Noções basicas - Funções, sistemas e conjuntos

Noções basicas - Funções, sistemas e conjuntos

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7Felix Hausdorff (1868–1942). Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos. Perseguido pelo nacionalsocialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentracao.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 31/1507 elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitrarios, nem sempre vale que A ⊂ B ou que B ⊂ A (tal e o caso, por exemplo, se A ∩ B = ∅).

Em funcao da analogia a relacao de ordem usual dos numeros reais e costume, dada uma relacao de ordem R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atraves da notacao a R b ou, de forma mais simplificada, atraves da notacao a b. Por vezes, o sımbolo ≤ e tambem usado, mas tentaremos emprega-lo apenas para denotar a relacao de ordem usual entre numeros reais. Usando o sımbolo as condicoes definidoras de uma relacao de ordem se escrevem como

1. Reflexividade: para todo a ∈ X tem-se que a a. 2. Transitividade: se a b e b c entao a c. 3. Anti-Simetria: se a b e b a entao forcosamente a = b.

Tambem denota-se a relacao a b por b a.

• Obtendo conjuntos ordenamentos parcialmente de conjuntos pre-ordenados

Como observamos acima, todo conjunto parcialmente ordenado e pre-ordenado. A proposicao que segue mostra que de todo conjunto pre-ordenado e possıvel construir um conjunto parcialmente ordenado.

Proposicao 1.5 Seja X um conjunto nao-vazio dotado de uma relacao de pre-ordenamento ≺. Entao, podemos definir uma relacao de equivalencia em X declarando que x ∼ y se x ≺ y e y ≺ x, onde x e y pertencem a X. Seja X a colecao de classes de equivalencia de X por essa relacao de equivalencia. Entao X e parcialmente ordenado pela relacao de ordem parcial definida da seguinte forma: [x] [y] se x ≺ y, onde [z] denota a classe de equivalencia a qual pertence um elemento z ∈ X. 2

Prova. Primeiramente, provemos a afirmacao que ∼, definida no enunciado, estabelece uma relacao de equivalencia em X. Que x ∼ x para todo x ∈ X e evidente pela propriedade de reflexividade do pre-ordenamento ≺. Que y ∼ x caso x ∼ y e evidente pela definicao. Por fim, se x ∼ y e y ∼ z, entao valem 1) x ≺ y; 2) y ≺ x; 3) y ≺ z; 4) z ≺ y. Pela propriedade de transitividade do pre-ordenamento ≺, 1 e 3 implicam x ≺ z e 2 e 4 implicam z ≺ x, estabelecendo que x ∼ z.

Com a relacao de equivalencia acima, X quebra-se em classes de equivalencia. Denotemos por X a colecao dessas classes e denotemos por [x] a classe a qual pertence x ∈ X. Conforme o enunciado, podemos estabelecer em X uma relacao de ordem parcial declarando que [x] [y] se x ≺ y. Provemos essa afirmacao. Primeiramente, notemos que esta realmente definida nas classes, ou seja, independe dos representantes tomadas nas mesmas. De fato, se x′ ∼ x e [x] [y], entao x′ ≺ x e x ≺ y. Pela propriedade de transitividade do pre-ordenamento ≺ segue que x′ ≺ y. Analogamente, se y′ ∼ y e [x] [y], entao x ≺ y e y ≺ y′. Pela propriedade de transitividade do pre-ordenamento ≺ segue que x ≺ y′.

Provemos agora que e realmente uma ordem parcial. Que [x] [x] para todo x ∈ X (e, portanto, para todo elemento de X) e evidente pela propriedade de reflexividade do pre-ordenamento ≺. Se [x] [y] e [y] [z], entao x ≺ y e y ≺ z. Pela propriedade de transitividade do pre-ordenamento ≺, segue que x ≺ z, estabelecendo que [x] [z]. Por fim, se [x] [y] e [y] [x], entao x ≺ y e y ≺ x. Logo, x ∼ y e, consequentemente, [x] = [y].

• Relacao de ordem total

Outro conceito importante e o de relacao de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X e dita ser uma relacao de ordem total se para todo a, b ∈ X tem-se que (a, b) ∈ R ou que (b, a) ∈ R. Se X possui uma relacao de ordem total R entao X e dito ser totalmente ordenado ou linearmente ordenado. Assim, se X e um conjunto dotado de uma relacao de ordem parcial, dizemos que um subconjunto A ⊂ X e linearmente ordenado se a b ou b a para todo a, b ∈ A.

