Noções de Probabilidade

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Noções de probabilidade

As aplicações iniciais de probabilidade referem-se quase todos os jogos de azar. Contudo, a sua utilização ultrapassou o âmbito desses jogos e hoje os governos e empresas incorporam a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.

As probabilidades são úteis porque auxiliam a desenvolver estratégias que quantifica quão provável determinado acontecimento.

Um experimento aleatório é todo fenômeno ou ação que geralmente pode ser repetido, nas mesmas condições de realização e cujo o resultado é casual.

O conjunto que consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é o espaço amostral ( ). Cada resultado de um espaço amostral é um ponto amostral ( ) .

Seja o experimento aleatório E1 = laçamento de um dado duas vezes.

Possíveis eventos de :

A1: duas faces iguais, A1={(1,1),(2,2),...,(6,6)} B1: as duas faces são menores que 3, B1={(1,1), (1,2),(2,1),(2,2)} C1: a soma das faces é igual a 6, C1={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

Se dois eventos X e Y não poedem ocorrer simutanemene, ou seja, X ∩ Y = {}, eles são mutualmente exclusivos .

Conceito de Probabilidade

Em qualquer experimento aleatório, há sempre uma incerteza quanto à ocorrência, ou não, de determinado evento. O processo clássico ou “a priori” para se obter a estimativa da probabilidade de um evento X, é : P X = X

No exemplo, temos que :

Teorema da soma :

Se dois eventos quaisquer, então : P(XY) = P(X) + P(Y) – P(X∪∩Y) P(XYZ) = P(X) + P(Y) + P(Z) – P(X∪∪∩Y) – P(Y∩Z) – P(X∩Z) + P(X∩Y∩Z) No exemplo, temos que:

P(A1∪B1∪C1) = 16,7% +1,1% + 13,9 % - 5,6 – 2,8 – 0 ≈ 3,3% Se P(X∩Y) = P(X) . P(Y) , dizemos que os eventos X e Y são independentes.

No exemplo, A1 e B1 são independentes ?

P(A1 ∩ B1) ≠ P (A1) . P (B1) , logo A1 e B1 são eventos dependentes

Independência entre eventos Se P(X∩Y) = P(X) . P(Y), então X e Y são eventos independentes.

Quando X e Y forem eventos não independentes, P(X∩Y) = P(X) . P(Y/X) ou P(X∩Y) =

P(Y) . P(X/Y), onde P(Y/X) é a probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade do evento Y condicionada à ocorrência do evento X, ou ainda, a probabilidade de Y dado X.

No exemplo:

Teorema de Bayes

Se A1, A2, …, Ai, … , An são n eventos mutualmente exclusivos e A1 A∪2 … A∪∪i …∪

A∪n = Ω , n [P Ai ⋅P B/Ai ], onde B é um evento qualquer de Ω e se conhece todas as probabilidades condicionais P(B/A1).

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