(Parte 1 de 4)

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

1 Matemática I

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

DERIVADAS A diferenciação é uma técnica matemática conhecida como Cálculo com aplicação em traçados de curvas, otimização de funções e análise de taxas de variações.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

2 Matemática I

•Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.

Introdução ao conceito de derivada

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

O segmento OP é o raio da circunferência

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

3 Matemática I

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais de um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

A derivada do ponto de vista geométrico Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

4 Matemática I

Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:(Tangente em P)

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

5 Matemática I

Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P,

terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3,e as declividades

ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

•O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0

•Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a seqüência de pontos Qjestá se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

6 Matemática I

• Quando h tende a 0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

•Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:

Exemplo : reta tangente a uma curva

A reta tangente à curva y = x²em P = (1,1) é y = 2x-1.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

7 Matemática I

• Quando h tende a 0 (h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, denotando este fato por:

Derivada de uma função real

Obs.: desde que tenha sentido este limite.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

1-Exemplo: A derivada da função f(x)=x³ no ponto x=1, é dada por:

2-A derivada de f(x)=x³ no ponto genérico x=c, é dada por:

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

8 Matemática I

3-A derivada de f(x)=x³ é denotada por f'(x) = 3x², pois

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

A derivada representa a taxa de variação de uma função. Exemplo: A função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

9 Matemática I

Você tem interesse de maximizar os lucros de um fabricante de ração. Para isto tem-se a seguinte função:

Problemas de Otimização

P(x) = lucro em reais x = valor do kg em reais da ração

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

Matemática I

A derivada representa a taxa de variação de uma função. Exemplo: A função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.

Prof. Nerio Ap. Cardoso
e-mail: neriocardoso@hotmail.com

10 Matemática I

Problemas de Otimização

Pico = ponto

MAXIMO no gráfico => tangente horizontal abscissa

(Parte 1 de 4)

Comentários