Baixe Funções Trigonométricas e Inversas e outras Notas de estudo em PDF para Redes de Computadores, somente na Docsity! 1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DIRETORIA DE ENSINO DISCIPLINA: CÁLCULO / MATEMÁTICA APLICADA PROFESSORES: JUAREZ AIRES E KALINA AIRES Funções Trigonométricas: Arcos e Ângulos: Definição: Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes, chamadas arco de circunferência. Se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles é o ponto, chamado arco nulo, e o outro é a própria circunferência, denominado arco de uma volta. Medidas de Arcos: Para medirmos dois arcos AB e CD usamos duas unidades: o grau e o radiano. Grau (símbolo o ): Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada parte mede 1o . Ou seja, um arco de medida 1o equivale a um arco unitário igual a 360 1 da circunferência. Radiano (símbolo rad): é um arco unitário que tem comprimento igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. Ou seja, dizer que um arco AB que mede 1 rad, é equivalente a dizer que “esticando” o arco sua medida é igual a medida do raio da circunferência que o contém. Ciclo Trigonométrico: Definição: Consideremos um sistema cartesiano ortogonal uOv, e uma circunferência de raio r =1, com origem no ponto A(1,0), e cujo sentido positivo, é o sentido anti-horário, a partir de A. Essa circunferência é denominada ciclo trigonométrico. Como o comprimento de uma circunferência qualquer é dado por r2C , temos que o comprimento dessa circunferência é igual a 2 rad, que equivale a 2 , já que rad1r . Vamos definir uma aplicação de IR sobre , de tal forma que, a cada número real x associemos um único ponto P da circunferência , da seguinte maneira: Se x = 0, então P coincide com A(1,0); Se x > 0, então realizamos, a partir de A, um percurso de comprimento x, no sentido anti-horário, e marcamos P como ponto final do percurso. 2 Se x < 0, então realizamos, a partir de A, um percurso de comprimento |x|, no sentido horário, e marcamos P como ponto final do percurso. Desta forma, temos que a cada número real x, é possível associar a sua imagem P no ciclo trigonométrico . Assim, temos: A imagem de 2 é B A imagem de 2 é B A imagem de é A A imagem de é A Notemos ainda que, se P é a imagem do número 0x , então P é também a imagem dos números: ,4x,2x,4x,2x,x 00000 etc. De uma forma geral , P é a imagem dos elementos do conjunto: Zk,k2xx;IRx 0 Funções Circulares: Considerando ZZk , temos: Se x pertence ao 1º quadrante, então k2 2 xk20 ; Se x pertence ao 2º quadrante, então k2xk2 2 ; Se x pertence ao 3º quadrante, então k2 2 3 xk2 ; Se x pertence ao 4º quadrante, então k22xk2 2 3 . 5 2 2 2 1 2 OPOPOP , ou seja, 1)x(cos)x(sen 22 . b) Se 2 k x , ZZk , então: x sen(x) cos(x) sen2(x) + cos2(x) 0 0 1 1 2 1 0 1 0 –1 1 23 –1 0 1 2 0 1 1 Função Tangente: Definição: Dado um número real x, k 2 x , Zk , seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T sua intersecção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x, e indicamos por tg(x), a medida algébrica do segmento AT , conforme mostra a figura ao lado. A função IRD:f que associa a cada número real x, k 2 x , o real AT)x(tg , é denominada função tangente, e representada por f(x)= tg(x). Notemos que , para k 2 x , P está sobre B ou B , e então, a reta OP fica paralela ao eixo das tangentes, logo, não existe o ponto T. Neste caso a tg(x) não é definida. Em relação a função f(x)= tg(x) , temos: Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco 2 0 2 2 3 2 2 3 Sinal + – + – Variação 0 0 0 0 crescente crescente crescente crescente Gráfico: O gráfico dessa função é uma curva denominada tangentóide. T P2 u P O v t A B B x 6 Propriedades: 1) ZZk,k 2 x;IRx)f(D e Im(f)=IR. 2)A função tangente é periódica , e seu período é . 