Apostila Matrizes

Apostila Matrizes

(Parte 1 de 13)

Álgebra Linear 1

Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris

Caderno Pedagógico de:

MSc Elisa Netto Zanette Drª Ledina Lentz Pereira MSc Sandra Regina da Silva Fabris

Álgebra Linear 2

Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris

A Matemática, desde os seus primórdios, entrelaça-se intimamente com a história da civilização e é uma das alvancas principais do progresso humano (BAUMGART1, 1997). Vários conceitos básicos dessa ciência, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas específicos, posteriormente revelaram uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das idéias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância na Matemática (LIMA2, 2000, p.28).

fora da Matemática (LIMA3, 2001, p.159)

Observamos uma mudança contínua que se processa tanto nas condições sócio-políticoeconômica das sociedades quanto na própria Matemática. Ë fato que a validez das teorias Matemáticas é perene e subsiste através dos séculos. Porém, a posição dessas teorias e técnicas a elas associadas, varia bastante em termos de importância, alcance e eficácia em fase dos novos desenvolvimentos, das novas descobertas e da ocorrência de áreas recentes de aplicação, dentro e

linguagens que se utiliza no cotidiano

Usamos Matemática diariamente, mesmo sem perceber. Isso só, poderia justificar a sua importância. É facilmente percebida, nas atividades simples do homem às mais complexas, nos esportes, na estatística, nas construções, nas previsões orçamentárias. Sem dúvida, ela confere “poder” aos economistas, aos empresários, etc. A Matemática é ferramenta imprescindível para que se possa ordenar os pensamentos, porque desafia e desenvolve a mente, ajuda a compreender as

As concepções matemáticas desenvolvidas e acumuladas nas diversas gerações podem ser divididas em Aritmética (números), Álgebra (letras + números) e Geometria (figuras planas e espaciais). A Trigonometria pode ser considerada como um ramo da Geometria e a Geometria Analítica como uma fusão da Álgebra com a Geometria. Resolvemos os problemas como o uso da aritmética, da geometria, da trigonometria, da álgebra, do cálculo diferencial e integral, etc. Alguns problemas podem ser solucionados ao mesmo tempo pela Álgebra, ou Geometria ou Aritmética. Coube a Descartes a solução de problemas geométricos através da Álgebra e vice-versa, em 1637.

Para Baumgart (1999) a origem da palavra “álgebra” é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra “aritmética”, que se deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah (“Ciência das equações”), escrito em Bagdá (ano 825) por um matemático árabe. Esse tratado de álgebra é com freqüência citado, abrevidamente, como Al-jabr. Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo e uma definição satisfatória requer um enfoque, tanto cronológico quanto conceitual, em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las; (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis, corpos, etc.

A Álgebra Linear (o nome indica sua origem geométrica) ou Álgebra Vetorial é uma parte da

Álgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares que contribuem para um estudo detalhado de sistemas lineares de equações. É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear tenha origem nos estudos de sistemas lineares de equações.

Segundo o matemático Elon Lages Lima (LIMA, 2001), a Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares possuem matrizes. Também têm matrizes as formas bilineares e, mais, particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transformações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas.

1 BAUMGART, John K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra. Trad. Hygino H Domingues. São Paulo: Atual, 1997. 2 LIMA, Elon Lages. Meu Profesor de Matemática e outras histórias. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de Matemática). Rio de Janeiro: Solgraf Publicações Ltda, 2000. 3 LIMA, Elon Lages. Matemática e Ensino. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de Matemática). Rio de Janeiro: R&S, 2001.

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Tanto a Álgebra Linear como a Geometria Analítica aplicam-se a várias áreas, em especial às

Engenharias. Possibilitam explicar princípios fundamentais e simplificar os cálculos em Engenharia, Ciência da Computação, Física, Biologia, Matemática, Economia e Estatística. É, portanto relevante e tem destaque em diversos cursos superiores, na graduação e na pós-graduação.

Muitos dos temas do âmbito da Álgebra Linear fazem parte integrande de planos de estudos desses cursos já citados. Para Lay4 (1999) a Álgebra Linear (e a Geometria Analítica, como sua subsidiária) constitui uma das áreas da Matemática com mais vastas e variadas aplicações incluindo a sua importância para as diversas áreas da própria Matemática – da Análise à Estatística e à Investigação Operacional – em que temas fundamentais como Cálculo Matricial ou o Cálculo Vetorial são de utilização constante e cotidiana. É de extrema importância para em seus tópicos mais avançados, simplificando sua teoria e em geral, para a maior parte da Matemática.

