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Energia Menor que o Degrau: Solução para a Partícula Quântica em um Degrau de Potencial, Notas de estudo de Física

Este documento aborda o caso de uma partícula quântica que incide em um degrau de potencial, onde o potencial é nulo para x < 0 e tem um valor constante v0 > 0 para x > 0. O documento mostra como calcular a função de onda para a região x < 0 e x > 0, e analisa a densidade de probabilidade e a densidade de corrente de probabilidade. O texto também discute o efeito de penetração de barreira e o comportamento da partícula na região clássicamente proibida.

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 28/04/2010

andre-rodrigues-prado-8
andre-rodrigues-prado-8 🇧🇷

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Baixe Energia Menor que o Degrau: Solução para a Partícula Quântica em um Degrau de Potencial e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! ob je tiv o 8AULA Pré-requisito Meta da aula O degrau de potencial. Caso I: energia menor que o degrau Aplicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre um potencial V(x) que tem a forma de um degrau, ou seja, tem um valor 0 para x < 0 e um valor V0 > 0 para x > 0. Vamos considerar inicialmente o caso em que a energia da partícula é menor que a altura do degrau. • mostrar que, no caso da energia E da partícula ser menor do que a altura do degrau (V0), existe a possibilidade de encontrar a partícula na região classicamente proibida. Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise as Aulas 6 e 7 desta disciplina. 84 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrau C E D E R J 85 A U LA 8 M Ó D U LO 1 O DEGRAU DE POTENCIAL Vamos estudar agora o caso de uma partícula de massa m que se movimenta num potencial V(x), em que V(x) = 0 para x < 0 e V(x) = V0 > 0 para x > 0, como ilustra a Figura 8.1. Este é o chamado degrau de potencial ou potencial degrau. Podemos supor, por simplicidade, que a partícula incide a partir da esquerda, como mostra a Figura 8.1: Figura 8.1: Uma partícula quântica de massa m que incide em um degrau de potencial com a energia menor que a altura do degrau. Note que, se V0 fosse igual a zero, voltaríamos ao caso da partícula livre, discutido na Aula 7. Para o degrau de potencial, da mesma forma que no caso da partícula livre, não existem soluções da equação de Schrödinger com energia E < 0, já que isso obrigaria a função de onda ψ(x) a divergir para x → +∞ e/ou x → –∞. Assim, podemos dividir nosso estudo em dois casos: 0 < E < V0 , ou seja, a energia da partícula é menor do que a altura do degrau de potencial, e E > V0 , em que a energia é maior do que o degrau. Nesta aula, discutiremos o primeiro caso, enquanto o segundo caso será discutido na próxima aula. Note que o potencial é contínuo (e constante!) em todo o espaço, sofrendo apenas uma descontinuidade em x = 0. Este é o primeiro de uma série de exemplos que iremos estudar de potenciais com essas características, ou seja, “contínuos por partes”. A estratégia para solucionar esse tipo de problema é sempre a mesma: resolvemos a equação de Schrödinger separadamente em cada região onde o potencial é contínuo. Depois, tentamos ajustar as diferentes soluções, para que elas sejam consistentes nos pontos de descontinuidade do potencial. Já veremos como isso funciona na prática. V V0 E x m 86 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrau C E D E R J 87 A U LA 8 M Ó D U LO 1 ATIVIDADE Conseguimos obter duas equações, (8.6) e (8.9), que relacionam as três constantes que queremos determinar. Assim, podemos, por exemplo, determinar A e B como função de D: . (8.10) Como A e B têm o mesmo módulo, a densidade de corrente de probabilidade j associada à onda plana se propagando para a direita, j = vg|A| 2, calculada na Atividade 3 da Aula 7, é igual à da onda plana se propagando para a esquerda, j = vg|B| 2. Dessa forma, a densidade de corrente total, calculada na Atividade 5 da Aula 7, será nula. Se interpretarmos a onda plana se propagando para a direita como uma onda incidente sobre o degrau de potencial, então a onda se propagando para a esquerda deve ser considerada como a onda refl etida. Se defi nirmos o coefi ciente de refl exão como o quociente da densidade de corrente de probabilidade refl etida sobre a densidade de corrente de probabilidade incidente, , (8.11) 1. Mostre que A e B têm o mesmo módulo. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ RESPOSTA COMENTADA Podemos defi nir , de modo que e . Escrevendo A, B, z e D em termos de seus módulos e fases, temos A = zD B = z D* A z D z D B= = =* . R v B v A B A g g = = = 2 2 2 2 1 A k iK 2k D, B k iK 2k D= =+ − z k iK 2k = + 88 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrau C E D E R J 89 A U LA 8 M Ó D U LO 1 ATIVIDADES vemos que o coefi ciente de refl exão R é igual a 1. Portanto, teremos refl exão total da onda de probabilidade incidente sobre o degrau de potencial. Isto concorda perfeitamente com as previsões da mecânica clássica: partículas com energia E < V0 são sempre refl etidas pelo degrau de potencial. Se escrevermos os coefi cientes complexos A e B em termos de seus módulos e fases, ou seja, e , e usando o fato de A e B terem o mesmo módulo, obteremos , (8.12) em que é a diferença entre os ângulos de fase das ondas refl etida e incidente, que se conhece também como deslocamento de fase da onda refl etida. 2. Usando as Equações (8.10), calcule o deslocamento de fase α da onda refl etida pelo degrau de potencial. