Transformações Lineares

Transformações Lineares

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Introdução

Estamos familiarizados com funções ordinárias tais como a função f definida pela equação f(x) = x2. Essa função transforma um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Estudaremos agora funções que transformam vetores em vetores.

Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x).

Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.

Por exemplo, se T é uma transformação do 3 para o 2 definida pela equação:

T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)

Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).

Definição

Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: V  W é chamada de LINEAR se para todos os vetores x e y em V e para todo escalar ,

  • T(x + y) = T(x) + T(y)

  • T(x) = T(x)

Uma transformação linear T: V  W preserva a adição e a multiplicação por escalar entre os vetores.

Usando-se as duas propriedades simultaneamente chegamos a uma terceira propriedade:

Sejam v1 e v2 vetores em V e 1 e 2 dois escalares, então:

T(1v1 + 2v2) = T(1v1) + T(2v2) = 1 T(v1) + 2 T(v2)

Diz-se que uma transformação linear satisfaz o princípio da superposição, que é essa terceira propriedade. Mas o princípio da superposição pode ser aplicado a n vetores em V e n escalares. Ora, mas isso é uma combinação linear. Logo, T preserva combinações lineares.

Exemplo 1: V =R e W = R

F : R  R

u  u ou F(u) = u

  • F(u + v) = (u + v) = u + v = F(u) + F(v).

  • F(ku) = (ku) = ku = kF(u).

Então F é uma transformação linear.

Exemplo 2: Seja T a transformação dada por T(x,y)= (x-y, x+y). T é linear?

Exemplo 3: F(u) = u2 é uma transformação linear?

Não, pois F(u + v) = (u + v)2 = u2 + 2vu + v2 =

F(u) + 2vu + F(v) F(u) + F(v).

Exemplo 4: L: 2 , L(v) = L(x,y) = 2x + 4 é uma transformação linear?

Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2)

  • L(u + v) = L(u1 + v1, u2 + v2) = 2 (u1 + v1) + 4

  • L(u + v) = 2u1 + 2v1 + 4  L(u) + L(v).

Portanto L não é uma transformação linear.

Exemplo 5: Seja D : Pn  Pn, onde Pn é um polinômio e D é a aplicação derivada. Pelas propriedades das derivadas, sabe-se que:

  • D(f + g) = D(f) + D(g).

  • D(kf) = k D(f).

Então D é uma transformação linear.

Observação: Decorre da definição que uma transformação linar T, T: V  W leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W, isto é, se 0  V, T(0) = 0  W. Isto nos ajuda a detectar transformações não lineares. Se T(0) ≠ 0, T não é linear. No entanto, T(0) = 0 NÃO é suficiente para que T seja linear.

Exemplo: T: 3 3 onde T(x,y,z) = (x+1, y,z) é linear?

Transformações do plano no plano

Vamos apresentar uma visão geométrica das transformações lineares, dando alguns exemplos de transformações do plano no plano.

  1. Expansão ou contração uniforme:

T : R2  R2 ,   V tal que T(u) = u

(x,y)   (x,y)

  1. Reflexão em torno do eixo x:

T: R2  R2

(x,y)  (x, -y)

  1. Reflexão na origem:

T: R2  R2

(x,y)  (-x, -y)

  1. Rotação de um ângulo t no sentido anti horário:

Rt: R2 R2

(x,y) (x cos t – y sen t, y cos t + x sen t)

Teorema: Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V, {v1, ..., vn}. Sejam w1, ..., wn elementos arbitrários de W. Então existe uma única aplicação linear T : V  W tal que:

T(v1) = w1, ...., T(vn) = wn.

Se v = a1v1 +... anvn, esta aplicação é dada por

T(v) = a1T(v1) + ... + anT(vn) = a1w1 +... anwn

Isto significa que as aplicações lineares são determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base.

Exemplo: Qual é a transformação linear T: R2  R3 tal que T(1,0) = (2,-1,0) e T(0,1) = (0,0,1)?

Imagem e Núcleo

Imagem:

Im (T) = {w  W; T(v) = w, para algum v  V}.

Isto é, a imagem de T é o conjunto dos vetores w de W tais que existe um vetor v  V, que satisfaz T(v) = w.

Im (T)  W é um subconjunto de W e, além disso, um subespaço vetorial de W.

Núcleo:

Ker(T) = {v  V; T(v) = 0}.

Ou seja, o conjunto de todos os vetores v  V tais que T(v) = 0 é chamado núcleo de T, sendo denotado por Ker(T).

Ker(T)  V é um subconjunto de V e, ainda mais, é um subespaço vetorial de V.

Exemplo: T: R2  R

(x,y)  x+y

  • Im(T) = , pois dado w , w = T(w,0).

  • Ker(T) = {(x,y) 2 / x + y = 0} ou x = -y; v = (-1,1) gera o núcleo. O núcleo tem a dimensão de W, nesse caso.

Definição: Dada uma aplicação T: V  W, diremos que T é INJETORA se dados u, v V com u ≠ v, então T(u) ≠ T(v)

Definição: A aplicação T: V  W será SOBREJETORA se a imagem de T coincidir com W, ou seja, T(V) = W.

Propriedade: Uma transformação linear é injetora se, e somente se, Ker(T) = {0}.

ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS

Quando uma transformação linear T : V  W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dá-se o nome de ISOMORFISMO. Quando há tal transformação entre dois espaços vetoriais dizemos que estes são ISOMORFOS. Sob o ponto de vista da Álgebra Linear, espaços vetoriais isomorfos são, por assim dizer, idênticos.

Em outras palavras, quando a correspondência biunívoca entre dois espaços vetoriais preserva as operações de adição e multiplicação por escalar, T(v + w) = T(v) + T(w) e T(kv) = k T(v), diz-se que esses espaços são isomorfos.

T : V W

dim Ker(T) + dim Im(T) = dim V

Obs: Toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Exemplos:

1) Reflexão em torno do eixo x:

T: R2  R2

(x,y)  (x, -y)

2) Reflexão na origem:

T: R2  R2

(x,y)  (-x, -y)

Referências Bibliográficas:

http://www.stamford.pro.br/ARQUIVOS/2002_Algebra.doc

BOLDRINI, C. Álgebra Linear. 3ª ed. Editora Harbra, 1986.

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