Numa análise comparativa com a Geometria, a Álgebra, como estrutura lógica, têm-se desenvolvido mais recentemente, principalmente nos últimos 100 anos, com formulação simples, onde poucos axiomas são suficientes para organizar toda a estrutura da Álgebra. Por sua vez, a Geometria, desenvolvida inicialmente pelos Gregos a mais de 2.0 anos, está sintetizada nos “Elementos de Euclides” que formam a base da Geometria Plana e Sólida atual, conservando a maneira sistemática de analisar as propriedades de pontos, retas, triângulos, círculos e outras configurações. Têm-se introduzido em estudos recentes, conjuntos de axiomas e postulados que melhoram sua estrutura lógica, mas o conteúdo da Geometria permanece o mesmo.

Descobriu-se que, essencialmente, toda Geometria pode ser desenvolvida em linguagem algébrica. Na associação de pontos e retas ao invés da geometria usual, realiza-se operações algébricas em certos objetos, denominados vetores. Esses vetores obedecem a certas leis algébricas, similares aos números. Assim, trabalhamos teoremas da geometria através de teoremas da álgebra dos vetores com ênfase nas equações, identidades e desigualdade em lugar de conceitos geométricos como, congruência, semelhança e interseção de segmentos.

Os vetores têm papel relevante, não apenas na Matemática, como na aplicação em outras áreas. O estudo desses vetores, normalmente é feito por meio de dois tratamentos que se completam: Geométrico e Algébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento que sob o ponto de vista algébrico, são mais formais e abstratos.

Apesar da Álgebra Linear representar um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da Matemática. Haetinger (2007) cita algumas e afirma que, apesar de não conseguir abordá-las todas, num curso de Álgebra, o objetivo é que o estudante tome contato com o que representa o estado da arte desta área. Alguns exemplos5 de aplicações: Jogos de Estratégia; Distribuição de Temperatura de Equilíbrio; Genética; Crescimento Populacional por Faixa Etária; Criptografia; Tomografia Computadorizada; etc.

Nos temas a serem trabalhados, incluimos a discussão sobre os conceitos teóricos formalmente instituidos, acompanhados de exemplos e atividades. Os textos são escritos em linguagem simples, mas com rigor matemático. São apresentados em forma de resumo e de modo algum, dispensam a pesquisa do acadêmico aos diversos livros didáticos da área. Portanto, para aprofundar seus conhecimentos, sugerimos como fontes, os livros e links relacionados na bibliografia.

4 LAY, C David. Álgebra Linear e suas aplicações. 2ed. Trad. Ricardo Camelier e Valéria de M. Iório. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 5 HAETINGER, Claus. 2007. Disponível em http://ensino.univates.br/~chaet/Algebra_Linear.html . Acesso em Jan 2009.

Essa introdução - associando a geometria com a álgebra de vetores - é informal e objetiva formar uma noção intuitiva da Álgebra. O conteúdo programático de Álgebra Linear foi elaborado, visando um conhecimento dos conceitos mínimos e indispensáveis, de modo que se possa perceber a interrelação entre os mesmos e a sua aplicação conjunta.

Álgebra Linear 4

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INTRODUÇÃO2
I MATRIZES6
1 Introdução6
2. Definição6
3. Tipos de Matrizes10
4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta12
5. Matriz Transposta12
6. Simetria em Matrizes13
Lista 1 de Atividades - Matrizes14
7. Operações com Matrizes16
7.1 Adição e Subtração de matrizes16
7.2 Multiplicação por um escalar17
7.3 Multiplicação entre matrizes18
8. Potência de uma Matriz2
9. Propriedades das Operações com Matrizes23
Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes24
10. Equivalência de Matrizes28
Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento30
I DETERMINANTES E MATRIZES32
1 Classe de uma Permutação32
2 Determinante de uma matriz3
2.1 Determinante de 1ª ordem34
2.2 Determinante de 2ª ordem34
2.3 Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus35
2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE37
2.5 Processo de triangulação para cálculo de determinante38
3 Propriedades dos determinantes39
4 Determinante e Matriz Inversa40
Lista 4 de atividades – Determinantes e Matrizes43
5 Aplicação matemática do conceito de determinantes na geometria46
Lista 5 de atividades - Determinantes47
I SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES48
1 Equações Lineares48
2 Sistema de Equações Lineares50
2.1 Conceito50
2.2 Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares50
2.3 Classificação dos Sistemas de Equações Lineares52
2.4 Equivalência de Sistemas de Equações Lineares54
Método de condensação ou de eliminação de Gauss-Jordan5
2.6 Solução de um sistema de equações lineares pela Regra de Cramer58
3 Sistema Homogêneo de Equações Lineares: Discussão da solução59
Lista 6 de atividades – Parte I61
Lista 6 de atividades - Parte I61
4 Discussão de um Sistema de Equações Lineares homogênio e não-homogênio65
Lista 7 de atividades6
APÊNDICE A67
Matriz de Co-Fatores e Adjunta Clássica67
Aplicação de Determinante: Adjunta Clássica e Matriz Inversa67
1 Encontrando a Matriz de Co-fatores67