3)A função tangente é ímpar, já que tg(–x)= –tg(x). 4)f é contínua em seu domínio. Relação entre tangente, seno e cosseno: Para todo x real, k 2 x , Zk , vale a relação: )xcos( )xsen( )x(tg . Prova: a)Se Zk,kx , a imagem de x é distinta de A, B, A e B . Então, temos: |)xcos(| |)xsen(| |)x(tg| OP PP OA AT OPP~OAT 2 2 2 (1) Analisando o sinal , temos: (2) Quadrante Sinal de tg(x) Sinal de )xcos( )xsen( 1º + + 2º – – 3º + + 4º – – De (1) e (2) concluímos que )xcos( )xsen( )x(tg . b) Se Zk,kx , temos: )xcos( )xsen( )xcos( 0 0)x(tg Função Cotangente: Definição: Dado um número real x, kx , Zk , seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja H sua intersecção com o eixo das cotangentes. Denominamos cotangente de x, e indicamos por cotg(x), a medida algébrica do segmento BH , conforme mostra a figura ao lado. T P2 u P O v t A B B x A H P2 u P O v c A B B x A P1 7 A função IRD:f que associa a cada número real x, kx , o real co BHtgx , é denominada função cotangente, e representada por f(x)= cotg(x). Notemos que , para kx , P está em A ou A e então, a reta OP fica paralela ao eixo das cotangentes, logo, não existe o ponto H. Neste caso, a cotg(x) não é definida. Em relação a função f(x)=cotg(x) , temos: Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco 2 0 2 2 3 2 2 3 Sinal + – + – Variação 0 0 0 0 decrescente decrescente decrescente decrescente Gráfico: Propriedades: 1) ZZk,kx;IRx)f(D e Im(f)=IR. 2)A função cotangente é periódica , e seu período é . 3)A função cotangente é ímpar e contínua em seu domínio. Relação entre cotangente, seno e cosseno: Para todo x real vale a relação: )xsen( )xcos( )x(gcot . Prova: a)Se k 2 x , a imagem de x é distinta de A, B, A e B .Então, |)xsen(| |)xcos(| |)x(gcot| OP PP OB BD OPP~OBD 1 1 1 (1) Analisando o sinal, temos: D P2 u P O v c A B B x A P1 10 Função Cossecante: Definição: Dado um número real x, Zk,kx . Seja P a sua imagem no ciclo e s a reta tangente ao ciclo em P. Considere C a interseção da reta s com o eixo dos senos. Denominamos cossecante de x, e indicamos, cossec(x), a ordenada OC do ponto C. A função IRD:f que associa a cada número real x, kx , o real OC)xsec(cos , é denominada função cossecante, e representada por f(x)= cossec(x). Notemos que , para kx , P está em A ou A e então, a reta s fica paralela ao eixo dos senos. Neste caso, não existe o ponto C e a cossec(x) não é definida. Em relação a função f(x)=cossec(x) , temos: Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco 2 0 2 2 3 2 2 3 Sinal + + – – Variação 1 1 1 1 decrescente crescente crescente decrescente Gráfico: Propriedades: 1) ZZk,kx;IRx)f(D e Im(f) = IR – ] –1, 1 [. 2)A função cossecante é periódica , e seu período é 2 . 3)A função f é ímpar e contínua em seu domínio. C P1 u P O v s A B B x A 11 Relação entre cossec(x) e sen(x): Para todo x real, Zk,kx , vale a relação : )xsen( 1 )xsec(cos . Prova: a)Se k 2 x , então a imagem de x é distinta de A, B, A e B .Logo, |)xsen(| 1 |)xsec(cos| OP OP OP OC POP~OPC 1 1 (1) Analisando o sinal, temos: (2) Quadrante Sinal de sec(x) Sinal de cos(x) 1º + + 2º + + 3º – – 4º – – Por (1) e (2), concluímos que : )xsen( 1 )xsec(cos . b)Se k 2 x , então: )xsen( 1 1)xsec(cos , se k for par ou )xsen( 1 1)xsec(cos , se k for ímpar. Outras relações entre as funções trigonométricas: Para todo x real, 2 k x , valem as relações: a) )x(tg 1 )x(gcot b) )x(sec1)x(tg 22 c) )x(seccos)x(gcot1 22 Prova: a) )x(tg 1 )xcos( )xsen( 1 )xsen( )xcos( )x(gcot . b) )x(sec )x(cos 1 )x(cos )x(cos)x(sen 1 )x(cos )x(sen 1)x(tg 2 22 22 2 2 2 . 