Noções basicas - Funções, sistemas e conjuntos

Noções basicas - Funções, sistemas e conjuntos

(Parte 7 de 11)

Sabe-se que os numeros e e pi sao irracionais e transcendentes.

As provas de que e e e2 sao irracionais foram primeiramente obtidas por Euler17 em 1737. Uma prova que e e irracional pode ser encontrada nestas Notas a pagina 930 ou, por exemplo, em [161] ou [68].

A prova de que pi e irracional nao e tao simples quanto a de que e e irracional. A demonstracao de que pi e irracional foi primeiramente obtida por Lambert18 em 1768 e consistiu em provar que se r e um numero racional nao-nulo entao nem er nem tan(r) podem ser racionais. Como tan(pi/4) = 1, que e racional, segue que pi/4 deve ser irracional.

A demonstracao de que e e transcendente foi obtida pela primeira vez por Hermite19 em 1873. A demonstracao de que pi e transcendente foi obtida pela primeira vez por Lindemann20 em 1882.

Um fato de grande interesse e que provar que pi e algebrico seria equivalente21 a resolver o celebre problema da quadratura do cırculo, que consiste em achar um metodo atraves do qual, “apenas com regua e compasso” constroi-se um quadrado cuja area e igual a de um cırculo de raio 1. Tal seria possıvel caso houvessem meios de se construir um segmento de reta cujo comprimento seja √ pi. Esse problema classico da geometria Euclidiana ficou em aberto por cerca de dois mil anos (!), tendo sido resolvido negativamente em 1882 por Lindemann quando este provou, justamente, que pi nao e um numero algebrico, concluindo assim a impossibilidade da construcao proposta.

Para provas de que e e transcendente vide, por exemplo, [161] ou [68]. Para provas que pi e irracional e transcendente e para uma serie de outros resultados congeneres, vide [68].

• Produtos Cartesianos e contabilidade

E interessante notar que produtos Cartesianos contaveis de conjuntos contaveis nao sao, geralmente, conjuntos contaveis. Considere como exemplo o produto Cartesiano

que e denominado espaco de Cantor22. Podemos mostrar que K nao e contavel. Cada elemento de K e uma funcao d : N → {0, 1}. Podemos assim associar univocamente a cada d o numero real

que e um elemento do conjunto U ⊂ R definido acima. Por outro lado, todo elemento de U pode ser escrito assim para um unico d ∈ K. Assim, K e U tem a mesma cardinalidade e, portanto, K nao e contavel pois U, como ja vimos, nao o e.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 41/1507

E. 1.29 Exercıcio. Mostre que todos os conjuntos Ub, definidos acima, com b > 2, tem a mesma cardinalidade de K (e, portanto, a mesma cardinalidade entre si). 6

1.1.3 Infimos e Supremos de Famılias de Conjuntos

Seja I um conjunto arbitrario deındices e {Ai, i ∈ I} uma colecao de conjuntos indexados por elementos de I. Chama-se por vezes o conjunto inf

Ai deınfimo da colecao {Ai, i ∈ I} e o conjunto sup i∈I Ai := i∈I Ai de supremo da colecao

Essas nocoes coincidem com as nocoes deınfimo e supremo apresentadas a pagina 35 se considerarmos em X = ⋃ i∈I Ai a relacao de ordem definida pela inclusao de conjuntos: se A, B ⊂ X dizemos que A B se A ⊂ B.

• Limites do ınfimo e limites do supremo de famılias contaveis de conjuntos

Seja {An, n ∈ N} uma colecao contavel de subconjuntos de um conjunto nao-vazio X. Define-se um conjunto chamado de limite do ınfimo da colecao, denotado por limAn, como sendo o conjunto dado por

O chamado limite do supremo da colecao, denotado por limAn, e o conjunto definido por

Se considerarmos a relacao de ordem entre conjuntos definida pela inclusao de conjuntos, e de se notar que a sequencia de conjuntos Bn := ⋂∞ k=n Ak, n ∈ N, esta ordenada de forma crescente (ou seja, Bn Bm se n ≤ m) e limAn e seu supremo. Analogamente, a sequencia de conjuntos Cn := ⋃∞ k=n Ak, n ∈ N, esta ordenada de forma decrescente (ou seja,

Cn Cm se n ≥ m) e limAn e seu ınfimo.