• Exemplos

Exemplo. Seja R o conjunto de numeros reais e a relacao de ordem (x, y) ∈ R se x − y for um numero negativo ou nulo (ou seja, se x ≤ y). Mostre que essa e uma relacao de ordem total em R.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 32/1507

Contra-exemplo. Seja C um conjunto nao-vazio qualquer. Entao, (C) e ordenado pela inclusao de conjuntos: A B se e somente se A ⊂ B. Porem (C) nao e linearmente ordenado pois se A∩B = ∅ nao podemos dizer que A B nem que B A.

E. 1.8 Exercıcio. Voce consegue construir uma relacao de ordem em R2 ou em R3? E uma relacao de ordem total? 6

Exemplo. Sejam A e X dois conjuntos nao-vazios. Podemos definir uma pre-ordem no produto Cartesiano (A) × X da seguinte forma: para dois pares (A, x) e (B, y) com A, B ⊂ B e x, y ∈ X dizemos que (A, x) ≺ (B, y) se A ⊂ B. E facil verificar que essa e uma relacao de pre-ordem, mas nao e uma ordem parcial, pois se (A, x) ≺ (B, y) e (B, y) ≺ (A, x) tem-se que A = B mas nao necessariamente que x = y (exceto no caso trivial em que X possui um unico elemento).

• Mais exemplos

Seja o conjunto dos numeros naturais N. Podemos estabelecer em N a relacao de ordem usual onde dizemos que x ≤ y se x − y for um numero negativo ou nulo. Esta relacao e uma relacao de ordem total. O leitor nao deve pensar que essa e a unica relacao de ordem total existente em N. Um outro exemplo e o seguinte.

Vamos estabelecer uma relacao de ordem em N que denotaremos pelo sımbolo p−i. Sejam a, b ∈ N. Se a e b forem pares dizemos que a p−i b se a ≤ b. Se a e b foremımpares dizemos que a p−i b se a ≤ b. Se a e par e b eımpar entao dizemos sempre que a p−i b.

E. 1.9 Exercıcio. Mostre que a relacao p−i estabelece uma relacao de ordem total em N. 6

Um exemplo analogo pode ser construıdo em R. Vamos estabelecer uma relacao de ordem em R que denotaremos pelo sımbolo r−i. Sejam x, y ∈ R. Se x e y forem racionais dizemos que x r−i y se x ≤ y. Se x e y forem irracionais dizemos que x r−i y se x ≤ y. Se x e racional e y e irracional entao dizemos sempre que x r−i y.

E. 1.10 Exercıcio. Mostre que a relacao r−i estabelece uma relacao de ordem total em R. 6

• Ordem lexicografica

E possıvel estabelecer uma relacao de ordem total em R2 da seguinte forma: dizemos que (x1, x2) L (y1, y2) se x1 < y1 ou se x1 = y1 e x2 ≤ y2. Essa relacao de ordem e denominada relacao de ordem lexicografica de R2.

ordem total X. Entao, Xn pode ser totalmente ordenado dizendo-se (x1,, xn) L (y1, ..., yn) se houver um
j ∈ {1,, n}, tal que xi = yi para todo i < j e xj X yj.

Essa definicao pode ser facilmente generalizada. Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de

Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total X e seja Seja X = ⋃∞ n=1 Xn. Podemos estabelecer em X uma ordem total X, tambem denominada lexicografica, da seguinte maneira. Sejam m, n ∈ N e

p = min{m, n}. Entao, dizemos (x1,, xm) X (y1, ..., yn) se (x1, ..., xp) L (y1, ..., yp) no sentido dado no
paragrafo anterior, ou se (x1,, xp) = (y1, ..., yp), mas m < n.

E. 1.1 Exercıcio. Por que essas relacoes de ordem sao denominadas “lexicograficas”? Pense na maneira como palavras (de tamanho arbitrario!) sao ordenadas em um dicionario. 6

Podemos ainda estender a definicao de ordem lexicografica. Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total X e seja Y um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total Y . Entao, XY pode ser parcialmente ordenado dizendo-se XY ∋ x L y ∈ XY se houver um j ∈ Y , tal que x(i) = y(i) para todo i Y j e x(j) X y(j).