Álgebra Linear 5

3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante70
Lista de atividades – Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clássica71

Álgebra Linear 6

Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris s Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. Os fundamentos e operações básicas com matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares são importantes no desenvolvimento de conceitos da Álgebra Linear e portanto, pré-requisito para o estudo da mesma.

1 Introdução requentemente nos deparamos com conjuntos de números ou outros objetos matemáticos, que podem ser tratados em blocos por serem operados essencialmente da mesma maneira. Para isso, usamos matrizes.

As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo, surgidas em meados do século XVII como um novo instrumento que, de início, servia para resolver sistemas lineares. Dentre as matrizes as que mais uso teve e tem, é a matriz quadrada.

um modelo considerado referência mas sem a menor idéia de qualquer possível utilidade prática

As primeiras concepções sobre matrizes na Matemática, surgiram com o inglês Arthur Cayley (1821- 1895). Sua preocupação vinculava-se na forma e na estrutura em Álgebra. Sob esse aspecto, criou

Hoje a teoria das matrizes é uma das partes da matemática mais férteis em aplicação: na Matemática, na Física, na Física Atômica, na Estatística, na Economia, na Engenharia, na Computação, etc. Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações por matrizes. As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo. Dos eventos e atividades nos quais somos, direta ou indiretamente, envolvidos no cotidiano, muitos deles podem ser dispostos em forma de tabela/matrizes.

Você sabia que:::

A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dos games de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicações o problema computacional não está no tamanho das matrizes mas na quantidade delas e na rapidez de processamento das multiplicações (para que se tenha um movimento realístico).

Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz é suficiente mas seu tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso ocorre normalmente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo de discretização - são reduzidos a um sistema de equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais comuns em vários campos da Engenharia. Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a grandes redes de distribuição de energia elétrica, redes de comunicações, redes de transporte, etc. (SILVEIRA, 1999).

2. Definição

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Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris hamamos de matriz de ordem m por n a qualquer quadro ou tabela formada por m x n elementos (números, polinômios, frações, etc.) dispostos em m linhas e n colunas.

Ou, uma matriz é qualquer tabela formada por números ou outro tipo de objeto matemático que se pretende operar em bloco, simultaneamente.

Ou, uma matriz é um conjunto ordenado de números e estão associdados a duas dimensões: a dimensão das linhas e a das colunas. Um importante exemplo prático de matriz surge na informática: os programas conhecidos como planilhas eletrônicas correspondem a matrizes. Uma planilha, tal como uma matriz, está dividida em linhas e colunas e, cada célula da planilha representa um elemento da matriz.

De forma genérica, uma matriz pode ser representada por uma letra maiúscula do alfabeto ou por seus elementos representativos. Estes elementos são dispostos normalmente entre parênteses ( ) ou entre colchetes [ ] ou duplas barras . Da mesma forma, cada elementos está associado a dois subíndices que indicam sua posição na matriz.

Assim, podemos dizer que cada elemento de uma mátria A é representado por aij, onde i representa a linha e j a coluna, onde o elemento a se encontra localizado. A matriz com m linhas e n colunas possui dimensão mxn (lê-se m por n) e indicamos por Amxn.

Exemplo 1:

012 é uma matriz de 2 linhas e 3 colunas onde cada elemento de A ocupa um lugar determinado na matriz. O elemento (-5), por exemplo está na segunda linha (i=2) e terceira coluna (j=3) que indicamos por a23 = -5. Os demais elementos indicamos por:

i é uma matriz de ordem 2 x 2 ou B = [bij]2x2

(c) C1x4 = []9422− é uma matriz de ordem 1 x 4 ou C = [cij]2x2

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