E. 1.31 Exercıcio. Justifique a seguinte afirmativa: limAn e o conjunto de todos os pontos x de X que pertencem a todos os conjuntos An exceto a no maximo um numero finito deles. Dizemos, nesse caso, que x pertence a quase todos os An’s). 6

E. 1.32 Exercıcio. Justifique a seguinte afirmativa: limAn e o conjunto de todos os pontos x de X que pertencem a um numero infinito de conjuntos An. Dizemos, nesse caso, que x pertence frequentemente aos An’s). 6

Proposicao 1.10 Seja {An, n ∈ N} uma colecao contavel de subconjuntos de um conjunto nao-vazio X. Entao,

(limAn)c = limAcn e ( limAn

= limAcn .

Prova. A prova e uma aplicacao imediata das definicoes e das relacoes (1.19) da Proposicao 1.1, pagina 24.

Proposicao 1.1 Seja {An, n ∈ N} uma colecao contavel de subconjuntos de um conjunto nao-vazio X. Entao, limAn ⊂ limAn . 2

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 42/1507

Prova. A prova e imediata pelos Exercıcios E. 1.31 e E. 1.32, pois se x ∈ X e tal que x pertence a todos os conjuntos An exceto a no maximo um numero finito deles (isto e, se x ∈ limAn), entao x pertence a um numero infinito de conjuntos An (isto e, x ∈ limAn).

Uma outra prova mais formal e a seguinte. Tem-se

(limAn) ∩ ( limAn

Ac k

Agora, para cada par n, n′ tem-se ( ∞⋂

Ac k ) = ∅, pois essa interseccao e um subconjunto de conjuntos como Ak ∩ Ack com k ≥ n e k ≥ n′ e, evidentemente, Ak ∩ Ack = ∅. Assim, (limAn) ∩ ( limAn )c = ∅, o que implica limAn ⊂ limAn.

• Convergencia de sequencias de conjuntos

Chegamos a uma definicao importante: dizemos que uma colecao contavel de conjuntos {An, n ∈ N} converge a um conjunto A se limAn = limAn = A.

Se uma colecao contavel de conjuntos {An, n ∈ N} converge a um conjunto A, entao A e dito ser o limite de An, e escrevemos, como usualmente, A = lim

E. 1.3 Exercıcio. Justifique a seguinte afirmativa: lim n→∞ An so existe se nao ha pontos x ∈ X que, simultaneamente, pertencam a infinitos conjuntos An e nao pertencam a infinitos conjuntos An. 6

Uma sequencia An de conjuntos e dita ser crescente, ou expansiva, se An ⊂ An+1 para todo n. Uma sequencia An de conjuntos e dita ser decrescente, ou contrativa, se An+1 ⊂ An para todo n.

Proposicao 1.12 Se uma sequencia An de conjuntos for crescente ou decrescente entao limAn existe. Se An e crescente, vale

Se An e decrescente, vale

Prova. Seja An uma sequencia crescente de conjuntos. Entao, ∞⋂ k=n Ak = An. Logo, limAn = outro lado, pelo fato de An ser crescente vale tambem que ∞⋃

k=1 Ak. Logo, limAn =

k=1 Ak. Com isso, estabeleceu-se que limAn = limAn e, portanto, limAn existe e vale limAn =

A prova para o caso de sequencias decrescentes e analoga (faca-a!).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 43/1507

Os exercıcios que seguem ilustram os conceitos de acima.

E. 1.34 Exercıcio. Seja a famılia contavel de subconjuntos de R dada por An = [0, 10] se n for par e An = [0, 5] se n for ımpar. Determine limAn e limAn e limn→∞ An se este existir. 6

E. 1.35 Exercıcio. Seja a famılia contavel de subconjuntos de R dada por An = [0, 1] se n for par e An = [2, 3] se n for ımpar. Determine limAn e limAn e lim n→∞ An, se este existir. 6

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