Base de um Espaço Vetorial

Base de um Espaço Vetorial

Espaço Vetorial

Subespaço Vetorial

Combinação Linear

Base de um Espaço Vetorial

Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:

  1. Quaisquer que sejam u,v,w V:

(u+v)+w = u+(v+w)

  1. Existe ö V (elemento nulo) tal que para todo v V:

ö + v = v

  1. Para cada v V, existe –v V (elemento oposto) tal que

v+(–v)=ö

  1. Quaisquer que sejam u,v V, segue que

u+v=v+u

  1. Para todo escalar k K e quaisquer v,w V:

k.(v+w) = k.v + k.w

  1. Para quaisquer k,m K e todo v V:

(k+m).v = k.v + m.v

  1. Para quaisquer k,m K e qualquer v V:

(km).v = k(m.v)

  1. Para qualquer v V tem-se que

1.v = v

Propriedades em um espaço vetorial

Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:

  1. Para todo kK segue que k.ö=ö.

  2. O vetor nulo ö é único.

  3. Para todo vV tem-se que 0.v=ö.

  4. Para cada vV o vetor oposto –vV é único.

  5. Seja kK e vV. Se k.v=ö então k=0 ou v=ö.

  6. Se v+u=v+w para u,v,wV, então u=w.

  7. Quaisquer que sejam v,wV, existe um único uV tal que v+u=w.

  8. Para todo kK e para todo vV segue que:

(–k).v = –(k.v) = k.(–v)

  1. Para todo kK e para todo vV segue que

(–k)(–v) = kv

  1. Se k1,k2,…,knK e vV, então:

(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv

  1. Se kK e v1,v2,…,vnV, então:

k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn

Exemplos de espaços vetoriais

  1. Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K.

  2. O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e multiplicação de R.

  3. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e multiplicação de C.

  4. R²={(x,y): xR, yR} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:

(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)k(x,y)=(kx,ky)

  1. Rn={(x1,x2,…,xn): xiR, i=1,2,…,n} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar definidas por:

(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)k.(x1,x2,…,xn)=(kx1,kx2,…,kxn)

  1. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

  2. O conjunto Mm×n(K) das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

  3. O conjunto F(R)={f:RR} das funções reais cujo domínio é o conjunto dos números reais é um espaço vetorial sobre R.

  4. O conjunto P[K] de todas as funções polinomiais da forma:

p(x) = a0 + a1 x + a2 x² +…+ an xn

onde aiK (i=0,1,2,…,n) é um espaço vetorial sobre o corpo K.

  1. O conjunto F([a,b],R)={f:[a,b]R} das funções reais cujo domínio é o intervalo fechado [a,b] é um espaço vetorial sobre R.

Subespaço Vetorial

Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) para um subespaço.

Caracterização de subespaço vetorial

Teorema I: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:

  1. S é não vazio.

  2. Se v,w S, então v+w S.

  3. Se k K e v S, então k.v S.

Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.

Exemplos de subespaços vetoriais

  1. O conjunto nulo S={ö} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.

  2. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.

  3. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.

  4. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R².

  5. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço de Mn(R).

  6. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³.

  7. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.

  8. O conjunto P={(x,y,z)R³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³.

  9. O conjunto Q={(x,y,z)R³: 2x+3y–6z=12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³.

  10. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço de P[R].

  11. O conjunto F'={f:(a,b)R, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) R}.

Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos.

Soma de subespaços vetoriais

Em um espaço vetorial V, definimos a soma dos seus subespaços U e W, denotada por U+W, como o conjunto de todos os vetores da forma v=u+w, onde uU e wW, isto é:

U+W = { u+w : uU; wW }

Proposição: Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, então a soma U+W é um subespaço de V.

Exemplo: Sejam os subespaços de R³ definidos por:

U=<(1,0,0),(0,1,0)>={(x,y,0): xR, yR}W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): zR }

O conjunto U+W é um subespaço de R³ e na realidade, segue que U+W=R³.