12 c) )x(seccos )x(sen 1 )x(sen )x(cos)x(sen )x(sen )x(cos 1)x(gcot1 2 22 22 2 2 2 Funções Trigonométricas Inversas: Função Inversa: Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função injetora , se, para todo 21 xx em D, temos )x(f)x(f 21 em R. Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função sobrejetora , se, para todo Ry , existe um Dx tal que y = f(x). Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função bijetora , se é injetora e sobrejetora, isto é, se, para todo Ry , existe um único Dx tal que y = f(x). Exemplos: a)f(x)= x2 não é bijetora, visto que, f(2) = f(–2) e 22 , por exemplo. b)f (x) = x3 é uma função bijetora. Graficamente, temos que, se qualquer reta horizontal interceptar o gráfico da função f em mais de um ponto , então f não é bijetora. Se f é uma função bijetora com domínio D e contradomínio R, então, para cada número y em R, existe exatamente um número x em D tal que y = f(x). Como x é único, podemos definir uma função g de R em D tal que x = g(y), como mostra a figura. Definição: Seja f uma função bijetora com domínio D e contradomínio R. Uma função g com domínio R e contradomínio D é a função inversa de f, desde que a seguinte condição seja satisfeita: y = f(x) se, e somente se, x = g(y). Se uma função g é a função inversa de f então são válidas: a) g(f(x)) = x , para todo x em D; b) f(g(y)) = y , para todo y em R. Uma função bijetora f só pode ter uma função inversa. Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g. Dizemos que f e g são funções inversas uma da outra. Costumamos 15 Exemplos: a) 2 2 2 2 arcsensen , pois 1 2 2 1 ; b) 66 senarcsen , pois 262 ; c) 3 5 2 3 arcsen 3 4 senarcsen , pois 3 4 não está entre 2 e 2 , logo, não podemos usar a propriedade 2 acima. A inversa da Função Cosseno: Restringindo o domínio da função cosseno ao intervalo ,0 , obteremos uma função contínua decrescente que tem uma função inversa contínua e decrescente. Observe a parte sólida do gráfico abaixo. Definição: A função inversa do cosseno, denotada arccos, ou cos-1 , é definida como: y = arccos(x) se, e somente se, x = cos y, para y0e1x1 . O domínio da função arco cosseno é [–1,1] e o contradomínio é o intervalo ,0 . Gráfico: Assim, temos: Se 2 3 arccosy , então 2 3 ycos e y0 . Logo, 6 y . Se 2 1 arccosy , então 2 1 ycos e y0 . Logo, 6 5 y . 16 Propriedades do arccos(x): Sendo cos e arccos funções inversas uma da outra, valem as seguintes propriedades: 1) cos(arccosx)=x , se 1x1 . 2) arccos(cosx)=x , se x0 . Exemplos: a) 2 2 2 2 arccoscos , pois 1 2 2 1 ; b) 6 5 6 5 cosarccos , pois 6 5 0 ; c) 32 1 arccos 3 cosarccos , pois 3 não está entre e0 , logo, não podemos usar a propriedade acima. A inversa da Função Tangente: Restringindo o domínio da função tangente ao intervalo 2 , 2 , obteremos uma função contínua crescente que tem uma função inversa contínua e crescente. Definição: A função inversa da tangente, denotada arctg, ou tg-1 , é definida como: y = arctg(x) se, e somente se, x = tg y, para todo x e 2y2 . O domínio da função arco tangente é IR e o contradomínio é o intervalo aberto 2 , 2 . 17 Gráfico: Propriedades do arctg(x): São válidas as seguintes propriedades: 1) tg(arctgx)=x , para todo x 2) arctg(tgx)=x , se 2 x 2 . Exemplos: a) 1717arctgtg b) 33 tgarctg , pois 232 . c) 4 7 1arctg 4 3 tgarctg . A inversa da Função Secante: Existem muitas maneiras de restringir o domínio da função secante, de forma a obter uma função bijetora que tome os valores da função secante. Vamos restringir x aos intervalos 23,e2,0 , conforme mostra a parte sólida do gráfico, por tornar a fórmula de diferenciação da função inversa da secante mais simples.