos que sao incompatıveis se a aspiracao comum so puder ser satisfeita de modo conflituoso (por exemplo, se for a aspiracao por uma vaga de emprego unica em uma empresa).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 29/1507

Para uma dada relacao de compatibilidade C denotamos γ ∼C γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos que γ e γ′ sao C- compatıveis. Se uma dada relacao C e subentendida, denotamos simplesmente γ ∼ γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos simplesmente que γ e γ′ sao compatıveis.

Quando se fala em relacoes de incompatibilidade, e costume indicar por γ 6∼C γ′ o fato de γ e γ′ serem incompatıveis.

Relacoes de incompatibilidade sao importantes na Mecanica Estatıstica, especialmente nas chamadas expansoes de polımeros e de “clusters”.

Exemplo. Seja X um conjunto nao-vazio e P = (X) \ {∅}, a colecao de todos os subconjuntos nao-vazios de X. Uma relacao de incompatibilidade em P e definida por I = {(A, B) ∈ P × P, A ∩ B = ∅}. Consequentemente,

Um tipo muito importante de relacao e formado pelas chamadas relacoes de equivalencia. Relacoes de equivalencia ocorrem em um sem-numero de construcoes matematicas importantes, como veremos em varios exemplos deste texto. A nocao de relacao de equivalencia e muito antiga na Matematica, sendo encontrada (nao sob esse nome) nos Elementos de Euclides6.

Uma relacao E ⊂ A × A e dita ser uma relacao de equivalencia em um conjunto nao-vazio A se os seguintes quesitos forem satisfeitos:

Se o par (a, b) pertence a uma relacao de equivalencia E entao a e b sao ditos serem equivalentes segundo E. Quase sempre usa-se a notacao a E∼ b, ou simplesmente a ∼ b, para indicar que dois elementos sao equivalentes segundo uma relacao de equivalencia dada. Com essa notacao, as propriedades definidoras de uma relacao de equivalencia dadas acima podem ser reescritas como

1. Reflexividade: a ∼ a para todo a ∈ A. 2. Simetria: a ∼ b implica b ∼ a. 3. Transitividade: se a ∼ b e b ∼ c, entao a ∼ c.

• Classes de equivalencia Seja A um conjunto e E ⊂ A × A uma relacao de equivalencia em A. Para cada a ∈ A podemos definir o conjunto

Esse conjunto e chamado de classe de equivalencia de a (pela relacao de equivalencia E). Na literatura, encontra-se tambem frequentemente a notacao [a] para denotar a classe de equivalencia do elemento a.

E. 1.5 Exercıcio. Seja A um conjunto e E ⊂ A × A e uma relacao de equivalencia em A. Suponha que a, b ∈ A e que a ∼ b segundo E. Prove que E(a) = E(b). 6

E. 1.6 Exercıcio importante. Prove que se A e um conjunto e E ⊂ A×A e uma relacao de equivalencia em A, entao A e a uniao disjunta de classes de equivalencia de seus elementos. 6

O Exercıcio E. 1.6 informa-nos que dada uma relacao de equivalencia em um conjunto A suas classes de equivalencia particionam A (segundo a definicao de particao encontrada a pagina 25).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 30/1507

E. 1.7 Exercıcio. Seja o conjunto dos numeros reais R e seja a relacao W ⊂ R × R definida por

onde Q e o conjunto dos numeros racionais. Prove que W e uma relacao de equivalencia. 6

1.1.1.4 Relacoes de Ordem Tambem muito importantes sao as chamadas relacoes de ordem, que existem em diversas formas.

• Pre-ordenamento

Seja X um conjunto nao-vazio. Uma relacao R ⊂ X × X e dita ser uma relacao de pre-ordenamento em X, ou uma relacao de quase-ordem em X, ou simplesmente uma pre-ordem em X, se as seguintes condicoes forem satisfeitas:

1. Reflexividade: para todo a ∈ X tem-se que (a, a) ∈ R. 2. Transitividade: se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R entao (a, c) ∈ R.

Se X possui uma pre-ordem R, X e dito ser um conjunto pre-ordenado, ou um conjunto quase-ordenado, por R.

E costume, dada uma relacao de pre-ordenamento R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atraves da notacao a ≺R b, ou, de forma mais simplificada, atraves da notacao a ≺ b. Usando o sımbolo ≺ as condicoes definidoras de uma relacao de ordem se escrevem como

1. Reflexividade: para todo a ∈ X tem-se que a ≺ a. 2. Transitividade: se a ≺ b e b ≺ c entao a ≺ c.

Tambem denota-se a relacao a ≺ b por b ≻ a. Relacoes de pre-ordem sao importantes na definicao do conceito de conjunto dirigido, que sera desenvolvida logo abaixo. A nocao de conjunto dirigido, por sua vez, e importante na definicao da nocao de rede, de importancia na Topologia Geral (vide Secao 25.3, pagina 1071).

• Relacao de ordem parcial

Seja X um conjunto nao-vazio. Uma relacao R ⊂ X × X e dita ser uma relacao de ordem parcial em X, ou simplesmente uma relacao de ordem em X, se as seguintes condicoes forem satisfeitas:

1. Reflexividade: para todo a ∈ X vale que (a, a) ∈ R. 2. Transitividade: se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R entao (a, c) ∈ R. 3. Anti-Simetria: Se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R entao forcosamente a = b.

Se X possui uma ordem parcial R, X e dito ser um conjunto parcialmente ordenado por R. Em textos matematicos em lıngua inglesa, conjuntos parcialmente ordenados sao frequentemente denominados posets (de “partially ordered sets”). A nocao de conjunto parcialmente ordenado foi introduzida por Hausdorff7. Como se percebe, uma relacao de ordem parcial e uma relacao de pre-ordem dotada ainda da propriedade de anti-simetria. Mais adiante veremos exemplos de relacoes de pre-ordenamento que nao sao relacoes de ordem parcial. Veremos tambem na Proposicao, 1.5, pagina 31, adiante, que e sempre possıvel construir um conjunto parcialmente ordenado a partir de um conjunto pre-ordenado.

Exemplo de uma relacao de ordem parcial. Seja X um conjunto e (X) a colecao de todos os subconjuntos de X. Podemos estabelecer em (X) uma relacao R do seguinte tipo: para A, B ⊂ X tem-se (A, B) ∈ R se A ⊂ B. Como exercıcio deixamos ao estudante mostrar que esta e uma relacao de ordem parcial de acordo com a definicao acima. Este exemplo ilustra tambem por que chamar tal relacao de ordem de “parcial”. A razao e que nem todo par (A, B) e

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