Interseção de subespaços vetoriais

Em um espaço vetorial V, definimos a interseção dos subespaços de U e W, denotada por UW, como o conjunto de todos os vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é:

UW = {v: vU e vW }

Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção UW é um subespaço de V.

Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:

U=<(1,0,0),(0,1,0)> = {(x,y,0): xR, yR }W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): zR }

O conjunto UW é um subespaço de R³ e observamos que U W ={ö} o subespaço nulo.

Combinações lineares

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e C={v1,v2,…,vn} uma coleção de vetores em V. Dizemos que um vetor v é combinação linear dos elementos de C, se existem escalares k1,k2,…,knK tal que

v = k1 v1 + k2 v2 +…+ kn vn

Exemplo: O vetor v=(3,-2,1)R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois existem escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que

(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1)

Conjunto gerado

Se S é um subconjunto de um espaço vetorial V, definimos o conjunto gerado por S, denotado por <S>, como o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S.

Exemplos de conjuntos gerados

(1) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2) de R² é a reta que passa pela origem de R² e possui a direção do vetor v=(1,2).

(2) O conjunto gerado pelos vetores de R², u=(1,0) e v=(0,1) é todo o espaço R².

Dependência e independência linear

Definição: Seja V espaço vetorial sobre R e v1, v2, ....vn V. Dizemos que o conjunto { v1, v2, ...vn } é linearmente independente (L.I.) ou que os vetores v1, v2, ...vn são linearmente independentes se a única solução da equação 1v1 + 2 v2 + ...+ nvn = 0 é a trivial, isto é, 1 = 2 = ...= n = 0. Se a equação acima admite uma solução não trivial , isto é, existe um j 0, tal que 1v1 + 2 v2 + ...+ j vj + ...+ nvn = 0 , então dizemos que o conjunto { v1, v2, ...vnlinearmente dependente ( L.D. ) ou que os vetores são linearmente dependentes.

Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R e v1, v2, ....vn V. Então

  1. { v1, v2, ....vn } é L.D. um dos vetores for combinação linear dos outros.

  2. { v1, v2, ....vn } é L.I. nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros

Como conseqüências do teorema anterior temos os seguintes resultados:

1.Qualquer conjunto de vetores que contenha um subconjunto L.D. é L.D.

2. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo é L.D.

3. Todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I.

4. Um conjunto de dois vetores é L.D. se e somente se um deles é um múltiplo escalar do outro

  1. Em R3 e em R2 dois vetores são L.D. estão sobre uma reta passando pela origem

  2. Em R3 três vetores são L.D. estão sobre um mesmo plano passando pela origem.

Base de um Espaço Vetorial

Definição: Um conjunto { v1, v2, ...vn } de vetores de V é dito uma base de V se e somente se:

  1. {v1,v2, ...vn } é LI

  2. V = [ v1, v2, ...vn ]

Observação: Se { v1, v2, ...vn } é uma base para V, então qualquer vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de { v1, v2, ...vn }

Exemplos:

  1. {(1,0), (0,1)} é uma base do R2 (base canônica)

  2. {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base do R3 (base canônica)

  3. {(1,1,1), (1,0,1), (1,1,0 )} é uma base do R3

  4. {(1,0), (0,1), (1,1)} não é uma base do R2 . O conjunto gera o R2 , mas não é L.I.

Teorema: Sejam v1, v2, ...vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, entre v1, v2, ...vn podemos extrair uma base para V.

Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R e V = [v1, v2, ....vn ]. Então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é necessariamente L.D.

Exemplos:

  1. Três vetores no plano (R2) são sempre L.D.

  2. Quatro vetores no espaço (R3) são sempre L.D.

Observação: O Teorema anterior é equivalente a “Um espaço vetorial gerado por n vetores tem no máximo n vetores L.I.” e tem como conseqüência que

Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de vetores. Este número é chamado de dimensão de V e denotado por dim V.

Referências:

BOLDRINI, J.L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. Editora Harbra Ltda. 1980.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/algebra/espvetor/espvetor.htm

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