Apostila Vetores

Apostila Vetores

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Álgebra Linear – Vetores em Rn 81

Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira

geométrica é possibilitar a visualização dos conceitos, o que favorece seu entendimento

esta unidade, vamos abordar a álgebra dos vetores no enfoque algébrico e geométrico. Como afirma Winterle1 (2000), a grande vantagem da abordagem

Essencialmente, toda a geometria pode ser desenvolvida em linguagem algébrica. Como afirmam Kaplan2 e Lewis (1975, p.57) “em vez de combinar pontos e retas na maneira geométrica usual, nós realizamos operações algébricas em certos objetos denominados vetores”. As leis algébricas que os orientam são similares às aplicadas aos números. Por exemplo, se u e v são vetores então u+v = v+u. De forma similar, os teoremas da geometria, tornam-se teoremas da álgebra dos vetores com ênfase nas equações, identidades e desigualdades ao invés de ênfase nos conceitos geométricos como congruência, semelhança e interseção de linhas.

Os temas abordados neste capítulo são:

1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados82
2 Vetores: Definições84
2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais84
2.2 Proposições: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres86
Lista 1 de Atividades8
3 Vetores no Plano e Vetores no Espaço8
3.1 Expressão analítica de um vetor no plano (R2)8
3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre89
3.3 Expressão analítica de um vetor no espaço (R3)90
Lista 2 de Atividades93
4 Operações com Vetores93
4.1 Adição e Subtração de Vetores93
4.2 Multiplicação de escalar por um vetor94
4.3 Análise Geométrica da Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar95
4.4 Aplicações de Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar101
4.4.1: Combinação Linear de vetores101
4.4.2: Dependência e Independência Linear de Vetores102
4.4.3: Bases do Plano de do Espaço103
Lista 3 de Atividades104
5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto106
5.1 Produto Interno (ou escalar)106
5.2 Produto Vetorial107
5.2.1 Propriedades108
5.3 Produto Misto108
5.3.1 Propriedades109
5.4 Aplicações de Produto de Vetores: Interpretação Geométrica110
5.4.1 Produto Vetorial e Área de Paralelogramo110
5.4.2 Produto Misto e Volume do Paralelepípedo1
5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares112
6 Módulo ou Norma de um Vetor113
6.1 Definição de módulo do vetor:113
6.2 Proposições:114

1 WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. SP: Makron Books, 2000. 2 KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Cálculo e Álgebra Linear. RJ: LTC, 1975.

Álgebra Linear – Vetores em Rn 82

6.3 Vetor Unitário e Versor de um Vetor:115
6.4 Módulo de Vetor Livre116
Lista 4 de Atividades118
7 Ângulos e Vetores: Paralelismo e Ortogonalidade119
7.1 Ângulo de dois vetores:119
7.2 Decomposição de um vetor v = P(x,y)122
7.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor122
7.4 Paralelismo de dois vetores123
7.5 Ortogonalidade de dois vetores125
Lista 5 de Atividades125
Atividade Complementar126
Bibliografia127

Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados ara compreender o conceito de vetores vamos rever alguns conceitos básicos de reta orientada e segmentos:

1.1 Reta Orientada: Eixo

Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta. r

O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada de eixo. 1.2 Segmento Orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. O primeiro é chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B é representado por AB e, é geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento.

1.3 Medida de um Segmento

Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por AB.

Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento (u.c.):

Observe que: Os segmentos podem ser também, nulos ou opostos:

• Segmento Nulo: Quando a extremidade do segmento coincide com a origem. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.

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• Segmentos Opostos: Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. Note que, a medida dos segmentos opostos é a mesma, AB = BA.

1.4 Direção e Sentido do segmento orientado

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se, as retas suportes desses segmentos, são paralelas ou coincidentes.

Retas paralelas: segmentos com mesma direção e sentido

Retas paralelas: segmentos com mesma direção e sentido contrário

Retas coincidentes: segmentos com mesma direção e sentido

Retas coincidentes: segmentos com mesma direção e sentido contrário

Observações:

• Podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados somente quando eles têm mesma direção. • Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

1.5 Segmentos Eqüipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Para que AB seja eqüipolente a CD é necessário que AB//CD (// significa paralelos) e AC//BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.

Observações:

• Dois segmentos nulos são sempre eqüipolentes. • A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

Propriedades da Eqüipolência (1) AB ~ AB (reflexiva). (2) Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica). (3) Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). (4) Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB~CD.

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Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Fig.1

2 Vetores: Definições

xistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais

2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais As grandezas escalares são determinadas por um valor (número) e uma unidade. Exemplo: comprimento, área, volume, etc. Quando afirmamos que a altura de um quadro é de 1,5 m ou que o volume da caixa é de 20 dm3 estamos determinando a grandeza escalar. Em várias aplicações físicas, por exemplo, existem determinadas grandezas, como temperatura e pressão, que possuem somente “magnitude” e podem ser representadas por números reais (grandezas escalares).

Entretanto, existem outras grandezas, como força, velocidade, aceleração, deslocamento e impulso que, para serem completamente identificadas, precisam, além da “magnitude” (módulo), da “direção” e do “sentido”. Estes são exemplos grandezas vetoriais ou vetores.

Definição 1: Vetores são grandezas que, para serem identificadas, precisam da magnitude, da direção e do sentido.

Assim, um vetor tem três características: módulo (ou magnitude), direção e sentido. • A direção é dada pela reta que contém o segmento.

• O sentido é dado pelo sentido do movimento do segmento. • A magnitude (ou módulo) é o comprimento do segmento. Indicamos por duas barras verticais: |v| (Lê-se: módulo de v)

A representação geométrica de um vetor é um segmento orientado de reta: AB, CD,

Definição 2: Vetor é um conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes3 a um segmento AB ou seja, com mesma direção, comprimento e sentido.

Note que neste conceito, desconsideramos a idéia de grandezas vetoriais e o vetor é compreendido a partir de um segmento orientado4. Onde, dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor v. (Fig.1)

Na Figura 2, os vetores u e v são iguais (eqüipolentes) e representam um mesmo vetor. Idem para os vetores x e w. O mesmo não ocorre com os vetores s, t e m, n. Todos têm o mesmo comprimento, mas não tem a mesma direção e sentido.

3 Equivalentes. 4 Um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo.

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Note que: • Os vetores u e v têm a mesma direção e o mesmo sentido.

• Os vetores w e x têm a mesma direção e o mesmo sentido.

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