(Parte 3 de 4)

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19 Matemática I

–Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x2no ponto (1,1).

–Utilizando a definição, temos que:

–Basta aplicar os pontos na regra que define a função.

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Matemática I x x x x x x x x fxf f x x x x

Portanto, a derivada de y=x2no ponto P=(1,1) é igual a 2. Simbolicamente: para f(x)=x2, f „(1)=1 (ou, y‟=2).

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20 Matemática I

–Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x3+2x no ponto (x, x3+2x).

–Utilizando a definição, temos que:

–Basta aplicar os pontos na regra que define a função.

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Matemática I x x x x x x x x xfxxf xf x x x x

Portanto, a derivada de y=x2no ponto P=(x,x2) é igual a 2x. Simbolicamente: para f(x)=x2, f „(x)=2x (ou, y‟=2x).

Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x3+2x no ponto (x, x3+2x).

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21 Matemática I

• Derivada

–Pelas colunas, é possível perceber que a 1.ª e a 3.ª colunas determinam uma nova função. Esta nova função, derivadada função original f, será denotada por f „ e chamada de derivada de f.

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Matemática I

• Antiderivada

–A operação do Cálculo integral consiste no problema de determinar uma antiderivada para uma função. Assim, sabemos que:

•x é a antiderivada de 1;

•é a antiderivada de x;

•é a antiderivada de x2;

–Em geral:é a antiderivada de xn.

•é a antiderivada de x3; x n

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2 Matemática I

• Antiderivada

–Sabendo disso, é possível encontrar antiderivadas de muitas funções cuja regra envolve potências. Assim:

•Uma antiderivada de –32 é -32x;

•Uma antiderivada de –32xé –16x2;

•Uma antiderivada de 1 + 4x –9x2éx + 2x2–3x3.

–Dizemos “uma” em vez de “a” antiderivada porque há geralmente mais de uma antiderivada para uma dada função.

–Encontrando uma, pode-se facilmente encontrar outra acrescentando uma constante a que já existe.

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Matemática I

Se F é uma antiderivada de f, então F‟ = f e F + C também pois a derivada de uma constante é zero. Assim:

–São todas antiderivadas de -32.

–A menos que se especifique, com alguma informação adicional, exatamente que antiderivada se quer determinar, não podemos falar daantiderivada, mas de uma antiderivada.

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23 Matemática I

•Usando antiderivadas para calcular distâncias

–As antiderivadas podem ser úteis quando se deseja converter as leituras do velocímetro m distância percorrida.

–Suponha que nas cartas de um navegador as leituras do velocímetro registrem que ele varia a cada hora;

–Como o navegador pode determinar, a partir de sua carta, distância percorrida durante a última hora?

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Matemática I

–Um foguete atravessa o firmamento numa jornada diretamente além da

Terra. Num certo dia à tarde o navegador lê o velocímetro do foguete como função do tempo, e conclui que ele é dado por: f(t) = 100t 3–400t 2+ 800t, onde t é o tempo em horas. Se a função f fornece a velocidadeem km/h, encontre a distância percorrida pelo foguete:

a)Entre o início da tarde e as duas horas; b)Entre uma e 4 horas da tarde.

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24 Matemática I

• Solução

–A leitura do velocímetro é a taxa de variação instantânea da distância em função do tempo. Sabendo que s é a distância da Terra, temos que:

–Se dispusermos os dados numa tabela, teremos:

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