Exemplo. Sejam f, g, duas funcoes de R em R. Dizemos que f L g se existir y ∈ R tal que f(x) = g(x) para todo x < y mas f(y) ≤ g(y). Lembrando que o conjunto de todas as funcoes de R em R e R, ve-se que essa definicao coincide com a dada acima.

• Conjuntos dirigidos

Um conjunto I e dito ser um conjunto dirigido (“directed set”) se for dotado de uma relacao de pre-ordenamento, que denotaremos por “≺”, e se for dotado da seguinte propriedade: para quaisquer dois elementos a e b de I existe pelo

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 3/1507 menos um terceiro elemento c ∈ I tal que a ≺ c e b ≺ c.

Exemplo. Seja X um conjunto nao-vazio. Temos em (X) uma relacao de ordem parcial parcial (de inclusao) dizendo que A B se A ⊆ B. Essa relacao de ordem faz de (X) um conjunto dirigido, pois para quaisquer A e B ⊂ X tem-se, naturalmente, A ⊂ A∪B e B ⊂ A∪B.

Exemplo. Sejam A e X dois conjuntos nao-vazios e seja em (A) × X a relacao de pre-ordenamento (A, x) ≺ (B, y) se A ⊂ B. O conjunto (A) × X e dirigido por esse pre-ordenamento, pois se (A, x) e (B, y) ∈ (A) × X entao (A, x) ≺ (A ∪ B, z) e (B, z) ≺ (A ∪ B, z) para qualquer z ∈ X.

Exemplo. Todo conjunto dotado de uma relacao de ordem total e um conjunto dirigido em relacao a essa relacao de ordem. Justifique!

Exemplo. R e um conjunto dirigido com a relacao de ordem usual.

Exemplo. R e um conjunto dirigido com a relacao de ordem r−i definida acima.

Exemplo. Seja o conjunto Rn, n = 1,2,..., e seja I o conjunto de todos os abertos limitados de Rn (um conjunto e limitado se for subconjunto de alguma bola aberta de raio finito centrada na origem). Mostre que I e um conjunto dirigido pela relacao de ordem de inclusao: A B se A ⊂ B. Note que essa relacao de ordem nao e uma relacao de ordem total.

Exemplo. Causalidade de Einstein. Seja 4 o espaco-tempo quadri-dimensional de Minkowski e sejam E0 = (t0, x0, y0, z0) e E1 = (t1, x1, y1, z1) dois eventos em 4. Dizemos que o evento E0 precede causalmente o evento E1, (em notacao simbolica E0 Einstein E1), se t0 ≤ t1 e se

E. 1.12 Exercıcio. Mostre que Einstein e uma relacao de ordem em

4 e que 4 e um conjunto dirigido por essa relacao.

Contra-Exemplo. Seja X um conjunto nao-vazio e seja I = (X)\{X}, ou seja, I e a colecao de todos os subconjuntos de X, exceto o proprio X. Podemos ter em I uma relacao de ordem (de inclusao) dizendo que A B se A ⊆ B. Notemos, porem, que I nao e um conjunto dirigido pois para A ∈ I, A 6= ∅ temos X \A ∈ I mas nao existe em I nenhum conjunto que contenha A e X \ A simultaneamente como subconjuntos.

• Redes e sequencias

Seja I um conjunto dirigido com respeito a uma relacao de pre-ordenamento ≺. Se M e um conjunto nao-vazio, uma funcao f : I → M e denominada uma rede em M baseada no conjunto dirigido I com respeito a ≺ ou, simplesmente, uma rede em M.

Uma sequencia em M e uma rede baseada em N, que e um conjunto dirigido com respeito a ordem usual dos naturais, ou seja, e uma funcao f : N → M.

A nocao de rede e importante, por exemplo, no estudo de funcoes contınuas em espacos topologicos gerais e na definicao da nocao de convergencia (vide Capıtulo 25, pagina 1068).

Se f : N → M e uma sequencia em M, os elementos f(n) de sua imagem sao frequentemente denotados por uma notacao com ındices: fn. E tambem comum denotar-se a propria sequencia por {fn, n ∈ N} ou por {fn}n∈N, que, estritamente falando, representam a imagem de f em M.

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