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Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

Uma inequação é a representação de um pensamento matemático identificado pelos seguintes sinais: (maior) ou (menor) ou (menor

ou igual) ou(maior ou igual) e ainda(diferente).

Assim podemos concluir que resolver uma inequação consiste em encontrar os valores que satisfazem determinada desigualdade.

INEQUAÇÃO DO 1° GRAU:

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: ,,,, comoereais ().

Estas são inequações matemáticas de 1° grau com uma incógnita.

De modo geral podemos resolver inequações do 1° grau aplicando as propriedades das desigualdades que veremos abaixo:

Considere os números(é o conjunto dos reais), temos:

PropriedadesExemplos: a=3, b=2, c=5 ou c=(-4) e d=1

(i) Se a > b e b > c, então a >c.3 > 2 e 2 > 1, então 3 > 1.

(i) Se a > b e c > 0, então ac >bc.3 > 2 e c = 5 > 0, então 3·5 > 2·5 ⇔ 15 > 10.

(i) Se a > b e c < 0, então ac< bc.3 > 2 e c=(-4)< 0, então 3·(-4)<2·(-4)⇔(-12)<(-8).

(iv) Se a>b, então a+c>b+cpara todo c real.3 > 2 e c=(-4), então 3+(-4)>2+(-4)⇔(-1)>(-2).

(v) Se a > b e c > d, então a+c> b+d. 3 > 2 e 5 > 1, então 3+5 > 2+1 ⇔ 8 > 3.

(vi) Se a > b > 0 e c > d > 0,então ac > bd.3 > 2 > 0 e 5 > 1 > 0, então 3·5 > 2·1 ⇔ 15 > 2.

Exemplo:

Quais os valores reais possíveis parana desigualdade ?

Os valores depara que a desigualdade seja satisfeita estão definidas por { }

Multiplicação por um número negativo:

Na resolução das inequações podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por umn.º positivo, mantendo o sinal da desigualdade,que obtemos uma inequação equivalente à primeira.

Porém se multiplicarmos ambos os membros por umn.º negativo, inverteremos o sinal da desigualdade, para que assim possamos obter uma inequação equivalente à primeira.

Isso porque dadostais que, se multiplicarmos ambos os lados da desigualdade por (-1) teremos.

Vejamos um exemplo: = 1 e a = 3 temos: 1 < 3

Quando multiplicarmos ambos os lados por (-1) teremos: -1 > -3

SISTEMAS DE INEQUAÇÃO DO 1° GRAU

Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução satisfaz a todas, simultaneamente. Para resolver um sistema de inequações procedemos da seguinte maneira:

• Resolvemos individualmente cada inequação;

• O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção das inequações resolvidas individualmente.

Exemplo: Encontrar o conjunto solução do sistema de inequações:

Chamaremosde inequaçãoa ede inequaçãob: Inequação a:

Observe que o conjunto solução que satisfaz essaaé definido por { }

Inequação b: ,

observe que multiplicaremos ambos os termos da inequação por um número negativo, sendo assim inverteremos o sinal da desigualdade, assim o resultado será:

O conjunto solução que satisfaz b é {}.

A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação a e b:

Analisando o intersecção dos resultados de cada inequação do intervalo real temosque a solução da desigualdade é S = {}

INEQUAÇÃO PRODUTO QUOCIENTE DO 1° GRAU

As inequações produto e quociente, são as sentenças matemáticas constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções. Essas inequações em geral, tem sua solução baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1° grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais.

Estudo dos sinais:

Para resolver uma inequação produto do 1° grau dada por f().g() podemos estudar o sinal das funções separadamente, isso consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva.

Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1° grau

Cada termo do produtorepresenta uma função do 1° grau.

Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas funções que chamamos de f(x) e g(x), respectivamente.

Se f() =-4 então sua raiz é obtida fazendo-4 = 0 ⇔= 4.

Como o coeficiente angular de f() é positivo temos uma função crescente, portanto teremos uma reta cortando o eixo x em 4 onde para todos os valores de> 4 teremos uma imagem positiva, e para< 4 teremos imagem negativa. Podemos representar essas conclusões graficamente da seguinte forma:

Se g() =+2 então sua raiz é obtida fazendo+2 = 0 ⇔= -2.

Novamente temos uma função com o coeficiente angular positivo, assim uma reta cortará o eixoem -2, e os valores da imagem serão positivos para> -2 e negativos para< -2. Vejamos:

A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais das funções f() e g (), representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.

Podemos concluir que a inequação produtoestá definida no intervalo no intervalo real: {ou}

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