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Capıtulo 4 Linhas de Transmissao

4.1 Introducao

Ateoc apıtulo anterior foram estudados fenomenos referentes as ondas eletromagneticas propagando-se em meios abertos. Neste capıtulo e feita uma analise do comportamento de ondas eletromagneticas guiadas por linhas de transmissao, assim como as caracterısticas destas linhas e as tecnicas de casamento de impedancia aplicadas para a maxima transferencia de energia eletromagnetica.

Uma Linha de Transmissao (L.T.) e um dispositivo empregado para guiar uma onda eletromagnetica de um ponto a outro do espaco. Na pratica, uma L.T. pode ser utilizada, por exemplo, para ligar um transceptor a uma antena, um conjunto de computadores em rede, uma difusora de sinais de TV aos seus assinantes ou, entao, conectar os diversos componentes e circuitos de um sistema de alta frequencia. Existem diversas geometrias de linha de transmissao em aplicacoes de alta frequencia. As mais comuns sao: coaxial, par de fios, par de fios trancados, fita, microfita, etc.. A Figura 4.1 mostra algumas destas estruturas. Alem disso, as linhas de transmissao podem ser classificadas como uniforme e nao uniforme, com perdas e sem perdas. As linhas uniformes mantem a geometria da secao transversal e as caracterısticas eletricas e magneticas ao longo do seu comprimento. Enquanto as linhas sem perdas sao aquelas onde as ondas eletromagneticas nao sofrem qualquer tipo de atenuacao ao longod ad irecao de propagacao.

4.2 Equacao de uma Linha de Transmissao

Nesta secao sao apresentadas duas abordagens que descrevem o comportamento das ondas de tensao ec orrente, quee stao associadas as ondas eletromagneticas guiadas condutores dielétrico d 2a h dielétrico condutores

(b) (c)

Figura 4.1: Alguns tipos de linha de transmissao: (a) coaxial; (b) fita de fios paralelos; (c) microfita.

por linhas de transmissao uniformes.

4.2.1 Abordagem Eletromagnetica

Considerando um sistema constituıdo de uma linha coaxial que liga um gerador au ma impedancia de carga, como mostrado na Figura 4.2, pode-se obter as expressoes dos campos eletromagneticos da onda no material dieletrico entre condutores utilizando-se as equacoes de Maxwell, ou entao, as equacoes de onda. Sendo assim, o campo eletrico no dieletrico do cabo coaxial obedece a equacao

enquanto o campo magnetico eo btidoap artird e

As ondas sao do tipo TEM (no caso dos condutores serem perfeitos), propagando-se no sentido z+ ou z− com velocidade de fase

65 4.2. Equacao de uma Linha de Transmissao

Zg l

Figura 4.2: Gerador de RF acoplado a uma impedancia de carga atraves de uma L.T. coaxial.

Se o gerador fornece uma tensao que varia harmonicamente no tempo, isto e,

Vg(t)= Vo ejωt (4.4) entao, os campos seguem o mesmo tipo de variacao temporal, ou seja,

H(r,z,t)= H(r,z)ejωt (4.5) sendo E(r,z)e H(r,z) dados pelas equacoes de Helmholtz

onde γ e a constante de propagacao.

Sabe-se pela teoria eletromagnetica que a tensao entre os condutores de um cabo coaxial, medidos num plano z qualquer, esta relacionada com o campo eletrico no dieletrico deste atraves de

Enquanto a magnitude das correntes nos condutores pode ser obtida a partir de

Integrando-se a equacao (4.6) em relacao a r,d e a a b,o btem-se

Assim como, multiplicando-se (4.7) por 2πr,t em-se

Apesar das equacoes acima, denominadas de Equacoes de uma Linha de Transmissao, terem sido deduzidas para uma linha coaxial, elas sao validas para qualquer tipo de linha de transmissao.

4.2.2 Abordagem de Circuitos

Sabe-se que um cabo coaxial, assim como qualquer linha de transmissao, apresenta uma certa capacitancia e indutancia dependendo de sua geometria e caracterısticas eletricas e magneticas dos materiais que os compoe. A capacitancia medida entre os condutores de uma L.T. depende: do comprimento, dos raios de seus condutores e da permissividade do material dieletrico. Enquanto a indutancia depende, alem das dimensoes da L.T., da permeabilidade. O circuito equivalente de uma linha uniforme sem perdas e mostrado na Figura 4.3a, enquanto a Figura 4.3b apresenta o circuito equivalente de uma L.T. com perdas. A tensao num trecho infinitesimal de um dos condutores, de uma L.T. com perdas, e dada por ou dV dz = ZI (4.13)

67 4.2. Equacao de uma Linha de Transmissao

(a) (b)

Figura 4.3: Circuito equivalente de uma L.T.: (a) sem perdas; (b) com perdas.

Ja a corrente que atravessa numa fatia de espessura infinitesimal de dieletrico e fornecida por dI = YV dz (4.14) ou dI dz = YV (4.15)

eai mpedancia por comprimento de linha e a dmitancia, sendo L, C, R e G, respectivamente, a indutancia, capacitancia, resistencia do condutor e condutanciad od ieletrico por unidade de comprimento. Derivando-se (4.13) e (4.15) em relacao a z tem-se, respectivamente, dz2 = dZ dz I +Z dI dz (4.18) dz2 = dY dz V +Y dV dz (4.19)

Para linhas uniformes, Z e Y nao variam com z, logo

dz (4.20)

dz (4.2)

Uma comparacao entre as equacoes (4.10) e (4.24), assim como (4.1) e (4.25), mostra que a constante de propagacao numa L.T. pode ser obtida a partir de

A velocidade de fase, neste caso, eo btidad e vf = ω

Para uma linha sem perdas tem-se

69 4.3. Solucao da Equacao de uma L.T.

vf = ω

4.3 Solucao da Equacao de uma L.T. As olucao das equacoes (4.10) e (4.24) e da forma

1Z dV dz

ou ainda

As solucoes sao combinacoes lineares de um par de funcoes ortogonais, uma vez que as equacoes diferenciais sao lineares ordinarias de segunda ordem. Fisicamente, as solucoes (4.30) e (4.31) representam, respectivamente, ondas de corrente e tensao propagando-se no sentido z−(primeiros termos das equacoes) e z+(segundos termos), sendo as constantes V1, V2, I1 e I2 fasores associados as ondas. As solucoes completas, incluindo a variacao temporal harmonica, sao

4.4 Impedancia Caracterıstica

Ai mpedancia caracterıstica de uma linha de transmissao ear azao entre a tensao e a corrente obtida num determinado plano z,i sto e,

Para linhas uniformes, a impedancia caracterıstica nao varia ao longo do seu comprimento. Se houver perdas, a impedancia e complexa, com valor fornecido por (4.36). Para perdas desprezıveis, tem-se R = G 0,oq ue leva a

Neste caso, a impedancia e real, sendo a indutancia por unidade de comprimento determinada pela expressao [19]

C H · dl e a capacitancia por unidade de comprimento

a E · dl sendo Λ o fluxo magnetico produzido pelo indutor e Q a carga eletrica no capacitor.

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