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ RESPOSTA COMENTADA Usando as Equações (8.10) e tomando a razão B/A, obteremos: , de modo que . 3. Mostre que a função de onda para o degrau de potencial pode ser escrita na forma: A A ei A= θ B B ei B= θ B A B A e ei iB A= =−(θ θ α) α θ θ= −B A ψ ψ ( ) cos , ( ) cos , x Ae kx x x Ae e x i i Kx = −( ) < = ( ) >− 2 2 0 2 2 0 2 2 α α α α α = ( )−– tan2 1 K/k B A k iK k + iK e e e i K k i K k i K k= = = ( )  ( )  ( )− − − − − − tan tan 1 1 12 tan    = eiα 88 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrau C E D E R J 89 A U LA 8 M Ó D U LO 1 RESPOSTA COMENTADA Substituindo na Equação (8.1), temos: Esta é a expressão para a função de onda na região x < 0. Substituindo agora na Equação (8.9), o resultado é: Substituindo essa relação na Equação (8.5), temos: Sabendo ainda, conforme calculado na Atividade 2, que , obtemos finalmente, para x > 0: ANÁLISE FÍSICA DA SOLUÇÃO E O EFEITO DE PENETRAÇÃO DE BARREIRA Estamos agora em condições de interpretar a função de onda ψ(x) para o degrau de potencial no caso E < V0. Veja que, para x < 0, a superposição das ondas de igual amplitude, propagando-se para a direita e para a esquerda, causa uma onda estacionária. A densidade de probabilidade do lado esquerdo, obtida a partir da expressão para a função de onda obtida na Atividade 3, será: (8.13) ψ( ) cx Ae Ae e Ae e e Aeikx ia -ikx i i kx i kx i= + = +  = −( ) − −( )α α α α2 2 2 22 os .kx −( )α 2 B Aei= α ik A Ae KD D ikA e K i i −( ) = − ⇒ = −( )α α 1 . ψ( )x ikA e K e ikAe e e K e k K Ae i Kx i i i -Kx i= −( ) = −( ) = −− −α α α α α 1 2 2 2 2 2sen α 2( )e-Kx . p x A kx x( ) cos , .= −( ) <4 2 02 2 α B = Aeiα – tan K k = ( )α 2 ψ( ) tan x Ae e Ae ei -Kx i Kx= ( ) ( ) = ( ) −2 2 2 2 22 2α α α α α sen cos 92 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrau C E D E R J 93 A U LA 8 M Ó D U LO 1 ATIVIDADES FINAIS 1. Dissemos que a penetração de barreira é um fenômeno quântico. Será que ela não pode mesmo ocorrer com partículas macroscópicas, ainda que muito pequenas? Vamos considerar um grão de poeira, de massa m = 1 × 10–14 kg, com uma velocidade v = 10-3 m/s. Essa é uma velocidade típica da agitação térmica de uma partícula desse tamanho. Suponha que a partícula incida sobre um degrau de potencial com altura duas vezes maior que sua energia cinética. Qual a distância de penetração na barreira em que a amplitude de probabilidade de se encontrar a partícula caiu para 1% de seu valor na origem? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Basta então calcularmos . A partir dos dados do problema, a energia da partícula é , e a altura do degrau é duas vezes maior, . Assim, temos com o que podemos finalmente obter ∆x = 2,4 x 10–17 m ! Esta distância de penetração é 10-7 vezes menor do que o tamanho de um átomo, de modo que não há qualquer esperança de que a penetração de partículas macroscópicas (clássicas) por barreiras de potencial seja verificada experimentalmente. RESPOSTA COMENTADA A amplitude de probabilidade de se encontrar a partícula na região classicamente proibida é dada pela Equação (8.14): A partir dela, podemos calcular a distância ∆x, para que a amplitude de probabilidade caia a 1 % de seu valor em x = 0: p x D e x-2Kx( ) , .= >2 0 p x p x ln K K x( ) ( ) , ( ) ∆ ∆ ∆ 0 0 01 100 2 2= = ⇒ = −e K m V E= −( )2 0 h E mv= 1 2 2 V E mv0 22= = K m V E mv m= −( ) = = × −2 9 5 100 16 1h h , 92 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrau C E D E R J 93 A U LA 8 M Ó D U LO 1 2. Um elétron no interior de um metal pode, aproximadamente, ser descrito como uma partícula livre. Porém, ao tentar escapar do metal para o vácuo, este elétron sofre a atração das cargas positivas do metal, de modo que há uma barreira de energia para que isso aconteça. A energia adicional (V0 – E) que o elétron teria de ganhar para superar a barreira nada mais é que a função trabalho do metal, nossa conhecida do efeito fotoelétrico (Aula 8 de Física 4B). No cobre, a função trabalho vale 4 eV. Estime, como na Atividade anterior, a distância de penetração de um elétron do cobre, para a região de vácuo, de modo que a amplitude de probabilidade caia para 1% de seu valor inicial. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ RESPOSTA COMENTADA Continuam valendo as mesmas relações encontradas na atividade anterior. Utilizando agora o valor da massa do elétron, m = 9,11×10-31 kg, encontramos a constante de decaimento K: de modo que a amplitude de probabilidade cai para 1% a uma distância ∆x dada por: Esta distância é da ordem das dimensões atômicas. Será que poderia ser medida? Veremos nas próximas aulas! , ∆x ln K = =( ) , .100 2 2 3 A 0 K m V E= −( ) = ×2 1 0 100 10 1h , m– 94 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrau R E S U M O Um degrau de potencial é definido por uma energia potencial nula para x > 0 e igual a uma constante V0 para x > 0 . Se uma partícula incide a partir da esquerda com energia menor que a altura do degrau, essa partícula é refletida com 100% de probabilidade. Porém, consegue penetrar um pouco na região classicamente proibida. INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, vamos resolver o segundo caso do degrau de potencial, em que a partícula incidente tem energia maior que a barreira. Veremos que, neste caso, a partícula poderá ser transmitida através do degrau, mas, em desacordo com a mecânica clássica, ainda restará uma probabilidade de que ela seja refletida!
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