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UNIVATES Física para a Engenharia IV

Resumo de aula: Ondas Eletromagnéticas

(Baseado em HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física v.4: Óptica e Física Moderna. - 6a. ed., LTC Rio de Janeiro, 2002)

Revisão do eletromagnetismo:

As Equações de Maxwell

James Clerk Maxwell (1831-1879). A contribuição mais significativa que se pode citar de seu trabalho foi a de compilar e relacionar os estudos sobre a eletricidade e o magnetismo realizado por outros físicos da época, estabelecendo as relações matemáticas entre campos magnéticos e campos elétricos conhecidas como equações de Maxwell:

q Sd.E r Lei de Gauss para a eletrostática: Mostra que a carga

líquida no interior de uma superfície fechada, S, é proporcional ao fluxo de campo elétrico através desta superfície.

r Lei de Gauss Para o Magnetismo: Mostra que o fluxo do campo magnético através de uma superfície fechada é sempre nulo, portanto não se pode ter um monopólo magnético isolado.

d.E rrl r Lei de Faraday: A Variação do fluxo do campo magnético

gera um campo elétrico ou uma força eletromotriz induzida. O sinal negativo refere-se à Lei de Lenz, e indica que o campo elétrico induzido se opõe à variação do fluxo magnético.

r Lei de Ampère-Maxwell: Uma corrente elétrica líquida

não nula ao longo de um trajeto fechado, e/ou a variação temporal do fluxo do campo elétrico através de uma superfície delimitada por um trajeto fechado, geram um campo magnético longo do trajeto fechado.

Lembremos que:

m F1m

Farad1

• µ0=permeabilidade magnética no vácuo=4.π.10-7T.m/A (

H1m HenryA

A possibilidade de gerar ondas eletromagnéticas

A partir destas equações surgiu a idéia de que, se uma partícula que possui carga elétrica (por exemplo os elétrons livres em um condutor metálico) for colocada a oscilar, será produzido um campo elétrico que varia no espaço que circunda o movimento oscilatório da partícula. Este campo elétrico variável produz um campo magnético também variável neste espaço e, este campo magnético variável produz outro campo elétrico variável, e assim sucessivamente. Surge assim uma perturbação eletromagnética que se afasta tridimensionalmente do ponto em que a carga vibra e se “auto-induz” constante e periodicamente, transportando energia ao longo do espaço.

Ora, esta idéia sugere, portanto, que é possível produzir ondas eletromagnéticas, constituídas por dois campos oscilantes perpendiculares entre si.

Características das ondas eletromagnéticas:

• A frequência de oscilação dos campos Br e Er é igual à frequência de oscilação da partícula carregada que gerou a onda;

• As ondas eletromagnéticas são transversais, pois as direções de oscilação dos campos Br e Er são perpendiculares à direção de propagação da onda;

• Como o que vibra são campos, e não matéria, essas ondas podem se propagar no vácuo.

• Ainda é válida a relação v=λ.f. Porém, como no vácuo todas as ondas eletromagnéticas se propagam com velocidade c=3,0.108m/s1, usaremos c=λ.f.

• Como o formato das ondas é senoidal, a equação da onda elétrica e da onda magnética, para uma onda eletromagnética que se propaga ao longo do eixo x, como nas figuras, têm a forma2:

Ex=Ez=0Bx=By=0

1 c=299792458m/s exato por definição 2 Estas equações são soluções das equações diferenciais para o campo elétrico e para o campo

magnético: 2 xBt yE εµ x y x y x y y z

• Os campos Br e Er estão em fase, como mostram as figuras ilustrativas acima, o que quer dizer que ambos assumem o máximo valor no mesmo local ao mesmo tempo.

• Desde que mmB

E c=, as equações de onda para as ondas elétrica e magnética estarão de acordo com as equações de Maxwell. Precisamos provar que esta relação é verdadeira.

A figura a seguir apresenta o espectro eletromagnético.

As Ondas eletromagnéticas e as equações de Maxwell

Para chegarmos à relação de interesse vamos partir do formato de onda eletromagnética representado anteriormente.

Figura AFigura B

Na figura A, acima, temos uma onda eletromagnética se propagando ao longo do eixo x. Na figura B temos os mesmos eixos representados onde estão destacados dois retângulos: um no plano xy (A1) e o outro no plano xz (A2). Ambos têm altura h e largura dx.

dx x z h Er

EdE r +

Br BdB r + h dx

Enquanto a onda se propaga vai passando pelos retângulos destacados e o fluxo magnético, ΦB, através de A1 varia, o que gera campos elétricos induzidos em torno do retângulo em xy (Lei de Faraday). Da mesma maneira o fluxo elétrico através de A2 varia, gerando um campo magnético em torno do retângulo em xz.

Pela Lei de Lenz o campo induzido em torno do retângulo em xy se opõe à variação do campo magnético através de A1.

Usando a Lei de Faraday:

d.E rrl nessa equação o termo ∫Sd.B é o fluxo magnético ΦB, e lr d

representa cada pedacinho do perímetro do retângulo considerado. Podemos então escrever a Lei de Faraday como:

Do lado esquerdo da equação acima temos um produto escalar entre o campo elétrico, que está na direção y, e os lados do retângulo. Então nesse lado da equação, percorrendo o perímetro do retângulo no sentido anti-horário, teremos:

Do lado direito da equação temos BΦ− dt d . ΦB é o fluxo magnético através da superfície do retângulo A1, que é dado por ΦB=(B).(h.dx), onde B é o módulo do vetor indução magnética dentro do retângulo e (h.dx) é a área do retângulo. Fazendo a derivação indicada teremos:

dt dB.dx.hΦ

Retornando à equação de Faraday com os dois resultados obtidos teremos:

dt dB dx dE

Tanto E como B são funções de x e t, portanto as derivadas indicadas acima são derivadas parciais:

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